1.3 公式法同步 讲义 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“公式法”因式分解核心知识点，系统梳理平方差公式（正向整式乘法与逆向因式分解）、完全平方公式（和与差的完全平方）的原理及适用条件，明确“先提公因式、再套公式、最后检查”的解题优先级，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色为分题型典例精讲，涵盖直接用公式（如基础整式、分数、多项式底数平方差）、先提公因式再套公式等类型，跟踪训练与随堂、课后练习层次分明。通过具体实例培养学生抽象能力和运算能力，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升推理意识与应用能力。

1.3 公式法 【知识点梳理】 1．平方差公式 整式乘法正向：(a＋b)(a－b)＝a²－b²。 因式分解逆向：a²－b²＝(a＋b)(a－b)。 适用条件：多项式为二项式；两项符号一正一负；两项均可写成平方形式。 2．完全平方公式 和的完全平方：a²＋2ab＋b²＝(a＋b)² 差的完全平方：a²－2ab＋b²＝(a－b)² 适用条件：多项式为三项式；首尾两项为平方项且符号相同；中间项为首尾底数乘积的2倍。 3．因式分解通用优先级（必考解题顺序） 先提公因式 → 再套乘法公式 → 最后检查分解彻底性 注意：区分平方差与完全平方公式，切勿混淆中间项；分数、小数平方项统一转化为整式平方再分解。 【典例精讲】 题型1：直接利用平方差公式分解因式 【例题1】基础整式平方差：x²－16。 【例题2】分数平方差：y²－。 【例题3】多项式底数平方差：(m＋n)²－25。 跟踪训练： 1．a²－36。 2．4x²－49。 3．x²－。 4．(x－1)²－9。 题型2：直接利用完全平方公式分解因式 【例题1】标准完全平方式：x²＋6x＋9。 【例题2】负中间项完全平方：4x²－12x＋9。 【例题3】整体换元完全平方：(a－b)²－4(a－b)＋4。 跟踪训练： 1．x²－8x＋16。 2．9x²＋12x＋4。 3．x²＋x＋。 4．(m＋2)²＋6(m＋2)＋9 题型3：先提公因式、再套公式 【例题1】2x²－8。 【例题2】3ax²－6axy＋3ay²。 【例题3】－2m²＋8n²。 跟踪训练： 1．3x²－27。 2．4a³－4a²＋a。 3．－5x²＋20y²。 4．2x³－8x²＋8x 【随堂演练】 1．因式分解：x²－25＝ 。 2．因式分解：x²－10x＋25＝ 。 3．因式分解：4x²－1＝ 。 4．因式分解：3x²－12＝_ 。 5．因式分解：x²＋4x＋4＝ 。 6．因式分解：2a²－8a＋8＝ 。 【课后对点练】 一、选择题（8题，每题3分，共24分） 1．下列多项式能用平方差公式分解的是（ ） A.x²+4　　B.x²-4　　C.x²-2x D.x²+4x＋4 2．下列多项式能用完全平方公式分解的是（ ） A.x²+2x-1　　 B.x²-4x+4 C.x²-4x+4 D.3x²－12 3．4x²-y²分解结果为（ ） A.(2x+y)(2x-y)　　 B.(4x+y)(4x-y) C.(2x+y)2 D.(2x-y)2 4．x²-6x+9分解结果为（ ） A.(x-3)²　　 B.(x+3)² C.(x+3)(x-3) D.-(x-3)² 5．分解2x²-18第一步需要（ ） A. 直接套平方差　　 B. 先提公因式 C.用完全平方和 D.用完全平方差 6．(x-y)²-4分解结果为（ ） A.(x+y+2)(x+y-2) B.(x-y+2)² C.(x-y-2)² D.(x-y+2)(x-y-2) 7．下列因式分解正确的是（ ） A.x²+1=(x+1)²　　 B.9-x²=(3+x)(3-x) C.x²-12x+36=(x+6)² D.(x-y)²-9=(x-y+3)² 8．完全平方式x²+kx+4中k的值为（ ） A.4　　 B.±8 C.8 D.±4 二、填空题（6题，每题3分，共18分） 9．9x²-1＝ 。 10．x²+14x+49＝ 。 11．16－x²＝ 。 12．3m²-12m+12＝ 。 13．因式分解四步口诀：一提二 三查。 14．-x²+4＝ 。 三、解答题（4题，共28分） 15．（6分）直接公式分解： （1）36x²-25y²；　　（2）x²-12x+36。 16．（7分）先提公因式再套公式： （1）5a²-20b²；　　 （2）2x²-12xy+18y²。 17．（7分）利用因式分解计算： （1）102²-98²；　　 （2）99²+198+1。 18．（8分）已知x+y=6，xy=4，求x²+y²的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 公式法 【知识点梳理】 1．平方差公式 整式乘法正向：(a＋b)(a－b)＝a²－b²。 因式分解逆向：a²－b²＝(a＋b)(a－b)。 适用条件：多项式为二项式；两项符号一正一负；两项均可写成平方形式。 2．完全平方公式 和的完全平方：a²＋2ab＋b²＝(a＋b)² 差的完全平方：a²－2ab＋b²＝(a－b)² 适用条件：多项式为三项式；首尾两项为平方项且符号相同；中间项为首尾底数乘积的2倍。 3．因式分解通用优先级（必考解题顺序） 先提公因式 → 再套乘法公式 → 最后检查分解彻底性 注意：区分平方差与完全平方公式，切勿混淆中间项；分数、小数平方项统一转化为整式平方再分解。 【典例精讲】 题型1：直接利用平方差公式分解因式 【例题1】基础整式平方差：x²－16。 解：原式=(x＋4)(x－4)。 【例题2】分数平方差：y²－。 解：原式=(y＋)(y－)。 【例题3】多项式底数平方差：(m＋n)²－25。 解：原式=(m+n)²－5²＝[(m+n)+5][(m+n)-5]=(m＋n＋5)(m＋n－5)。 跟踪训练： 1．a²－36。 解：原式=a²-6²=(a＋6)(a－6)。 2．4x²－49。 解：原式=(2x)²-7²=(2x＋7)(2x－7)。 3．x²－。 解：原式=x²-()²＝(x＋)(x－)。 4．(x－1)²－9。 解：原式=[(x-1)+3][(x-1)-3]＝(x+2)(x-4)。 题型2：直接利用完全平方公式分解因式 【例题1】标准完全平方式：x²＋6x＋9。 解：原式=x²＋2·x·3＋3²=(x＋3)²。 【例题2】负中间项完全平方：4x²－12x＋9。 解：原式=(2x)²－2·2x·3＋3²=(2x－3)²。 【例题3】整体换元完全平方：(a－b)²－4(a－b)＋4。 解：原式=(a-b)²－2·(a－b)·2＋2²=(a－b－2)²。 跟踪训练： 1．x²－8x＋16。 解：原式=x²-2·x·4＋4²=(x－4)²。 2．9x²＋12x＋4。 解：原式=(3x)²＋2·3x·2＋2²=(3x＋2)²。 3．x²＋x＋。 解：原式=x²＋2·x·＋=(x＋)²。 4．(m＋2)²＋6(m＋2)＋9 解：原式＝(m＋2)²＋2·(m＋2)·3＋3²＝(m+2+3)²＝(m＋5)²。 题型3：先提公因式、再套公式 【例题1】2x²－8。 解：原式＝2(x²-4)＝2(x＋2)(x－2)。 【例题2】3ax²－6axy＋3ay²。 解：原式＝3a(x²-2xy+y²)＝3a(x－y)²。 【例题3】－2m²＋8n²。 解：原式＝－2（m²-4n²）＝－2[m²-(2n)²]＝－2(m＋2n)(m－2n)。 跟踪训练： 1．3x²－27。 解：原式=3(x²-9)=3(x＋3)(x－3)。 2．4a³－4a²＋a。 解：原式=a(4a²-4a+1)=a(2a－1)²。 3．－5x²＋20y²。 解：原式=-5(x²-4y²)=－5(x＋2y)(x－2y)。 4．2x³－8x²＋8x 解：原式=2x(x²-4x+4)=2x(x－2)²。 【随堂演练】 1．因式分解：x²－25＝ 。 【答案】(x＋5)(x－5) 【解析】x²-25＝x²-5²=(x+5)(x-5)。 2．因式分解：x²－10x＋25＝ 。 【答案】(x－5)² 【解析】识别完全平方式：x²＝(x)²，25＝5²，中间项 2·x·5＝10x（原式为-10x，b取-5），得 (x-5)²。 3．因式分解：4x²－1＝ 。 【答案】(2x＋1)(2x－1) 【解析】4x²＝(2x)²，1＝1²，平方差公式：a＝2x，b＝1，得(2x+1)(2x-1)。 4．因式分解：3x²－12＝_ 。 【答案】3(x＋2)(x－2) 【解析】一提公因式3：3(x²-4)；二套平方差：x²-4＝(x+2)(x-2)，得3(x+2)(x-2)。 5．因式分解：x²＋4x＋4＝ 。 【答案】(x＋2)² 【解析】首平x²，尾平方2²＝4，中间项2·x·2＝4x ，完全平方：(x+2)²。 6．因式分解：2a²－8a＋8＝ 。 【答案】2(a－2)² 【解析】一提：公因式2，得2(a²-4a+4)；二套：a²-4a+4＝(a-2)²，最终2(a-2)²。 【课后对点练】 一、选择题（8题，每题3分，共24分） 1．下列多项式能用平方差公式分解的是（ ） A.x²+4　　B.x²-4　　C.x²-2x D.x²+4x＋4 【答案】B 【解析】平方差公式要求：(1)二项式；(2)减法运算；(3)两项都是完全平方。B是x²-4＝x²-2² ,故B正确。 2．下列多项式能用完全平方公式分解的是（ ） A.x²+2x-1　　 B.x²-4x+4 C.x²-4x+4 D.3x²－12 【答案】C 【解析】完全平方条件：三项式，首尾为平方项，中间项为首尾底数乘积的2倍。C：x²和4＝2²，中间项 2·x·2＝4x 。故C正确。 3．4x²-y²分解结果为（ ） A.(2x+y)(2x-y)　　 B.(4x+y)(4x-y) C.(2x+y)2 D.(2x-y)2 【答案】A 【解析】平方差公式要求找准底数：4x²＝(2x)²，y²＝(y)²。a＝2x，b＝y，得(2x+y)(2x-y),故A正确。 4．x²-6x+9分解结果为（ ） A.(x-3)²　　 B.(x+3)² C.(x+3)(x-3) D.-(x-3)² 【答案】A 【解析】首平方x²，尾平方3²＝9，中间项 2·x·3＝6x，原式为-6x，故b＝-3，得 (x-3)²,故A正确。 5．分解2x²-18第一步需要（ ） A. 直接套平方差　　 B. 先提公因式 C.用完全平方和 D.用完全平方差 【答案】B 【解析】一提二套原则：2x²-18中两项系数2和18有公因数2，应先提取。 6．(x-y)²-4分解结果为（ ） A.(x+y+2)(x+y-2) B.(x-y+2)² C.(x-y-2)² D.(x-y+2)(x-y-2) 【答案】D 【解析】把(x-y)看作整体，4＝2²，由平方差公式：(x-y)²-2²＝[(x-y)+2][(x-y)-2]＝(x-y+2)(x-y-2)。 7．下列因式分解正确的是（ ） A.x²+1=(x+1)²　　 B.9-x²=(3+x)(3-x) C.x²-12x+36=(x+6)² D.(x-y)²-9=(x-y+3)² 【答案】B 【解析】B：9-x²＝3²-x²＝(3+x)(3-x),故B正确。 8．完全平方式x²+kx+4中k的值为（ ） A.4　　 B.±8 C.8 D.±4 【答案】D 【解析】x²+kx+4中，x²是首平方，4＝2²是尾平方(或(-2)²)。中间项应为 2·x·2＝4x 或 2·x·(-2)＝-4x。因此k＝4或k＝-4都可以构成完全平方式：(x+2)²或(x-2)²。 二、填空题（6题，每题3分，共18分） 9．9x²-1＝ 。 【答案】(3x+1)(3x-1) 【解析】平方差：9x²＝(3x)²，1＝1²，a＝3x，b＝1，得 (3x+1)(3x-1)。 10．x²+14x+49＝ 。 【答案】(x+7)² 【解析】完全平方：x²＝x²，49＝7²，中间项 2·x·7＝14x ，得 (x+7)²。 11．16－x²＝ 。 【答案】(4+x)(4-x) 【解析】16＝4²，x²＝(x)²。平方差：(4+x)(4-x)。 12．3m²-12m+12＝ 。 【答案】3(m-2)² 【解析】一提公因式3：3(m²-4m+4)；二套完全平方：m²-4m+4＝(m-2)²。 13．因式分解四步口诀：一提二 三查 【答案】套 【解析】完整口诀：一提二套三检查。一提：先提取公因式；二套：再套用乘法公式（平方差、完全平方等）；三检查：最后检查分解是否彻底。 14．-x²+4＝ 。 【答案】(2+x)(2-x) 【解析】重组为4-x²＝2²-x²＝(2+x)(2-x)。即(2+x)(2-x)与(x+2)(2-x)为同一结果。 三、解答题（4题，共28分） 15．（6分）直接公式分解： （1）36x²-25y²；　　（2）x²-12x+36。 解：（1）原式=(6x)²-(5y)²=(6x+5y)(6x-5y)。 （2）原式=x²-2·x·6+62=(x-6)²。 16．（7分）先提公因式再套公式： （1）5a²-20b²；　　 （2）2x²-12xy+18y²。 解：（1）原式＝5(a²-4b²)＝5(a+2b)(a-2b)。 （2）原式＝2(x²-6xy+9y²)=2(x-3y)²。 17．（7分）利用因式分解计算： （1）102²-98²；　　 （2）99²+198+1。 解：（1）原式=(102+98)(102-98)＝200×4＝800。 （2）原式=99²+2·99·1+1²＝(99+1)²＝100²＝10000。 18．（8分）已知x+y=6，xy=4，求x²+y²的值。 解：利用完全平方公式的变形。 由(x+y)²＝x²+2xy+y²，移项得 x²+y²＝(x+y)²-2xy， 代入已知条件：x+y＝6，xy＝4， x²+y²＝6²-2×4＝36-8＝28， 公式溯源：(x+y)²展开为x²+2xy+y²，所有三项中已知(x+y)²和xy，解出x²+y²。 学科网（北京）股份有限公司 $