精品解析：北京市西城区德胜中学2025--2026学年第二学期九年级数学6月中考模拟试题

北京市西城区德胜中学2025-2026学年第二学期模拟考试初三年级数学学科 考试时间：120分钟 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 2. 有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　） A. -a＜-b B. a＜-b C. b＜-a D. -b＜a 3. 若一个正多边形的一个内角为，则这个图形为正（   ）边形 A. 八 B. 九 C. 七 D. 十 4. 已知一个布袋里装有个红球， 个白球和 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 6. 中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交 于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点 是函数图象上的动点，点 关于点 的对称点为，过点 作轴的垂线，垂足为点，点关于点 的对称点为 ，顺次连接点， ， ，在四边形中， ， ， ， 分别为边，，，上的点（不与端点重合）．给出下面四个结论： ①四边形的面积恒为 ； ②点的横纵坐标之积恒为； ③对于任意的点 ，都存在无数个四边形是矩形； ④当点 坐标为时，只存在一个四边形是正方形，且此正方形面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是______． 10. 分解因式：________． 11. 方程的解为______． 12. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将劳动教育纳入学生综合素质评价体系，“五育”并举，全面育人．某中学共有1000名学生，为了解这1000名学生每周参加家务劳动的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，统计了他们的家务劳动时长（单位：小时），数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 10 30 23 20 15 2 根据以上数据，估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为_____名． 13. 举一个例子说明“如果，那么”是假命题：_______，_______． 14. 如图， 是 的直径， ， ，是 上的点，， 交 于点 ．若，则的大小为_______°． 15. 如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接 交边 于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 16. 社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 已知，且，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，点在 上，且，对角线 平分，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果是 的中点，且，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求 ，的值； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 屏风是一种传统的中式家具，具有防风、隔断、遮隐、点缀环境和美化空间的作用．折屏是一种能折叠的屏风，又称曲屏．某家具厂为制作一款折屏，画出了单扇折屏的示意图，如图1，已知折屏的上段高、中段高与下段高的比是，横楣条的长度是上段高的2倍．屏芯为装饰区，其高 比中段高短27厘米，宽是横楣条的一半，如果屏芯的高 是宽的．求该单扇折屏的总高． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅，下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： a．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； b．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； c．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 25 50 25 40 20 售价 40 m 45 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为________，中位数为________； （2）从第三周到第五周，甲商品第________周的售价最高； （3）记甲商品这5周售价的方差为，乙商品这40周售价的方差为． ①________（填“>”“=”或“<”）； ②若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的”．重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为，则________（填“>”“=”或“<”）． 24. 如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B，连接并延长交 于点D，且，连接 ，， ．取的中点C，连接并延长，交 于点F，交 于点M，交延长线于点E． （1）求的度数； （2）若 的半径为2，求的长． 25. 园艺基地开展花卉幼苗培育工作．幼苗先在恒温棚完成预缓苗驯化，预缓苗时长记为T（T可取0，1，2，3天）．驯化结束后转入露天环境正式培育；记露天培育的第x日，当日新增成活的幼苗数量为y株．根据以往的培育经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： 露天培育天数x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 24 34 41 46 48 50 52 53 时，从露天培育的第2日起，幼苗每日相比前一日多新增成活的株数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数x的值为________时，当日新增成活株数y首次超过35株； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小俞和小张将进行花卉幼苗露天培育工作，先在恒温棚完成预缓苗驯化（预缓苗时长T可取0，1，2，3天），驯化结束后转入露天环境正式培育． ①基地设定，若当日新增成活的幼苗数量不低于35株即可分批移栽，根据上述函数关系，小俞最早第________日能进行分批移栽； ②基地核算成本发现，预缓苗驯化成本为每日120元，露天培育养护成本为每日80元，每成活1株幼苗可带来10元收益．基地希望小张在7日内获得的总利润（总利润收益成本）最大，根据上述函数关系，在这7日内应安排小张先进行________日的预缓苗驯化． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移6个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式（用含a的式子表示）； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点D，过点D作y轴的垂线，将抛物线在直线左侧的部分沿直线翻折，过点B作x轴的垂线，将抛物线在直线右侧的部分沿直线翻折，与抛物线的其他部分组成新的图形G．点，是图形G上的两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求a的取值范围． 27. 在中，， ，P是平面内的一点（不与点A重合），连接 ，以A为中心顺时针旋转线段 ，得到线段 ． （1）如图1，点P在边 上，连接 ，若，补全图形并直接写出此时线段 的旋转角度（小于）（用含 的式子表示）； （2）如图2，点P在外，将线段 作（1）中同样的旋转，得到线段 ，将射线 绕点B逆时针旋转后交 的延长线于点N，且 ，判断线段 与 的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． （1）若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； （2）若 的半径为，直线，求直线l上 的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； （3）已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区德胜中学2025-2026学年第二学期模拟考试初三年级数学学科 考试时间：120分钟 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项B符合题意； C、直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意． 2. 有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　） A. -a＜-b B. a＜-b C. b＜-a D. -b＜a 【答案】D 【解析】 【分析】观察数轴，可知：-1＜a＜0，b＞1，进而可得出-b＜-1＜a，此题得解． 【详解】观察数轴，可知：-1＜a＜0，b＞1， ∴-b＜-1＜a＜0＜-a＜1＜b． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴，观察数轴，找出a、b、-a、-b之间的关系是解题的关键． 3. 若一个正多边形的一个内角为，则这个图形为正（   ）边形 A. 八 B. 九 C. 七 D. 十 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形的内角和定理建立方程计算得结论． 【详解】解：设所求正n边形边数为n， 则 解得 故答案为：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2) ×180°是解答本题的关键． 4. 已知一个布袋里装有 个红球， 个白球和 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了应用概率公式的计算，解题的关键是根据概率公式列出方程．利用概率公式，白球数量除以总球数等于给定概率，建立方程求解 ． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 本题考查了根的判别式，熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 取， 故选：A． 6. 中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据路程公式：路程速度时间，计算地球周长，先统一时间单位，再计算结果，最后将结果改写为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 90分钟 秒， 天宫空间站绕地球一圈的行程为（米）． 7. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接 ，直线 交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交 于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系 中，点 是函数图象上的动点，点 关于点 的对称点为 ，过点 作 轴的垂线，垂足为点，点关于点 的对称点为，顺次连接点， ，， 在四边形中，， ，， 分别为边 ，，， 上的点（不与端点重合）．给出下面四个结论： ①四边形的面积恒为 ； ②点 的横纵坐标之积恒为 ； ③对于任意的点 ，都存在无数个四边形是矩形； ④当点 坐标为时，只存在一个四边形是正方形，且此正方形面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先设动点，利用中点对称求出、、 坐标，再逐一分析四个结论：①由对称得四边形是平行四边形，先算 面积，再推出平行四边形面积恒为 ，结论成立；②直接计算 横纵坐标乘积为，不等于 ，结论不成立；③依托四边形中心对称性质， 上可取无数个点，总能匹配对应点使四边形对角线相等且互相平分，得到无数个矩形，结论成立；④先确定时各顶点坐标，设边上动点坐标，结合正方形中 且 ，可得，据此列方程求解，舍去范围外的解后仅有一组有效解，算出正方形面积为，结论成立． 【详解】解：设动点，根据对称性质，中点坐标公式得各点坐标： ， ， ， ， 对于①：∵点 是函数图象上的动点，过点 作 轴的垂线，垂足为点， ∴， ∵点 关于点 的对称点为 ，点关于点 的对称点为， ∴ ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； 对于②： 横纵坐标乘积为 ，故②错误； 对于③：， ，， 分别为边 ，，， 上的点（不与端点重合），当，关于点 对称， ， 关于点 对称时， 四边形为平行四边形，对于每一个确定的点都能得到一个对应 ， 使四边形为矩形， 点在 边上有无数种取法（不与端点重合），因此存在无数个四边形是矩形，故③正确； 对于④：当点 坐标为时， ∵点 与点 关于点 对称， 是的中点，， ∴， ∵垂直于 轴，垂足为，， ∴， ∵点与点关于点 对称， 是 的中点， ∴，四边形中 平行且等于 ，是平行四边形，对称中心为， 设点在 上，坐标为， ， ∵四边形关于点 中心对称，点的对称点在上， ∴点坐标为，且 ，符合的范围， 设直线解析式为，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 设 点坐标为， ，则点 关于点 中心对称的对称点 坐标为，在 上， ∴， ， ， 若四边形是正方形，则 且 ， ∴， 两边平方，整理变形得， ∵ ， ∴， 又 ， ∴， ∴， 两边平方展开整理得， 将①代入②，整理得 ， 解得或（ 无实根）， ∵ ， ∴， 代入①得，满足 ， 故取值范围内仅有一组解，即只存在一个这样的正方形； ， ∴ ； 故结论④正确； 综上，正确结论为①③④． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式的求解，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为， 故答案为：． 12. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将劳动教育纳入学生综合素质评价体系，“五育”并举，全面育人．某中学共有1000名学生，为了解这1000名学生每周参加家务劳动的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，统计了他们的家务劳动时长（单位：小时），数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 10 30 23 20 15 2 根据以上数据，估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为_____名． 【答案】370 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体．用学生总数乘以样本中家务劳动时长不小于3小时的学生所占比例即可得出答案． 【详解】解：， 即这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数约为370名． 故答案为：370． 13. 举一个例子说明“如果，那么”是假命题： _______， _______． 【答案】 ①. 1（答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当可说明如果， 那么是假命题， 故答案为1（答案不唯一），（答案不唯一）． 14. 如图，是 的直径，， ，是 上的点，， 交于点 ．若，则的大小为_______°． 【答案】47 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用 “同弧或等弧所对的圆周角相等”， 得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导的大小． 【详解】解：是 的直径， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边 于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得 的长，利用勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【答案】 ①. 0 ②. 284 【解析】 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【详解】解：（1）所有商品的总重量为， 总价值为元， 要让两个纸箱的商品总价值之差最小，需尽量让两箱价值接近总价值的一半元，同时每箱重量不超过， 存在可行分装方案：第一箱装 件洗衣液、 件洗洁精和 件香皂， 重量为， 价值为元； 第二箱装 件洗衣液、件卷纸和 件香皂， 重量为， 价值为元； 两箱价值相等，差值最小为元； （2）要求整箱总件数恰好 件且不超重，求总价值最高值，优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择件洗衣液时重量为，剩余件总重量需不超过，选择 件洗洁精和 件卷纸，总重量为，刚好符合不超过， 此时总价值为元； 若选择件洗衣液重量为，剩余 件最高价值组合为件洗洁精加 件香皂，总价值为元，低于元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】根据解不等式组的步骤，先解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可求解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为． 19. 已知，且，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后式子中相关部分的值，最后代入求值． 【详解】解： ， ． 原式． 20. 如图，在四边形中，，点在上，且，对角线平分，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果是的中点，且，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴． 21. 在平面直角坐标系 中，函数与的图象交于点． （1）求 ，的值； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用交点在已知函数上求出a，再代入求k； （2）根据题意，分别求出当 时三个函数的函数值，结合图象，根据题意列出关于m的不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解： 点在函数的图象上， ， 交点为， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， 把 代入，得， 把 代入，得， 把 代入，得， 当时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 由图可知，当 时，函数的值要满足，且函数的比例系数m要满足， 解得且， 则． 22. 屏风是一种传统的中式家具，具有防风、隔断、遮隐、点缀环境和美化空间的作用．折屏是一种能折叠的屏风，又称曲屏．某家具厂为制作一款折屏，画出了单扇折屏的示意图，如图1，已知折屏的上段高、中段高与下段高的比是，横楣条的长度是上段高的2倍．屏芯为装饰区，其高比中段高短27厘米，宽是横楣条的一半，如果屏芯的高是宽的．求该单扇折屏的总高． 【答案】厘米． 【解析】 【分析】设折屏的上段高、中段高与下段高分别为，则横楣条的长度是，，，根据屏芯的高是宽的列方程并解方程求出，即可求出该单扇折屏的总高． 【详解】解：设折屏的上段高、中段高与下段高分别为，则横楣条的长度是，，， ∵屏芯的高是宽的． ∴， 解得， ∴， 即该单扇折屏的总高为厘米． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅，下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： a．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； b．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； c．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 25 50 25 40 20 售价 40 m 45 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为________，中位数为________； （2）从第三周到第五周，甲商品第________周的售价最高； （3）记甲商品这5周售价的方差为，乙商品这40周售价的方差为． ①________（填“>”“=”或“<”）； ②若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的”．重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为，则________（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（1）32元，25元 （2）四 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据，计算平均数，排序后的第三个数据为中位数； （2）根据 ， ， ，求解比较大小即可； （3）①把方差的大小比较，转化为极差的大小比较求解即可； ②比较涨幅幅度求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 （元）， 数据排序为： ， 故中位数为25元； 【小问2详解】 解：根据题意，得第二周 ， 故第二周售价涨幅为 ， 根据，得 ， 解得（元）； 根据题意，得第四周 ， 故第四周售价涨幅为 ， 根据，得 ， 解得（元）； 根据题意，得第五周 ， 故第五周售价跌幅为 ， 根据，得 ， 解得（元）； ， 故从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高； 【小问3详解】 ①解：根据题意，得甲商品售价的极大值为60元，极小值为40元， 故甲商品售价的极差为：（元）， 乙商品售价的极大值为200元，极小值为100元， 故乙商品售价的极差为：（元）， 由， 故； ②解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的 ”， ∵ ， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动大， ∴， 故； 24. 如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B，连接并延长交 于点D，且，连接，， ．取的中点C，连接并延长，交 于点F，交 于点M，交延长线于点E． （1）求的度数； （2）若 的半径为2，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为 的切线，切点为A，可得，由，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，从而求得，最后根据圆周角定理可得； （2）连接．先证，四边形是正方形，从而求出的长，在中，运用勾股定理，求出，证，求出，证，求出，最后根据，求出的长． 【小问1详解】 解：∵为 的切线，切点为A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵， ∴， ∵点C为中点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵ 的半径为2， ∴． ∵过点P作 的两条切线，切点分别为A，B， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中， ∵，，， ∴． ∵ 为 的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即． 25. 园艺基地开展花卉幼苗培育工作．幼苗先在恒温棚完成预缓苗驯化，预缓苗时长记为T（T可取0，1，2，3天）．驯化结束后转入露天环境正式培育；记露天培育的第x日，当日新增成活的幼苗数量为y株．根据以往的培育经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： 露天培育天数x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 24 34 41 46 48 50 52 53 时，从露天培育的第2日起，幼苗每日相比前一日多新增成活的株数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系 中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数x的值为________时，当日新增成活株数y首次超过35株； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小俞和小张将进行花卉幼苗露天培育工作，先在恒温棚完成预缓苗驯化（预缓苗时长T可取0，1，2，3天），驯化结束后转入露天环境正式培育． ①基地设定，若当日新增成活的幼苗数量不低于35株即可分批移栽，根据上述函数关系，小俞最早第________日能进行分批移栽； ②基地核算成本发现，预缓苗驯化成本为每日120元，露天培育养护成本为每日80元，每成活1株幼苗可带来10元收益．基地希望小张在7日内获得的总利润（总利润收益成本）最大，根据上述函数关系，在这7日内应安排小张先进行________日的预缓苗驯化． 【答案】（1）3 （2）； （3）①5 ② 2 【解析】 【分析】（1）观察函数图像，找出第一次时所对应的 值即可． （2）根据已知条件判断第3天和第5天所对应的 值之间的差，利用新增成活的株数减少或者保持不变，确定具体增加成活的株数，即可求出第4天时，所对应的 值．将时所有的值在直角坐标系中描点画出即可． （3）①根据表格和图先找出满足新增成活的幼苗数量不低于35株的是哪几个曲线即函数图像，分别求出它们的驯化天数和培育天数总和，找出最小值即是所求答案；②根据题意，列出总利润的公式，将各自的驯化天数、培育天数、总成活株数代入公式求出答案，找出最大值即是可判断驯化的天数是哪一个，即是所求答案． 【小问1详解】 解：由题中曲线可知，当整数 的值为3时， 的值首次超过35株． 【小问2详解】 解： 从露天培育的第2日起，幼苗每日相比前一日多新增成活的株数逐渐减少或保持不变， ， ，且3和2是接近的两个数， ，，满足题目要求． 时，所有的坐标点为，，，，，，，，，，将这些点在直角坐标系描点，进行连线即可形成曲线，如图所示， ． 【小问3详解】 解：①观察图和表格可知，当日新增成活的幼苗数量不低于35株即可分批移栽的有， 观察，在，时，新增的成活的幼苗数量不低于35株，， 观察，在， 时，新增的成活的幼苗数量不低于35株，， 观察，在， 时，新增的成活的幼苗数量不低于35株，. ， 小俞最早第5日能进行分批移栽． ②由题意可知，驯化天数为，露天培育天数为， 总利润=总成活株数． 当时，露天培育天数为，总株数为， 总利润为； 当时，露天培育天数为，总株数为， 总利润为； 当时，露天培育天数为，总株数为， 总利润为； 当时，露天培育天数为，总株数为， 总利润为． ． 基地希望小张7日内的总利润最大， 当时，总利润为1050，且最大． 在这7日内应安排小张先进行2日的预缓苗驯化． 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移6个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式（用含a的式子表示）； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点D，过点D作y轴的垂线，将抛物线在直线左侧的部分沿直线翻折，过点B作x轴的垂线，将抛物线在直线右侧的部分沿直线翻折，与抛物线的其他部分组成新的图形G．点，是图形G上的两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先求出A、B坐标，利用B在抛物线上代入求出b的值，即可得到抛物线解析式． （2）先分析翻折后图形G各段的增减性，根据题干要求，分情况讨论范围端点位置，验证是否满足条件即可得到a的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点A， 令，得， 所以． 将A向右平移6个单位得B， 所以． 因为B在抛物线上， 代入抛物线方程得： 整理得， 解得． 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：化为顶点式得， ∴对称轴为， ∵， ∴开口向上． 抛物线在 部分沿直线翻折， 翻折后解析式为， 该抛物线开口向下，对称轴为， 当 时， 随 增大而增大， 部分为原抛物线， ∴随 增大而减小，， 随 增大而增大． ∵抛物线在部分沿直线翻折，且， ∴翻折后的顶点为， ∴翻折后解析式为， ∴该抛物线开口向下，对称轴为 ， ∴时， 随 增大而减小． ∴Ｇ解析式为． ∵当时，对任意，总存在满足，， 分情况讨论： ①当时，所有满足的数都小于1，函数G随x的增大而增大． 符合题意． ②当时，取值范围里包含 ，且最大的数a不超过5， 在满足的所有数中函数的最大值出现在 ， 对应的函数值为， 当时，把代入函数，得， 当时，把代入函数，得， 但不在范围内． 取， 只要数字满足，对应的函数值都有， 不满足． ③当时， 把代入函数，此时， 在满足的所有数里，越靠近a，函数值越大，且最大能超过． 随便取一个满足的数，总能找到比大、同时小于a的数，让对应的函数值更大， 符合题意． ④当时， 取值范围里包含数字6， 对应的函数值是； 比6大、同时小于a的数对应的函数值会越来越小． 我们取，找不到比6大且小于a的数，能让函数值比更小， 不满足题意． 综合四种情况，a的取值范围是或． 27. 在中，， ，P是平面内的一点（不与点A重合），连接 ，以A为中心顺时针旋转线段 ，得到线段 ． （1）如图1，点P在边上，连接 ，若，补全图形并直接写出此时线段 的旋转角度（小于）（用含 的式子表示）； （2）如图2，点P在外，将线段 作（1）中同样的旋转，得到线段 ，将射线 绕点B逆时针旋转后交 的延长线于点N，且 ，判断线段 与 的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 由（1）和旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，延长到点H，使得 ，连接 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，由平行线的性质得到 的度数，由旋转的性质得到 ，则可得到 的度数，再求出 的度数即可得到答案； （2）延长到点G，使得 ，连接 ，证明，得到 ，则 ；由（1）和旋转的性质可得 ，证明，得到 ；求出，则；延长到点H，使得 ，连接 ，证明，得到 ，则可证明 ，再证明，即可得到 ． 【小问1详解】 解：补全图形见答案； ∵， ∴ ， 由旋转的性质可得 ， ∴ ， ∴， ∴线段 的旋转角度为 ； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系 中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． （1）若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； （2）若 的半径为，直线，求直线l上 的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； （3）已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）D （2） 或 （3） 或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，点P是线段的直角关联点当且仅当P对的张角，利用勾股定理逆定理判断三个点即可； （2） 半径是，圆心在原点，点P是圆的直角关联点需包含 ，等价于：从P向 作两条切线，切线夹角，即用三角函数和一元二次方程解答即可； （3）先确定封闭图形的存在范围，根据题意要求封闭图形内既有直角关联点也有非直角关联点，等价于封闭图形与圆心为T半径为4的圆相交，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 根据勾股定理逆定理，等价于， 点，，满足条件，故D是直角关联点； 点，，不满足条件，故E不是直角关联点； 点，，不满足条件，故F不是直角关联点； 线段的“直角关联点”的为D； 【小问2详解】 由题意可知：从P向 作两条切线，切线夹角， 当时，， 设， ， ， 解这个方程得：， 时， 横坐标m的取值范围或； 【小问3详解】 的半径， 因此P是的直角关联点等价于，非关联点等价于， 由题意可知：封闭图形中既存在关联点也存在非关联点，即封闭图形内既有的点，也有的点， 因此点到封闭图形的最短距离小于或等于4，且最远点距离大于4， 设， 当时，， ， 解得(舍）， ∴， 点到直线的距离， 解得：， 同法可求两直线间的距离为， 点到直线的距离，， 此时，解得：， 封闭图形最远点为，其到T的距离平方满足， 解得：或， 的取值范围或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $