精品解析：2024年北京市西城区北京师范大学附属中学中考三模数学试题

2024年北京市西城区北京师范大学附属中学中考数学三模试卷 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 2. 北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 7. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是____________． 10. 分解因式： =___． 11. 方程组的解为____________． 12. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 14. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 15. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 16. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 三、解答题（共52分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22-24题每题6分，第25题8分） 17. 计算：． 18. 解不等式，并写出它的所有负整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 24. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． （1）若，，求t的值； （2）已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 25. 在中，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）依据题意，补全图形； （2）求的度数； （3）作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年北京市西城区北京师范大学附属中学中考数学三模试卷 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图． 【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， ∴展开图可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 2. 北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义； 科学记数法的表示形式， 本题是将较小的数表示为科学记数法，则n是负数，其绝对值为小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】解：0.0000625用科学记数法表示为， 故选C． 3. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘法法则，掌握相关的方法和法则是解题的关键．根据数轴判断出，再由有理数加法、减法、乘法法则、绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，，，， 故选：B． 4. 如图，，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，由平行线的性质求出，，由角平分线定义得到，由平行线的性质即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 故选：D 5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义，当数据都加上同一个数（或减去同一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ， 故选：B． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，，   故选：B ． 7. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中出现种可能，那么事件的概率． 画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球的颜色相同的有3种，则两次摸出的小球的颜色相同的概率是． 故选B． 8. 如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线上，，，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 由图象可得， 当x从0到4时， ∴ ∵四边形是菱形 ∴点P在对角线上 ∴由图象可得，， ∴ ∵在菱形中，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴在中， ∴ 解得，负值舍去 ∴ ∴菱形的边长是． 故选：C． 【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P在对角线上． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，代入求解即可．． 根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可． 【详解】∵代数式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 10. 分解因式： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 11. 方程组的解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 根据方程组中的系数的特点，可求出的值，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， ， ， 把代入①得，， ， ∴原方程组的解为， 故答案为： ． 12. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据，可得反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°， ∴n=360÷60=6． 故答案为：6． 14. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 15. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 16. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况， 第1名 第2名 第3名 第4名 ① 丙 乙 丁 甲 ② 丙 丁 乙 甲 ③ 丁 丙 乙 甲 ④ 丁 乙 丙 甲 ⑤ 丁 甲 乙 丙 ⑥ 丁 乙 甲 丙 ⑦ 丙 甲 乙 丁 ⑧ 丙 乙 甲 丁 其中①②③④四种情况是甲为第4名， 故答案为，． 三、解答题（共52分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22-24题每题6分，第25题8分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含有三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先计算三角函数值、负整数指数幂、二次根式和绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 18. 解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式的解集是，其中所有负整数解为， 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则． 先解出不等式的解集，再求其负整数解． 【详解】解：． 移项得，． 合并同类项得，． 系数化为1得，． 所以原不等式的所有负整数解为，． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算括号内的式子，再根据分式除法法则化简得出最简结果，把变形后整体代入即可得答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理； （1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论； （2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图象的平移，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的上方，利用图象法求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把点代入得 ， 解得， ∴这个一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：由题意，得时直线在直线的上方， 当时，， 把代入，得，解得， 如图： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 22. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，． 即． ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 23. 如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 【答案】（1），，； （2）①2.2； ②描点画图如下： （3）1.9． 【解析】 【分析】（1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数； 【小问2详解】 ①如图，当时，而，， ∴是的中点， ∴， 此时重合， 过作交于，交于， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②略 【小问3详解】 由函数图象可得：当时，； 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 24. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． （1）若，，求t的值； （2）已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． 【小问2详解】 略 25. 在中，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）依据题意，补全图形； （2）求的度数； （3）作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全图形，如图所示： （2） （3）， 证明如下： 如图，作，交于点F， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得，则，即可得到．进一步即可得到答案； （3）作，交于点F．证明．再证明，得到，，，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $