1.1 多项式的因式分解 同步讲义 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“因式分解”核心知识点，系统梳理因式分解的定义、与整式乘法的互逆关系及基本要求，构建从概念理解到规范应用的学习支架，帮助学生明确分解需为整式乘积且彻底的关键要点。 资料通过辨析变形是否为因式分解培养抽象能力（数学眼光），借助参数求解题发展推理意识（数学思维），题型覆盖选择、填空、解答，课中辅助教学，课后助力学生巩固，提升用数学语言表达和应用的能力。

第1章 因式分解 1.1 多项式的因式分解 【知识点梳理】 1．因式分解的定义 把一个多项式表示成若干个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 2．因式分解与整式乘法的关系（互逆运算） 整式乘法：整式的积 → 多项式（和差形式）。 因式分解：多项式（和差形式） → 整式的积。 注意： ① 因式分解结果必须是乘积形式，不能留有和差； ② 分解结果中每一个因式都必须是整式； ③ 分解要彻底，直到不能再分解为止。 3．因式分解的基本要求 （1）结果必须为整式乘积，禁止出现分式； （2）多项式首项系数一般化为正数； （3）相同因式统一写成幂的形式，格式规范。 【典例精讲】 题型1：判断变形是否为因式分解 【例题1】下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A.x²+2x＝x(x+2)　　　 B.x²+4x+1＝x(x+4)+1 C.(x+1)(x-1)＝x²-1　　　 D.x²-2＝x(x－) 【例题2】判断：2x²-8＝2(x²-4) 是完整的因式分解吗？说明理由。 【例题3】下列变形不属于因式分解的是（ ） A.ab-a＝a(b-1)　　　 B.x²-9＝(x+3)(x-3) C.x²+3x+2＝x(x+3)+2　　　D.3mx-6my＝3m(x-2y) 跟踪训练： 1.下列属于因式分解的是（ ） A. x²+5x-1＝x(x+5)-1　　 B.(x-2)(x+2)＝x²-4 C. x²-4＝(x+2)(x-2)　　 D.x-1＝x(1- ) 2．辨析变形：3x+3＝3(x+1) （填是或不是） 因式分解。 3．因式分解结果必须是 的积。 4．简述整式乘法和因式分解的核心区别。 题型2：利用因式分解结果求多项式参数 【例题1】若x²+mx-6＝(x+2)(x-3)，求m的值。 【例题2】已知 2x²+kx-10＝2(x+5)(x-1)，求k的值。 【例题3】多项式x²+ax+b分解为(x-1)(x+4)，求a、b的值。 跟踪训练： 1若x²+px+8＝(x+2)(x+4)，则p＝ 。 2．x²-7x+n＝(x-3)(x-4)，则n＝ 。 3．已知mx²-5x+2＝(2x-1)(x-2)，求m的值。 4．若多项式分解结果为3(x-1)(x+2)，写出原多项式： 【随堂演练】 1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A.x²-4+3x＝(x+2)(x-2)+3x　　 B.x²-6x+9＝(x-3)² C.(x+5)(x-2)＝x²+3x-10　　 D.x²+1＝x(x+) 2．因式分解与整式乘法互为 运算。 3．将多项式x²-1因式分解的结果是 。 4．判断正误：4x²-4x＝4x(x-1)，该变形是正确的因式分解吗？（ ） 5．若x²+mx+6＝(x+3)(x+2)，则 m＝ 。 6．请说明x²+2x+1＝x(x+2)+1不属于因式分解的原因。 【课后对点练】 一、选择题 1．下列变形中，属于因式分解的是（ ） A.2x(x-1)＝2x²-2x　　 B.x²-2x＝x(x-2) C.x²+x+1＝x(x+1)+1　　D.x²-4＝(x-2)² 2．因式分解的最终结果要求必须是（ ） A.和差形式　　 B.整式乘积形式　　 C.分式乘积形式　　D.单项式形式 3．下列因式分解不彻底的是（ ） A.2x²-8＝2(x²-4)　　 B.x²-4＝(x+2)(x-2) C.x²+2x＝x(x+2)　　 D.3x+6＝3(x+2) 4.若x²+kx-15＝(x+5)(x-3)，则k的值为（ ） A. 2　　B. -2　　C. 8　　D. -8 5．下列说法正确的是（ ） A.整式乘法是和差化积　　 B.因式分解是积化和差 C.二者互为逆运算　　 D.二者无关联 6．下列变形不属于因式分解的是（ ） A.ab-2b＝b(a-2)　　 B.m²-1＝(m+1)(m-1) C.x²+4x＝x(x+4)　　 D.x+1＝x(1+) 7．多项式x²-5x+6分解因式结果为（ ） A.(x-2)(x-3)　　 B.(x+2)(x+3)　　 C.(x-6)(x+1)　　 D.(x+6)(x-1) 8．把多项式-3x²+6x因式分解，首项系数化为正数后结果为（ ） A. -3x(x-2)　　B. 3x(x-2)　　C. 3x(2-x)　　D. -3x(x+2) 二、填空题 9．把多项式化成 的形式，叫做因式分解。 10．(x-4)(x+3)＝x²-x-12属于 （填整式乘法或因式分解）。 11．若x²+mx+12＝(x+4)(x+3)，则 m＝ 。 12．因式分解：2x-4＝ 。 13．因式分解必须分解到每一个因式都 为止。 14．多项式x²-9因式分解结果为 。 三、解答大题 15．（6分）判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解，并说明理由。 ① 3a+3b＝3(a+b)；　　② x²-5x+4＝x(x-5)+4。 16．（7分）根据因式分解结果，还原对应的原多项式。 ① 2(x-3)(x+1)；　　② (3x-2)(x+4)。 17．（7分）已知多项式 2x²+ax-b 因式分解结果为 (2x+1)(x-3)，求a、b的值。 18．（8分）指出下列因式分解的错误并改正： ① x²-4＝(x-2)²；　　② x²+6x＝x(x+6)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 因式分解 1.1 多项式的因式分解 【知识点梳理】 1．因式分解的定义 把一个多项式表示成若干个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 2．因式分解与整式乘法的关系（互逆运算） 整式乘法：整式的积 → 多项式（和差形式）。 因式分解：多项式（和差形式） → 整式的积。 注意： ① 因式分解结果必须是乘积形式，不能留有和差； ② 分解结果中每一个因式都必须是整式； ③ 分解要彻底，直到不能再分解为止。 3．因式分解的基本要求 （1）结果必须为整式乘积，禁止出现分式； （2）多项式首项系数一般化为正数； （3）相同因式统一写成幂的形式，格式规范。 【典例精讲】 题型1：判断变形是否为因式分解 【例题1】下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A.x²+2x＝x(x+2)　　　 B.x²+4x+1＝x(x+4)+1 C.(x+1)(x-1)＝x²-1　　　 D.x²-2＝x(x－) 【答案】A。 【详细解析】判断依据：因式分解必须满足三个条件——①左边是多项式（和差形式）；②右边是整式乘积；③分解彻底。 逐项分析： A.x²+2x＝x(x+2)：左边为多项式，右边为两个整式x与(x+2)的乘积，满足定义，正确。 B.x²+4x+1＝x(x+4)+1：右边仍带有+1，是和差形式而非纯乘积，错误。 C.(x+1)(x-1)＝x²-1：左边是乘积、右边是和差，这是整式乘法（积化和差），是因式分解的逆运算，错误。 D. x²-2＝x(x－)：右边(x－)中含有分式，不是整式，错误。 【例题2】判断：2x²-8＝2(x²-4) 是完整的因式分解吗？说明理由。 【答案】不是。 【详细解析】 理由：因式分解必须分解彻底，即每个因式都要分解到不能再分解为止。 当前结果2(x²-4)中，x²-4并非最简，它仍可利用平方差公式继续分解： x²-4＝x²-2²＝(x+2)(x-2) 因此完整的因式分解应为：2x²-8＝2(x+2)(x-2) 易错提醒：提完公因式后，务必检查括号内的多项式是否还能继续分解！ 【例题3】下列变形不属于因式分解的是（ ） A.ab-a＝a(b-1)　　　 B.x²-9＝(x+3)(x-3) C.x²+3x+2＝x(x+3)+2　　　D.3mx-6my＝3m(x-2y) 【答案】C。 【详细解析】 逐项对照因式分解定义检验： A. ab-a＝a(b-1)：提取公因式a，右边是整式乘积，属于因式分解。 B. x²-9＝(x+3)(x-3)：利用平方差公式，右边是整式乘积，属于因式分解。 C. x²+3x+2＝x(x+3)+2：右边仍保留+2这一和差项，不是纯乘积形式，不属于因式分解。 D. 3mx-6my＝3m(x-2y)：提取公因式3m，右边是整式乘积，属于因式分解。 跟踪训练： 1.下列属于因式分解的是（ ） A. x²+5x-1＝x(x+5)-1　　 B.(x-2)(x+2)＝x²-4 C. x²-4＝(x+2)(x-2)　　 D.x-1＝x(1- ) 【答案】C。 【解析】A：右边含-1，仍是和差形式；B：左边是乘积、右边是和差，属于整式乘法；C：左边多项式、右边整式乘积，符合定义；D：右边含分式，不是整式乘积。 2．辨析变形：3x+3＝3(x+1) （填是或不是） 因式分解。 【答案】是。 【解析】左边3x+3为多项式（和差形式），右边3(x+1)为两个整式3与(x+1)的乘积，完全符合因式分解定义。 3．因式分解结果必须是 的积。 【答案】整式 【解析】根据因式分解定义：把一个多项式表示成若干个整式的积的形式。关键限定词——必须是整式的积，不能含分式。 4．简述整式乘法和因式分解的核心区别。 【答案】整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，二者互为逆运算。 【解析】具体来说：整式乘法从(x+1)(x+2)出发，展开得到x²+3x+2（乘积→和差）；因式分解从x²+3x+2出发，变形为(x+1)(x+2)和差→乘积）。变形方向恰好相反，互为逆过程。 题型2：利用因式分解结果求多项式参数 【例题1】若x²+mx-6＝(x+2)(x-3)，求m的值。 【答案】m＝-1。 【详细解析】 步骤一：展开右侧乘积。 (x+2)(x-3)＝x·x＋x·(-3)＋2·x＋2·(-3)＝x²－3x＋2x－6＝x²－x－6。 步骤二：比较左右两边对应项系数。 左边：x²＋mx－6，右边展开后：x²－x－6。 一次项系数对应：m＝-1 步骤三：验证。 常数项左边-6，右边-6，一致。 【例题2】已知 2x²+kx-10＝2(x+5)(x-1)，求k的值。 【答案】k＝8 【详细解析】 步骤一：展开右侧。 (x+5)(x-1)＝x²－x＋5x－5＝x²＋4x－5。 2(x+5)(x-1)＝2(x²＋4x－5)＝2x²＋8x－10。 步骤二：比较一次项系数。 左边：2x²＋kx－10，右边：2x²＋8x－10，得 k＝8。 【例题3】多项式x²+ax+b分解为(x-1)(x+4)，求a、b的值。 【答案】a＝3，b＝-4 【详细解析】展开右侧：(x-1)(x+4)＝x²＋4x－x－4＝x²＋3x－4 对应系数：二次项均为1；一次项系数a＝3；常数项b＝-4。 跟踪训练： 1若x²+px+8＝(x+2)(x+4)，则p＝ 。 【答案】6 【解析】展开右侧：(x+2)(x+4)＝x²＋4x＋2x＋8＝x²＋6x＋8，比较一次项系数得p＝6。 2．x²-7x+n＝(x-3)(x-4)，则n＝ 。 【答案】12 【解析】展开右侧：(x-3)(x-4)＝x²－4x－3x＋12＝x²－7x＋12。左边一次项-7x匹配，常数项 n＝12。 3．已知mx²-5x+2＝(2x-1)(x-2)，求m的值。 【答案】m＝2 【解析】展开右侧：(2x-1)(x-2)＝2x·x＋2x·(-2)＋(-1)·x＋(-1)·(-2)＝2x²－4x－x＋2＝2x²－5x＋2。所以m＝2。 4．若多项式分解结果为3(x-1)(x+2)，写出原多项式： 【答案】3x²+3x-6 【解析】先展开括号内：(x-1)(x+2)＝x²＋2x－x－2＝x²＋x－2，再乘以3得：3x²＋3x－6。 【随堂演练】 1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A.x²-4+3x＝(x+2)(x-2)+3x　　 B.x²-6x+9＝(x-3)² C.(x+5)(x-2)＝x²+3x-10　　 D.x²+1＝x(x+) 【答案】B。 【详细解析】逐项分析： A.右边(x+2)(x-2)+3x中仍含+3x，整体是和差形式而非纯乘积，故错误。 B.左边x²-6x+9为多项式，右边(x-3)²是两个相同整式的乘积，满足因式分解定义，故正确。 C.左边(x+5)(x-2)是乘积，右边x²+3x-10是和差，属于整式乘法而非因式分解，故错误。 D.右边x(x+1/x)＝x²+1，且含有分式，不是整式乘积，故错误。 2．因式分解与整式乘法互为 运算。 【答案】逆。 【解析】整式乘法：乘积→和差（如(a+b)(a-b)→a²-b²）；因式分解：和差→乘积（如a²-b²→(a+b)(a-b)）。两种变形方向恰好相反，故称互为逆运算。 3．将多项式x²-1因式分解的结果是 。 【答案】(x+1)(x-1)。 【解析】利用平方差公式 a²-b²＝(a+b)(a-b)，其中 a＝x，b＝1，直接代入即得 x²-1＝(x+1)(x-1)。 4．判断正误：4x²-4x＝4x(x-1)，该变形是正确的因式分解吗？（ ） 【答案】是。 【解析】左边4x²-4x为多项式（和差形式），右边4x(x-1)为两个整式4x与(x-1)的乘积，且x-1已无法再分解，分解彻底。完全符合因式分解定义。 5．若x²+mx+6＝(x+3)(x+2)，则 m＝ 。 【答案】5。 【解析】展开右侧：(x+3)(x+2)＝x²＋2x＋3x＋6＝x²＋5x＋6。左右对比，一次项系数m＝5。 6．请说明x²+2x+1＝x(x+2)+1不属于因式分解的原因。 【答案】等式右侧依旧是多项式和差形式，没有化为整式乘积的形式，不满足因式分解核心定义。 【详细解析】展开右侧 x(x+2)+1＝x²+2x+1，虽然两边数值相等，但关键在于：因式分解要求右边必须是纯乘积形式，而 x(x+2)+1 中有一个游离的+1不是任何乘法的一部分，整体仍是和差结构，因此不属于因式分解。正确的因式分解应为：x²+2x+1＝(x+1)²（完全平方公式）。 【课后对点练】 一、选择题 1．下列变形中，属于因式分解的是（ ） A.2x(x-1)＝2x²-2x　　 B.x²-2x＝x(x-2) C.x²+x+1＝x(x+1)+1　　D.x²-4＝(x-2)² 【答案】B 【解析】A是整式乘法（左边乘积，右边和差）；B左边多项式右边整式乘积，符合定义 ；C右边含+1，仍是和差；D公式使用错误，x²-4＝(x+2)(x-2)而非(x-2)²，(x-2)²＝x²-4x+4≠x²-4。 2．因式分解的最终结果要求必须是（ ） A.和差形式　　 B.整式乘积形式　　 C.分式乘积形式　　D.单项式形式 【答案】B 【解析】因式分解定义核心：把多项式化成整式乘积的形式。A和差形式是分解前的状态；C分式乘积不满足整式要求；D单项式是单个项，不具备乘积结构。 3．下列因式分解不彻底的是（ ） A.2x²-8＝2(x²-4)　　 B.x²-4＝(x+2)(x-2) C.x²+2x＝x(x+2)　　 D.3x+6＝3(x+2) 【答案】A。 【解析】B、C、D都已分解彻底（每个因式不能再分），但A中x²-4还能继续用平方差分解为 (x+2)(x-2)，说明A分解不彻底。 4.若x²+kx-15＝(x+5)(x-3)，则k的值为（ ） A. 2　　B. -2　　C. 8　　D. -8 【答案】A。 【解析】展开右侧：(x+5)(x-3)＝x²－3x＋5x－15＝x²＋2x－15。比较左边x²+kx-15，一次项系数k＝2。 5．下列说法正确的是（ ） A.整式乘法是和差化积　　 B.因式分解是积化和差 C.二者互为逆运算　　 D.二者无关联 【答案】C。 【解析】A说反了——整式乘法是积化和差，不是和差化积。B也说反了——因式分解是和差化积。C正确，二者方向相反、互为逆运算。D明显错误。 6．下列变形不属于因式分解的是（ ） A.ab-2b＝b(a-2)　　 B.m²-1＝(m+1)(m-1) C.x²+4x＝x(x+4)　　 D.x+1＝x(1+) 【答案】D 【解析】A提取公因式b，B用平方差公式，C提取公因式x，都是正确的因式分解。D中右边x(1+)含有分式，不是整式，不满足定义。注意虽然展开后x(1+)＝x+1数值相等，但因式分解要求每个因式都必须是整式。 7．多项式x²-5x+6分解因式结果为（ ） A.(x-2)(x-3)　　 B.(x+2)(x+3)　　 C.(x-6)(x+1)　　 D.(x+6)(x-1) 【答案】A 【解析】用十字相乘法：找两个数，乘积为常数项6，和为一次项系数-5。两个数应为-2和-3（因为(-2)×(-3)＝6，(-2)+(-3)＝-5）。因此 x²-5x+6＝(x-2)(x-3)。验证展开：(x-2)(x-3)＝x²-3x-2x+6＝x²-5x+6。 8．把多项式-3x²+6x因式分解，首项系数化为正数后结果为（ ） A. -3x(x-2)　　B. 3x(x-2)　　C. 3x(2-x)　　D. -3x(x+2) 【答案】A 【解析】提取公因式：各项公因式为-3x（因为首项为负，优先提取负号）。-3x²+6x＝-3x·x＋(-3x)·(-2)＝-3x(x-2)。提取负公因式时，括号内各项都要变号：第二项6x变成-2（因为6x÷(-3x)＝-2）。所以结果为 -3x(x-2)。 二、填空题 9．把多项式化成 的形式，叫做因式分解。 【答案】整式乘积。 【解析】教材定义：把一个多项式表示成若干个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解。核心限定词——整式+乘积两个要素缺一不可。 10．(x-4)(x+3)＝x²-x-12属于 （填整式乘法或因式分解）。 【答案】整式乘法。 【解析】判断依据：左边是乘积形式(x-4)(x+3)，右边是和差形式x²-x-12。从积到和差，方向是整式乘法。若反过来x²-x-12＝(x-4)(x+3) 才是因式分解。 11．若x²+mx+12＝(x+4)(x+3)，则 m＝ 。 【答案】7。 【解析】展开右侧：(x+4)(x+3)＝x²＋3x＋4x＋12＝x²＋7x＋12。对比左边一次项系数，m＝7。 12．因式分解：2x-4＝ 。 【答案】2(x-2)。 【解析】两项的公因式为2（系数最大公约数），2(x-2)＝2x-4。 13．因式分解必须分解到每一个因式都 为止。 【答案】不能再分解。 【解析】这是因式分解的彻底性要求。例如 2x²-8＝2(x²-4) 就不彻底，因为 x²-4 还能继续分解为 (x+2)(x-2)，所以最终结果应为 2(x+2)(x-2)。 14．多项式x²-9因式分解结果为 。 【答案】(x+3)(x-3)。 【解析】x²-9＝x²-3²，符合平方差公式 a²-b²＝(a+b)(a-b)，其中 a＝x，b＝3，代入得 (x+3)(x-3)。 三、解答大题 15．（6分）判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解，并说明理由。 ① 3a+3b＝3(a+b)；　　② x²-5x+4＝x(x-5)+4。 解：① 是。理由：左边 3a+3b 为多项式（和差形式）；右边 3(a+b) 为两个整式 3 与 (a+b) 的乘积，符合因式分解定义。 ② 不是。理由：右边 x(x-5)+4 中包含游离的+4，整体仍是多项式和差形式，没有化成纯整式乘积，不符合因式分解定义。正确的分解应为 x²-5x+4＝(x-1)(x-4)。 16．（7分）根据因式分解结果，还原对应的原多项式。 ① 2(x-3)(x+1)；　　② (3x-2)(x+4)。 解：① 先展开括号内：(x-3)(x+1)＝x²＋x－3x－3＝x²－2x－3，再乘以2得：2x²－4x－6。 ② 逐项相乘：(3x-2)(x+4)＝3x·x＋3x·4＋(-2)·x＋(-2)·4＝3x²＋12x－2x－8＝3x²＋10x－8。 17．（7分）已知多项式 2x²+ax-b 因式分解结果为 (2x+1)(x-3)，求a、b的值。 解：展开右侧乘积：(2x+1)(x-3)＝2x·x＋2x·(-3)＋1·x＋1·(-3)＝2x²－6x＋x－3＝2x²－5x－3 与左边 2x²+ax-b 逐项对比：二次项 2x² ；一次项系数 a＝-5；常数项 -b＝-3，故 b＝3。 18．（8分）指出下列因式分解的错误并改正： ① x²-4＝(x-2)²；　　② x²+6x＝x(x+6)。 【答案与解析】 ① 错误类型：混淆平方差公式与完全平方公式。 分析：(x-2)²＝x²-4x+4，而 x²-4 只有两项且是减法形式，应使用平方差公式 a²-b²＝(a+b)(a-b)。 正确结果：x²-4＝x²-2²＝(x+2)(x-2)。 ② 无错误。分析：提取公因式 x，x²÷x＝x，6x÷x＝6，得 x(x+6)，分解彻底、格式规范。验证：x(x+6)＝x²+6x。 学科网（北京）股份有限公司 $