专题1.2 公式法（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题1.2 公式法 教学目标 1.会用运用平方差公式、完全平方公式因式分解； 2.利用公式法因式分解求值 。 教学重难点 1.重点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解。 2.难点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解的应用。 知识点01 运用平方差公式因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 【即学即练1】 1．分解因式 ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．套用平方差公式分解是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．将下列多项式分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键． （1）整理后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）整理后利用平方差公式进行因式分解即可； （3）整理后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 知识点02 运用完全平方公式因式分解 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【即学即练2】 1．分解因式： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式：进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）， 解：原式， ； （2）， 解：原式， ． 题型01 判断能否用平方差公式因式分解 【典例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 【变式1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 题型02 运用平方差公式因式分解 【典例1】分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是利用平方差公式．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型03 判断能否用完全平方公式因式分解 【典例1】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵，即不符合完全平方公式， ∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意； ∵， ∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、判断能否用公式法分解因式 【分析】根据完全平方公式进行判断，即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④； ⑤．， 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：． 【变式3】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 题型04 运用完全平方公式因式分解 【典例1】分解因式： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】将因式分解后的结果为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用完全平方根公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】因式分解的结果为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式3】分解因式： （） ； （） ； （） ； （） ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】（）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 题型05 综合运用公式法因式分解 【典例1】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案； （2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解； （3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式2】因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3】因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型06 综合提公因式和公式法因式分解 【典例1】因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式1】因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法． （1）提取公因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得； （3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得； （4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ． 题型07 运用因式分解求多项式的值 【典例1】已知，，则 ． 【答案】24 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，利用平方差公式分解因式是解题的关键．先利用平方差公式分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：24． 【变式1】若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】已知，，则 ． 【答案】100 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先运用提取公因式和公式法因式分解，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：100． 【变式3】若满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征解答即可． 【详解】解：因为 所以 故答案为：. 1．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D． 2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 3．已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 4．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：， ， ． 故只有乙的正确， 故选：D． 6．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 7．因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．已知，且，则 . 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 11．若，则代数式的值为 ． 【答案】0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查的是因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式因式分解是解决此题的关键． 将因式分解变形为，然后代入求值即可． 【详解】解： ∵， 将代入，得 原式 故答案为：0． 12．已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 14．将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式分解即可； （3）原式整理后．运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 17．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键． （1）提公因式即可； （2）先变形，再提公因式即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 【答案】(1)，； (2)，推理见解析 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了运用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式，因式分解计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：3，； （2）解：． ． 19．小白同学在学习中发现，对于可以使用以下方法分解因式． ． 这种方法是在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．请使用小白同学发现的方法把分解因式； 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了多项式的因式分解，因式分解的完全平方公式和平方差公式，关键是通过配方使二次三项式为完全平方公式．二次三项式中先加上16，使它与的和成为一个完全平方式，再减去16，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式． 【详解】解：， ， ， ． 20．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)是4的倍数．说明见解析 (3) 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键； （1）根据即可判断； （2）计算的结果，根据结果即可作出判断； （3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“智慧数”； 故答案为：是； （2）解：是4的倍数． 理由如下： ， 而是4的倍数， ∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数； （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 公式法 教学目标 1.会用运用平方差公式、完全平方公式因式分解； 2.利用公式法因式分解求值 。 教学重难点 1.重点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解。 2.难点：运用平方差公式、完全平方公式因式分解的应用。 知识点01 运用平方差公式因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 【即学即练1】 1．分解因式 ． 2．将下列多项式分解因式： (1) (2) (3) 知识点02 运用完全平方公式因式分解 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【即学即练2】 1．分解因式： ． 2．因式分解： ． 3．因式分解： (1) (2) 题型01 判断能否用平方差公式因式分解 【典例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型02 运用平方差公式因式分解 【典例1】分解因式： ． 【变式1】分解因式： ． 【变式2】因式分解： ． 【变式3】分解因式： ． 题型03 判断能否用完全平方公式因式分解 【典例1】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型04 运用完全平方公式因式分解 【典例1】分解因式： ． 【变式1】将因式分解后的结果为 ． 【变式2】因式分解的结果为 ． 【变式3】分解因式： （） ； （） ； （） ； （） ． 题型05 综合运用公式法因式分解 【典例1】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式1】因式分解 (1) (2) (3) 【变式2】因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】因式分解： (1) (2) (3) (4) 题型06 综合提公因式和公式法因式分解 【典例1】因式分解： (1) (2)． 【变式1】因式分解： (1)； (2)； 【变式2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式3】把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07 运用因式分解求多项式的值 【典例1】已知，，则 ． 【变式1】若，，则的值为 ． 【变式2】已知，，则 ． 【变式3】若满足，则代数式的值为 ． 1．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 4．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 5．甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 6．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 7．因式分解： ． 8．因式分解： ． 9．因式分解： ． 10．已知，且，则 . 11．若，则代数式的值为 ． 12．已知，则的值为 ． 13．因式分解： (1)； (2)． 14．将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 15．把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 16．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．分解因式： (1) (2) (3) (4) 18．计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 19．小白同学在学习中发现，对于可以使用以下方法分解因式． ． 这种方法是在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．请使用小白同学发现的方法把分解因式； 20．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$