1.2.1提单项式公因式 教学设计2025-2026学年湘教版数学八年级上册

《提单项式公因式》教学设计 一、第1课时 二、教学内容分析 单元知识结构框架 《提公因式法》是湘教版版八年级上册第1章《因式分解》的第二节第一课时的内容.提公因式法是因式分解中最基本、最常用的方法之一.本节内容主要介绍如何提取单项式公因式，它是因式分解的基础和入门知识.教材通过具体的多项式实例，引导学生观察多项式中各项的公共因式，并通过提取公因式将其转化为几个因式的乘积形式.这一过程不仅体现了因式分解的转化思想，还为后续学习更复杂的因式分解方法（如公式法、分组分解法等）奠定了坚实的基础. 三、学情分析 学生在学习本节内容之前，已经掌握了因式分解的概念以及整式的运算规则，对多项式的形式和结构有一定的了解.然而，提公因式法对于学生来说是一个新的解题思路，学生在提取公因式时可能会出现以下问题：一是不能准确判断多项式中各项的公因式；二是提取公因式后，剩余因式容易出错；三是对于公因式为负数或分数的情况，学生可能会感到困惑.此外，学生在学习过程中可能会因缺乏整体观察和分析能力，而无法快速找到多项式中的公因式，需要教师通过引导和练习来帮助他们逐步掌握. 四、教学目标 1.理解公因式的概念，能够准确找出多项式中各项的公因式. 2.掌握提公因式法的步骤和方法，能够正确地提取单项式公因式进行因式分解. 3.通过具体实例的分析和练习，引导学生总结提公因式法的步骤和技巧，培养学生的归纳能力和运算能力. 5、 教学重点、难点 重点：公因式的确定方法及提单项式公因式法的应用. 难点：1.准确判断多项式中各项的公因式，尤其是当公因式为负数. 2.提取公因式后，剩余因式的正确处理，避免出现符号错误或因式不完整的情况. 6、 教法与学法 教法：根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，教学上采用以探究为主，通过实际问题加深数学与生活的联系. 学法：让学生经历观察、计算、比较、探讨等过程，增加学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为学习的主体，进一步培养和提高他们各方面的能力. 7、 评价设计 学生根据自己的学习情况，点亮属于自己的小星星. 能力对标 目标对照 具体评价 评价星级 学习理解 公因式概念理解 定义 ☆☆☆☆☆ 特征 ☆☆☆☆☆ 确定单项式公因式的方法 ☆☆☆☆☆ 实践应用 提单项式公因式解题 步骤 ☆☆☆☆☆ 正确率 ☆☆☆☆☆ 规范度 ☆☆☆☆☆ 实践应用 综合习题应用 基础题 ☆☆☆☆☆ 变式题 ☆☆☆☆☆ 综合题 ☆☆☆☆☆ 创新迁移 代数思维提升 本节课学习是否提升你的代数变形意识 ☆☆☆☆☆ 八、教学流程 九、教学过程活动设计 环节 名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 情境 导入 生活中，我们在整理书房时，会将相同类型的物品放在一起，在数学中，我们也经常将共同特征特征放在一起，例 4 ＝ 2×2 ① 6 ＝ 2×3 ② 4和6的公因数为2. 类比：从数到式，式子中是否会有相同的部分？ 复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率.通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机. 3min 探究 新知 探究一：公因式 【说一说】分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy中次数大于0的因式：x和y；3xz中次数大于0的因式：x和z. 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 例如：x是xy和3xz的公因式. 【做一做】 试着完成下题.x(y+3z)=_______. 预设：根据单项式乘以多项式：a(m+n)=am+an可知，x(y+3z)=xy+3xz. 由于x(y+ 3z)=xy+3xz，故xy+3xz=x(y+3z)是多项式xy+3xz的因式分解. 【抽象】 像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 【议一议】 多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？ 预设：2x2+6x3中各项的公因式是2x2. 【总结】 找公因式的方法： 定系数：多项式各项系数的最大公因数； 定字母：多项式各项中都含有的相同字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次数. 【做一做】 你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解？与同伴进行交流. 把公因式“2x2”提出来试试！ 预设：2x2+6x3=2x2·1+2x2·3x=2x2(1+3x). 【应用新知】 例1 把多项式4x²-6x3因式分解. 分析：多项式由4x²和-6x3这两项组成，它们的系数分别为4，-6，不考虑其符号，则4与6的最大公因数是2；这两项都含有字母x，且x的最低次数为2.因此，可提出公因式2x². 解: 4x²-6x3=2x²(2-x). 例2把多项式8x²y4-12xy2z因式分解. 解: 8x²y4-12xy2z =4xy²·2xy2-4xy²·3z =4xy²(2xy2-3z). 设问：若提出公因式4xy，结果是什么？ 解：8x²y4-12xy2z =4xy·2xy3-4xy·3yz =4xy(2xy3-3yz). 仍有公因式b，未分解完，需要继续分解. 例3把多项式5x²-3xy+x因式分解. 解：5x²-3xy+x =x·5x-x·3y+x·1 =x(5x-3y+1). 注意：提公因式后，第三项还剩下数字1. 例4 把多项式-3x²+6xy-3xz因式分解. 解: -3x²+6xy-3xz =-(3x²-6xy+3xz) =-3x(x-2y+z) 注意：符号提出来后，括号内各项均的改变符号，不要遗漏. 认真思考，探究确定公因式的方法 学生合作交流，探究提公因式法的易错点 通过找出两个具体例子的公因式，引导学生总结归纳出公因式的概念，为接下来提公因式打下基础. 借助单项式乘多项式运算，让学生在正向运算基础上，反向理解多项式因式分解过程，初步感知提公因式法的应用场景. 基于前面的运算实例，直观展示提公因式的操作过程，抽象概括出提公因式法的定义，帮助学生实现从具体到抽象的知识升华，明确提公因式法的原理. 通过议一议，总结归纳出找公因式的方法，并通过做一做，培养学生的应用意识. 让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备． 让学生掌握当多项式中有多个未知数时，公因式含的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的. 通过例题，掌握当多项式的某项恰好是公因式本身时，提取该项之后应保留其系数1. 通过几个例题巩固多项式的因式分解，同时为学生提供解题范例，提高学生的解题规范性和准确性. 20min 巩固 练习 1.说出下列多项式中各项的公因式: (1)5x+2xy; (2)πx3+πx2; (3)-12x3y+18xy-15y. 2.把下列多项式因式分解: (1)3xy-15y2+9y； (2)-6x3y2-4x2y3+10x2y2. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 10min 课堂 小结 1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式. 2. 确定公因式的方法： 一定系数，二定字母，三定指数. 3. 用提公因式法分解因式应注意的问题： (1) 公因式要提尽；(2) 小心漏项； (3) 多项式的首项取正号. 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理. 对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律. 5min 课后 作业 基础题:把下列多项式因式分解: (1)－4x2+10x;(2)－5xy+3y2 －y； (3)3x4y2－x2y3;(4)15x3y－21x2y3+6x2y2. 提升题:已知a+b＝7，ab＝4，求a2b+ab2的值． 拓展题:已知x2+3x=－2，求5xn+2+15xn+1+10xn(n为正整数)的值. 2min 10、 板书设计 11、 作业设计 基础题:把下列多项式因式分解: (1)－4x2+10x;(2)－5xy+3y2 －y； (3)3x4y2－x2y3;(4)15x3y－21x2y3+6x2y2. 提升题:已知a+b＝7，ab＝4，求a2b+ab2的值． 拓展题:已知x2+3x=－2，求5xn+2+15xn+1+10xn(n为正整数)的值. 十二、教学反思和改进 反思:本节课通过具体的多项式实例，引导学生观察多项式中各项的公共因式，并逐步总结提公因式法的步骤和方法.大部分学生能够理解公因式的概念，并掌握提取单项式公因式的基本方法.然而，在实际操作中，部分学生在提取公因式时仍然存在一些问题，例如：公因式提取不彻底，或者提取公因式后剩余因式出现符号错误.针对这些问题. 改进:我在后续教学中增加了更多的练习，特别是对于公因式为负数的情况，通过专项练习帮助学生逐步克服困难.此外，我还发现部分学生在学习过程中缺乏整体观察和分析能力，不能快速找到多项式中的公因式.因此，在后续教学中，我更加注重培养学生的观察能力和分析能力，引导学生从整体上把握多项式的形式和结构，提高他们的解题效率. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $