4.3 探素三角形全等的条件(第4课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级下册（北师大版） 探索三角形全等的条件（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题 如图，点B在线段AE上，∠CAE=∠DAE,∠CBE=∠DBE。请说 明：EC=ED。 【分析】先利用“ASA”推出△ABC和△ABD全等，得出AC=AD,再利用 “SAS”推出△ACE和△ADE全等，进而得到EC=ED。 【解答】因为∠CBE=∠DBE,∠ABC=I80°-∠CBE,∠ABD=180°-∠DBE, 例题图 所以∠ABC=∠ABD。 在△ABC和△ABD中，因为∠CAE=∠DAE,AB=AB,∠ABC=∠ABD, 所以△ABC≌△ABD(ASA)。所以AC=AD。 在△ACE和△ADE中，因为AC=AD,∠CAE=∠DAE,AE=AE, 所以△ACE≌△ADE(SAS)。所以EC=ED. 【点拨】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定是说明线 段和角相等的重要工具。在判定三角形全等时，应根据实际情况选择恰当的判定方法。 基础巩固飞达标闯关 -sss 1.如图，已知AB=AC,若使△ABE兰△ACD,则应添加的一个条件是 _o 2.在△ABC和△DEF中，已知AB=DE,∠A=∠D,若补充下列条件中的 任意一条：①AC=DF,②BC=EF,③∠B=∠E,④∠C=∠F,其中能判定 第1题图 △ABC≌△DEF的是() A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 3.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E。请说明： (1)∠ADC=∠BCD。 (2)DE=CE。 第3题图 能力提升睡综合拓展 4.如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的 延长线于点F。 90 三角形第四章 (1)请说明：EF=ED。 (2)连接BE,若BE平分∠ABC,AC平分∠BCF,∠A=65°，求∠ABC的度数。 第4题图 5.如图，在△ABC中，AD是中线，试探究AB+AC与2AD的大小关系。 D 第5题图 中考链接©真题演练 6.(2025·河北)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB= ∠ADB,点F在ED上，∠BAF=∠EAD。 (1)请说明：△ABC≌△AFD。 (2)若BE=FE,请说明：AC⊥BD。 第6题图 7.(2025·苏州)如图，点C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CD∥BE。 (1)请说明：△DAC≌△ECB。 (2)连接DE,若AB=16,求DE的长。 第7题图 07.解：(1)全等。理由：因为点C是线段AB的 中点，所以AC=BC。又因为CD平分∠ACE,CE平分 ∠BCD,所以∠1=∠2，∠2=∠3。所以∠1=∠3。在 △ACD和△BCE中，因为CD=CE,∠1=∠3，AC=BC 所以△ACD≌△BCE(SAS)。(2)因为∠1+∠2+ ∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°。由(1)知 △ACD≌△BCE,所以∠D=∠E=50°。所以∠B=180° ∠E-∠3=70°。8.解：在△DAB和△CBA中，因为 AD=BC,∠DAB=∠CBA,，AB=BA,所以△DAB≌ △CBA(SAS)。所以AC=BD。9.解：因为点D是 BC的延长线上一点，DE∥AB，,所以∠D=∠ABC。在 △BDE和△ABC中，BD=AB,∠D=∠ABC,DE=BC 所以△BDE≌△ABC(SAS)。所以BE=AC。 3探索三角形全等的条件（第4课时） 1.答案不唯一，如AD=AE或∠B=∠C或∠AEB= ∠ADC。2.C3.解：(1)在△CDA和△DCB中 因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,所以△CDA≌△DCB (SSS)。所以∠ADC=∠BCD。(2)因为△CDA≌ △DCB,所以∠DAC=∠CBD。因为∠AED=∠BEC AD=BC,所以△AED≌△BEC(AAS)。所以DE=CE 4.解：(1)因为CF∥AB,所以∠A=∠ACF, ∠ADF=∠F。因为E为AC的中点，所以AE=CE。在 △AED和△CEF中，∠A=∠ACF,∠ADE=∠F,AE= CE,所以△AED≌△CEF(SAS)。所以EF=ED。(2) 因为CF∥AB,所以∠ABC+∠BCF=180°。因为BE平分 ∠ABC,AC平分∠BCF,所以∠ACB=∠ACF,∠ABE= ∠CBE。所以LCBE+LACB=号（LABC+LBCF) =90°。由(1)知∠A=∠ACF,又因为∠A=65° 所以∠ACF=∠ACB=65°。所以∠CBE=90°-∠ACB= 25°。所以∠ABC=2∠CBE=50°。 5.解：AB+AC>2AD。如图， 延长AD到点E,使DE=AD,连 接BE,则∠ADC=∠EDB。又因 为AD是中线，所以BD=CD 所以△ADC≌△EDB(SAS)。 所以AC=BE。因为AB+BE>AE， 所以AB+AC>2AD。6.解： (1)因为AC,BD相交于点E, E ∠ACB=∠ADB,点F在ED上， 所以∠ACB=∠ADF。因为 第5题答图 ∠BAF=∠EAD,所以∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF。 所以∠BAC=∠FAD。在△ABC和△AFD中，∠BAC= ∠FAD,AC=AD,∠ACB=∠ADF,所以△ABC≌ △AFD(ASA)。(2)由(1)得△ABC≌△AFD,所 以AB=AF。又因为BE=FE,AE=AE,所以△ABE≌ △AFE(SSS)。所以∠AEB=∠AEF=号×180=-90°。所 以AC⊥BD。7.解：(1)因为CD∥BE,所以 ∠DCA=∠B。因为点C是线段AB的中点，所以AC= CB=号AB。在△DAC和△ECB中，∠A=LECB,AC CB,∠DCA=∠B,所以△DAC≌△ECB(ASA)。 （2)因为AB=16,所以AC=CB=7AB=8。因为 CD∥BE,所以∠DCE=∠BEC。由(I)可知， △DAC≌△ECB,所以CD=BE。在△DCE和△BEC 中，CD=BE,∠DCE=∠BEC,CE=EC,所以△DCE≌ △BEC(SAS)。.∴DE=BC=8。 4利用三角形全等测距离 1.C2.B3.解：因为∠ACD=∠ACB,AC= 1 参考答案与提示 AC,∠BAC=∠CAD=90°，所以△ABC≌△ADC (ASA)。所以AB=AD。4.解：如图，因为CE⊥ MN,BF⊥MN,CA⊥AM,NM⊥AM,所以∠CEF= ∠BFE=∠CAM=∠AME=90°。所以CE∥AM。所以 ∠2=∠CMA。因为∠1=∠2，所以∠1=∠CMA。因为 BF=AM,∠BFE=∠CAM,所以△BFN≌△MAC (ASA)。所以NF=AC=AB+BC=49(m)。所以MN= NF+MF=NF+AB=49+31=80(m)。答：商业大厦MW 的高度为80m。5.解：(1)因为PA=PD,PB= PC,∠APB=∠DPC,所以△APB≌△DPC(SAS)。 所以CD=BA。又因为CD=35m,所以AB=35m。 (2)可行。理由：因为BD⊥AB,ED⊥BF,所以 ∠ABD=∠BDE=90°。又因为BC=CD,∠ACB=∠ECD, 所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。目的是 使∠ABD=∠BDE。若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方 案仍然成立。因为∠ABD=∠BDE,BC=CD,∠ACB= ∠ECD,所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。 6.解：如图，连接ME,MF,因为AB∥CD,所 以∠B=∠C。又因为BE=CF,BM=CM,所以 △BEM≌△CFM(SAS)。所以∠BME=∠CMF。又因 为点M在BC上，所以∠BME+∠CME=180°。所以 ∠CMF+∠CME=180°，即∠EMF=180°。所以E,F, M三点在同一条直线上。7.B8.D C 第4题答图 第6题答图 ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)①609②1216③2021④5625 ⑤7224(2)如果两个因数的十位上的数字相同， 个位上数字的和为10，那么这两数的积的前两位是十 位上的数与该数加1的积，后两位是这两数个位上的 数的积，若积的数位不足两位，则用零补齐。(3) ①9024②答案不唯一，如31×39(4)10a+b, 10a+(10-b)理由：(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a- 10ab+10ab+10b-b2=100a(a+1)+b(10-b)。2.解： (1)因为a=60°，所以∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED= 90°-号&=60°。因为LABC+LACB+LBMC=180°， ∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，所以∠BAC=180°-60°- 60°=60°，∠DAE=180°-60°-60°=60°。所以∠BAC= ∠DAE。所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以 ∠BAD=∠CAE。又因为AB=AC,AD=AE,所以 △BAD≌△CAE(SAS)。所以∠ABD=∠ACE。由三角 形内角和定理，得∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BPC,所 以∠BPC=∠BAC=60°=&。(2)因为a=90°，所以 ∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=90°-a=45°。因为 ∠ABC+∠ACB+∠BAC=18O°，∠ADE+∠AED+∠DAE= 180°，所以∠BAC=180°-45°-45°=90°，∠DAE=180°-