1.2 提公因式法 同步讲义 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“提公因式法”核心知识点，系统梳理公因式定义、确定三步法（系数最大公约数、相同字母、最低次幂）、通用公式ma+mb+mc=m(a+b+c)及四大易错考点，构建从基础概念到应用技巧的学习支架。 资料以分题型典例（单项式公因式、多项式整体公因式、简便运算与求值）配跟踪训练为特色，通过“a(x-y)+b(x-y)”培养抽象能力，“2026²-2026×2025”提升运算能力与应用意识。课中辅助教师教学，课后分层练习助学生巩固知识、查漏补缺。

1.2 提公因式法 【知识点梳理】 1．公因式定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2．公因式确定三步法 ①系数：取各项系数的最大公约数； ②字母：取各项都含有的相同字母； ③指数：取相同字母的最低次幂。 3．提公因式法分解因式通用公式 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) 4．四大高频易错考点 ① 首项为负，优先提取负号，括号内每一项全部变号； ② 某一项被全部提出公因式后，剩余常数项为1，严禁漏写； ③ 互为相反数的多项式：(a-b)＝-(b-a)，统一公因式再提取； ④ 公因式可以是单项式，也可以是多项式整体。 【典例精讲】 题型1：提取单项式公因式 【例题1】因式分解：3x²＋6x－9。 解：原式＝3(x²＋2x－3)。 【例题2】因式分解：8a³b²－12ab³c。 解：原式＝4ab²(2a²－3bc)。 【例题3】因式分解：－4m²＋6m。 解：原式=－2m(2m－3)。 跟踪训练： 1．5x²－10x。 解：原式=5x(x－2)。 2．6x³y－9x²y²。 解：原式=3x²y(2x－3y) 3．－3a²－6a。 解：原式=－3a(a＋2)。 4．12mn²－18m²n。 解：原式=6mn(2n－3m)。 题型2：含多项式整体公因式 【例题1】因式分解：a(x－y)＋b(x－y)。 解：原式=(x－y)(a＋b)。 【例题2】因式分解：2(m－n)²－(m－n)。 解：原式=(m－n)(2m－2n－1)。 【例题3】因式分解：3(x－2)＋x(2－x) 解：原式=(x－2)(3－x)。 跟踪训练： 1．x(a－b)－y(a－b)。 解：原式=(a－b)(x－y)。 2．4(x＋y)²－2(x＋y)。 解：原式=2(x＋y)(2x＋2y－1)。 3．5(m－3)＋2(3－m)。 解：原式=3(m－3)。 4．2(a－1)³－(1－a)²。 解：原式=(a－1)²(2a－1)。 题型3：提公因式法简便运算＋代数式求值 【例题1】计算：2026²－2026×2025。 解：原式＝2026×(2026－2025)＝2026×1＝2026。 【例题2】计算：5.6×132＋5.6×68 解：原式＝5.6×(132＋68)＝5.6×200＝1120。 【例题3】先因式分解再求值：3x²－6x，其中x＝3。 解：原式=3x(x－2)。当x＝3时， 原式=3×3×(3－2)＝9×1＝9。 跟踪训练： 1．101²－101×91。 解：原式=101×(101－91)＝101×10＝1010。 2．7.2×45＋7.2×55。 解：原式=7.2×(45＋55)＝7.2×100＝720。 3．先因式分解再求值：4a²－8a，其中a＝5。 解：原式=4a²－8a＝4a(a－2)。 代入a＝5：原式=4×5×(5-2)＝20×2＝40。 4．先因式分解再求值：6mn－3m，其中m＝2，n＝3。 解：原式=6mn－3m＝3m(2n－1)。 代入m＝2，n＝3：原式=3×2×(2×3-1)＝6×3＝18。 【随堂演练】 1．多项式 6x²y－3xy² 的公因式是 。 【答案】3xy 【详细解析】三步确定： ① 系数：6和3的最大公约数为3； ② 字母：两项都含x和y，各取最低次幂 x¹、y¹； ③ 组合：3·x·y＝3xy。验证：6x²y÷3xy＝2x，-3xy²÷3xy＝-y，均能整除。 2．因式分解：4x－8xy＝ 。 【答案】4x(1－2y) 【解析】公因式：系数4和8最大公约数4，字母x取x¹。提取4x：4x÷4x＝1，-8xy÷4x＝-2y，得 4x(1-2y)。注意第一项提出4x后剩下1不是0！这是最常见的易错点。 3．因式分解：(a－3)＋2a(3－a)＝ 。 【答案】(a－3)(1－2a) 【解析】统一公因式：(3-a)＝-(a-3)，所以 2a(3-a)＝-2a(a-3)。原式＝(a-3)-2a(a-3)＝(a-3)(1-2a)。 4．判断正误：－2x²＋4x＝－2x(x＋2)（ ） 【答案】× 【解析】检验：－2x(x＋2)＝－2x²－4x，而原式是－2x²＋4x，符号不匹配！ 错误原因：提取－2x后，第二项4x÷(-2x)＝-2，括号内应为 (x－2) 而非 (x＋2)。正确结果：－2x(x－2)。 5．简便计算：2025²－2025×2024＝ 。 【答案】2025 【解析】逆用提公因式：原式＝2025×(2025－2024)＝2025×1＝2025。 6．先分解再求值：5x²－10x，其中x＝4。 解：原式=5x²－10x＝5x(x－2)。 代入x＝4：原式=5×4×(4-2)＝20×2＝40。 【课后对点练】 一、选择题 1．多项式9a²b－12ab²的公因式是（ ） A. 3ab　　B. 6ab　　C. 3a　　D. 3b 【答案】A 【解析】系数：9和12最大公约数为3（B的6不是公约数，12÷6＝2但9÷6≠整数）。字母：a取a¹、b取b¹（C缺b、D缺a）。综合得3ab。 2．因式分解 -5x²＋10x 结果正确的是（ ） A. -5x(x－2)　　B. 5x(x＋2) C.-5x(x＋2) D-5x(-x＋2) 【答案】A 【解析】公因式-5x：(-5x²)÷(-5x)＝x，10x÷(-5x)＝-2。得-5x(x-2)。故A正确。 3．下列因式分解正确的是（ ） A. 2x＋4＝2(x＋2)　　 B. 3x－6＝3(x－6) C.－2x²＋4x＝－2x(x＋2) D.9a²b－12ab²=3ab（a+b） 【答案】A 【解析】A.2x+4＝2(x+2)，故A正确。 4．a(x－y)＋b(y－x)提取公因式后结果为（ ） A.(x－y)(a＋b)　　B.(x－y)(a－b) C.(x+y)(a－b) D.(x－y)(－a+b) 【答案】B 【解析】统一公因式：(y-x)＝-(x-y)，原式＝a(x-y)－b(x-y)＝(x-y)(a-b)。故B正确。 5．计算 99×78＋99×22 简便结果为（ ） A. 990　　 B.7800 　　 C. 9900 D.8880 【答案】C 【解析】提公因数99：99×(78+22)＝99×100＝9900。 6．因式分解3(x－1)－(1－x) 结果为（ ） A.2(x+1) 　　B. 2(x－1) C.4(x－1) D.4(x+1) 【答案】C 【解析】(1-x)＝-(x-1)，原式＝3(x-1)＋(x-1)＝4(x-1)。 7．多项式5x²－5x提取公因式后，容易漏写的常数项是（ ） A. 0　　B. 1　　C. -1 D.2 【答案】B 【解析】提取5x：5x²÷5x＝x，5x÷5x＝1（而非0！因为5x＝5x×1，提出5x后应剩1）。正确结果：5x(x-1)。 8．下列多项式适合提取整体公因式的是（ ） A. x²＋2x　　 B. 2(x－1)＋3(x－1) C.2x²－10x D.3x²+27x 【答案】B 【解析】B中两项都含有(x-1)这一整体因式，可直接提取为(2+3)(x-1)＝5(x-1)。A只是普通单项式公因式提取。 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 9．7m－14mn＝ 。 【答案】7m(1－2n)。 【解析】公因式7m：7m÷7m＝1，-14mn÷7m＝-2n。重点：第一项提出后剩1不是0。 10．－6x²－3x＝ 。 【答案】－3x(2x＋1) 【解析】公因式-3x：(-6x²)÷(-3x)＝2x，(-3x)÷(-3x)＝+1。注意：两个负数项提出负公因式后，括号内都变为正数。 11．2(x＋y)－x(x＋y)＝ 。 【答案】(x＋y)(2－x) 【解析】整体公因式(x+y)：提取后得 (x+y)(2-x)。 12．简便运算：56×99＋56＝ 。 【答案】5600 【解析】56×99＋56×1＝56×(99+1)＝56×100＝5600。注意把单独一个56写成56×1再提取公因数是关键技巧。 13．(m－n)²＋2(n－m)＝ 。 【答案】(m－n)(m－n－2) 【解析】先统一：(n-m)＝-(m-n)，所以 2(n-m)＝-2(m-n)。原式＝(m-n)²－2(m-n)，提取(m-n)：(m-n)[(m-n)-2]＝(m-n)(m-n-2)。 14．提公因式时，首项为负数，需要优先提取 。 【答案】负号 【解析】这是提公因式法的规范要求。如 -4m²+6m，优先提取 -2m 而非 2m，保证括号内首项为正。 三、解答题（4小题，共28分） 15．（6分）基础因式分解： （1）5x³－10x²。　　 （2） －4a²b＋6ab²。 解：（1）原式=5x²(x－2)。（2）原式=－2ab(2a－3b)。 16．（7分）整体公因式分解： （1）x(m－n)＋y(n－m)。　 （2）3(a－b)²－6(b－a)。 解：（1）原式＝x(m-n)－y(m-n)＝(m-n)(x-y)。 （2）原式＝3(a-b)²＋6(a-b)=3(a-b)[(a-b)+2]＝3(a-b)(a-b+2)。 17．（7分）简便计算： （1）2024²－2024×1024。 （2）4.8×123＋4.8×77 解：（1）原式=2024×(2024－1024)＝2024×1000＝2024000。 （2）原式=4.8×(123＋77)＝4.8×200＝960。 18．（8分）先因式分解再代入求值：2x²y－4xy²，其中x＝3，y＝1。 解：原式=2x²y－4xy²＝2xy(x－2y)。 代入 x＝3，y＝1：原式＝2×3×1×(3－2×1)＝6×(3－2)＝6×1＝6。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 提公因式法 【知识点梳理】 1．公因式定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2．公因式确定三步法 ①系数：取各项系数的最大公约数； ②字母：取各项都含有的相同字母； ③指数：取相同字母的最低次幂。 3．提公因式法分解因式通用公式 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) 4．四大高频易错考点 ① 首项为负，优先提取负号，括号内每一项全部变号； ② 某一项被全部提出公因式后，剩余常数项为1，严禁漏写； ③ 互为相反数的多项式：(a-b)＝-(b-a)，统一公因式再提取； ④ 公因式可以是单项式，也可以是多项式整体。 【典例精讲】 题型1：提取单项式公因式 【例题1】因式分解：3x²＋6x－9。 【例题2】因式分解：8a³b²－12ab³c。 【例题3】因式分解：－4m²＋6m。 跟踪训练： 1．5x²－10x。 2．6x³y－9x²y²。 3．－3a²－6a。 4．12mn²－18m²n。 题型2：含多项式整体公因式 【例题1】因式分解：a(x－y)＋b(x－y)。 【例题2】因式分解：2(m－n)²－(m－n)。 【例题3】因式分解：3(x－2)＋x(2－x) 跟踪训练： 1．x(a－b)－y(a－b)。 2．4(x＋y)²－2(x＋y)。 3．5(m－3)＋2(3－m)。 4．2(a－1)³－(1－a)²。 题型3：提公因式法简便运算＋代数式求值 【例题1】计算：2026²－2026×2025。 【例题2】计算：5.6×132＋5.6×68 【例题3】先因式分解再求值：3x²－6x，其中x＝3。 跟踪训练： 1．101²－101×91。 2．7.2×45＋7.2×55。 3．先因式分解再求值：4a²－8a，其中a＝5。 4．先因式分解再求值：6mn－3m，其中m＝2，n＝3。 【随堂演练】 1．多项式 6x²y－3xy² 的公因式是 。 2．因式分解：4x－8xy＝ 。 3．因式分解：(a－3)＋2a(3－a)＝ 。 4．判断正误：－2x²＋4x＝－2x(x＋2)（ ） 5．简便计算：2025²－2025×2024＝ 。 6．先分解再求值：5x²－10x，其中x＝4。 【课后对点练】 一、选择题 1．多项式9a²b－12ab²的公因式是（ ） A. 3ab　　B. 6ab　　C. 3a　　D. 3b 2．因式分解 -5x²＋10x 结果正确的是（ ） A. -5x(x－2)　　B. 5x(x＋2) C.-5x(x＋2) D-5x(-x＋2) 3．下列因式分解正确的是（ ） A. 2x＋4＝2(x＋2)　　 B. 3x－6＝3(x－6) C.－2x²＋4x＝－2x(x＋2) D.9a²b－12ab²=3ab（a+b） 4．a(x－y)＋b(y－x)提取公因式后结果为（ ） A.(x－y)(a＋b)　　B.(x－y)(a－b) C.(x+y)(a－b) D.(x－y)(－a+b) 5．计算 99×78＋99×22 简便结果为（ ） A. 990　　 B.7800 　　 C. 9900 D.8880 6．因式分解3(x－1)－(1－x) 结果为（ ） A.2(x+1) 　　B. 2(x－1) C.4(x－1) D.4(x+1) 7．多项式5x²－5x提取公因式后，容易漏写的常数项是（ ） A. 0　　B. 1　　C. -1 D.2 8．下列多项式适合提取整体公因式的是（ ） A. x²＋2x　　 B. 2(x－1)＋3(x－1) C.2x²－10x D.3x²+27x 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 9．7m－14mn＝ 。 10．－6x²－3x＝ 。 11．2(x＋y)－x(x＋y)＝ 。 12．简便运算：56×99＋56＝ 。 13．(m－n)²＋2(n－m)＝ 。 14．提公因式时，首项为负数，需要优先提取 。 三、解答题（4小题，共28分） 15．（6分）基础因式分解： （1）5x³－10x²。　　 （2） －4a²b＋6ab²。 16．（7分）整体公因式分解： （1）x(m－n)＋y(n－m)。　 （2）3(a－b)²－6(b－a)。 17．（7分）简便计算： （1）2024²－2024×1024。 （2）4.8×123＋4.8×77 18．（8分）先因式分解再代入求值：2x²y－4xy²，其中x＝3，y＝1。 学科网（北京）股份有限公司 $