专题1　二次函数 学案 2026-2027学年数学浙教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数专题，涵盖图象性质、平移、与方程不等式关系、系数关系、实际应用及综合题。通过表格数据分析等典例导入，变式题分层巩固，构建从基础到综合的学习支架，衔接前后知识。 资料以典例与变式结合实现分层训练，实际应用问题（如销售、喷水）培养模型意识，综合题提升推理能力，帮助学生用数学眼光观察现实，用数学思维解决问题，发展抽象能力和应用意识。

专题1　二次函数 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 题型一　二次函数的图象和性质 【典例1】 二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)部分x，y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 1 －1 1 5 … 　　则下列判断中正确的是(　B　) A.函数图象的开口向下 B.当x＞2时，y随x的增大而增大 C.当y＞1时，x＞3 D.y最小值为－1 【解析】 由表格中的数据得，当x=0或3时，y的值都是1， ∴二次函数图象的对称轴为直线x=。 在对称轴右侧，当x=3时，y=1，当x=4时，y=5， ∴y随着x的增大而增大， ∴函数图象开口向上，A错误。 当x＞2时，在对称轴右侧， ∴y随着x的增大而增大，B正确。 在对称轴右侧，当y＞1时，x＞3，由对称性可得，在对称轴左侧，当y＞1时x＜0，C错误。 ∵对称轴为直线x=，图象开口向上，而x=1在对称轴左侧， ∴y 的最小值小于－1，D错误。 【点悟】 分析二次函数的图象和性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)、增减性等角度出发。 【变式1－1】 已知二次函数y=x2＋ax＋b(a，b为常数)。给出下列命题：命题①，该函数的图象经过点(1，0)，命题②，该函数的图象经过点(3，0)，命题③，该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧，命题④，该函数图象的对称轴为直线x=1。若这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是(　A　) A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④ 【解析】 易知命题①②③不可能同时正确，则命题①②③中有假命题，命题④是真命题。又易知命题①②④不可能同时正确，则命题①②中有假命题，命题③是真命题，∴易知命题①是假命题。 【变式1－2】 已知二次函数y=ax2－2x＋(a为常数，且a＞0)，给出下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大。其中正确的是(　B　) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【解析】 二次函数化为顶点式为y=a，顶点坐标为。 当－＞0，即a＞2时，函数图象与x轴无交点，开口向上，不经过第四象限，①不正确。 ∵当x≤时，y随x的增大而减小，＞0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，③正确。 ∵当0＜x≤时，y随x的增大而减小， ∴④错误。 ∵当x=0时，y=， ∴当x＜0时，y＞， ∴函数图象不经过第三象限，②正确。 综上所述，正确的是②③。 【变式1－3】 课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y=(x＋t－6)(x－t＋2)的最小值。 (1)当t=3时，求该二次函数的最小值。 (2)当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化。小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0。你认为小滨的想法是否正确？请说明理由。 解：(1)当t=3时，y=(x＋3－6)(x－3＋2)=(x－3)(x－1)=x2－4x＋3=(x－2)2－1， ∴y的最小值为－1。 (2)小滨的想法正确。理由如下： y=(x＋t－6)(x－t＋2)=(x－2)2－t2＋8t－16， ∴y的最小值为－t2＋8t－16=－(t－4)2≤0， ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0。 题型二　二次函数图象的平移 【典例2】 将抛物线y=－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为(　C　) A.y=－2(x＋1)2 B.y=－2(x＋1)2＋2 C.y=－2(x－1)2＋2 D.y=－2(x－1)2＋1 【点悟】 二次函数图象的平移可以归结为顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线怎样平移。 【变式2】 抛物线y=(x＋3)2－1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中，正确的是(　B　) A.先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B.先向左平移3个单位，再向下平移1个单位 C.先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移3个单位，再向下平移1个单位 题型三　二次函数与一元二次方程及不等式的关系 【典例3】 若二次函数y=x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是　m＜1　。  【解析】 ∵二次函数y=x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点， ∴方程x2－2x＋m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=4－4m＞0， ∴m＜1。 【点悟】 抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标x1，x2就是方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根，判断抛物线与x轴是否有交点，只要比较b2－4ac与0的大小即可。 【变式3】 如图，二次函数y1=ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2=kx(k≠0)的图象相交于点A和原点O，与x轴的另一个交点为C，点A的横坐标为－4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称。若点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是　－4＜x＜－3　。  　变式3图 【解析】 由题意，得抛物线的对称轴为直线x=－。 又∵抛物线过原点， ∴点C的坐标为(－3，0)。 由图象得，满足0＜y1＜y2的x的取值范围是－4＜x＜－3。 题型四　二次函数的图象与系数之间的关系 【典例4】 如图，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x=－1， 典例4图 给出下列结论：①abc＜0；②4a－2b＋c＜0；③3a＋c=0；④当－3＜x＜1时，ax2＋bx＋c＜0。其中正确的是(　D　) A.①②③　　　　B.①③④ C.②④　　　　　D.①②③④ 【解析】 ∵二次函数图象的开口向上，∴a＞0。 ∵二次函数图象的对称轴为直线x=－1， ∴－=－1，∴b=2a＞0。 ∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴abc＜0，①正确； 对于y=ax2＋bx＋c，当x=－2时，y=4a－2b＋c，∴点(－2，4a－2b＋c)在二次函数的图象上。 又∵对称轴为x=－1，函数图象与x轴的一个交点为(1，0)， ∴与x轴的另一个交点为(－3，0)， ∴点(－2，4a－2b＋c)在x轴下方的抛物线上， ∴4a－2b＋c＜0，②正确； ∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(1，0)，(－3，0)， ∴消去b，得3a＋c=0，③正确； ∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为(1，0)，(－3，0)， ∴当－3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方， ∴y＜0，即ax2＋bx＋c＜0，④正确。 综上所述，结论①②③④正确。 【点悟】 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系如下： (1)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；|a|越大开口就越小。 (2)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号(即ab＞0)时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号(即ab＜0)时，对称轴在y轴右侧(口诀：左同右异)。 (3)常数项c决定抛物线与y轴的交点位置，抛物线与y轴相交于点(0，c)。 【变式4】 如图，二次函数y=ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴相交于点(－1，0)，(x1，0)，其中2＜x1＜3。给出下列结论：①ab＞0； 变式4图 ②a－b=－2；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2=0(a≠0)的另一个根是－；⑤b的取值范围是1＜b＜。其中正确的结论是(　D　) A.①③ B.②③④ C.②④⑤ D.②③④⑤ 【解析】 由图象可知，－＞0， ∴ab＜0，①错误。 ∵二次函数y=ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴相交于点(－1，0)， ∴a－b＋2=0，即a－b=－2，②正确。 ∵二次函数y=ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴相交于(－1，0)，(x1，0)，其中2＜x1＜3， ∴＜－＜1。 又∵抛物线开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，③正确。 ∵二次函数y=ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴相交于点(－1，0)，(x1，0)， ∴－1，x1是方程ax2＋bx＋2=0的两个根， ∴(－1)·x1=，∴x1=－， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2=0(a≠0)的另一个根是－，④正确。 ∵a－b＋2=0，∴a=b－2， ∴y=(b－2)x2＋bx＋2。 ∵2＜x1＜3， ∴ 解得1＜b＜，⑤正确。 综上所述，正确的结论是②③④⑤。 题型五　二次函数的实际应用 【典例5】 荔枝是夏季的时令水果，不耐储存。某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克。市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，每天能多售出10千克。现将荔枝售价降低x元。 (1)降价后每天可以销售荔枝　(40＋10x)　千克(用含x的代数式表示)。  (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数表达式。 (3)若该水果店想要使荔枝的销售利润为每天480元，且尽可能提升销量，则应将售价定为多少？ 解：(2)由题意，得y=(40＋10x)(28－18－x)， 整理，得y=－10x2＋60x＋400。 (3)令y=480，则－10x2＋60x＋400=480， 解得x1=4，x2=2。 又∵要尽可能提升销量， ∴x=4， 此时荔枝售价为28－4=24(元/千克)。 答：应将售价定为24元/千克。 【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)。解题时，可先根据题目提供的条件确定函数表达式，并将它配方得到顶点式，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值。 【变式5】 公园草坪的地面点O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水柱也随之上下平移，如图是其示意图。开始喷水后，若喷水口在点O处，水柱外缘落地点为A，若喷水口上升到点P处，水柱外缘落地点为B，记OP长度为h(m)。 (1)已知OA=4 m。若喷水口在点P处，h=1.5 m，OB=6 m。 ①水柱外缘最高点与点B的水平距离为　4　m。  ②水柱外缘的最大高度为　2　m。  ③身高1.5 m的小红要从水柱下经过，为了防止被水柱淋湿，小红与点O的水平距离应满足什么条件？ (2)在喷水口上升过程中，当OB=2OA时，用含h的式子表示水柱外缘的最大高度。 变式5图 解：(1)①如答图，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系。 变式5答图 ∵OA=4 m， ∴抛物线的对称轴是直线x=2。 又∵OB=6 m，平移不改变对称轴， ∴水柱外缘最高点与点B之间的水平距离为6－2=4(m)。 ②由题意，设过点P的抛物线为y=a(x－2)2＋b(a≠0)。 将点P(0，1.5)，B(6，0)代入， 得解得a=－，b=2， ∴所求表达式为y=－(x－2)2＋2， ∴水柱外缘的最大高度为2 m。 ③令y=1.5，则1.5=－(x－2)2＋2， 解得x1=0，x2=4。 故为了防止被水柱淋湿，小红与点O的水平距离x(m)应满足0＜x＜4。 (2)由题意，设OA=2n，故可设平移后抛物线的表达式为y=a(x－n)2＋k(a≠0)。 又∵OB=2OA=4n， ∴点B(4n，0)，P(0，h)， ∴9n2a＋k=0，n2a＋k=h， ∴k=h，∴水柱外缘的最大高度为h。 题型六　二次函数的综合 【典例6】 已知二次函数y=ax2－4ax＋4a＋4(a为常数且a≠0)。 (1)若函数图象经过点(4，0)，求该二次函数的表达式。 (2)若a＞0，判断该函数图象与x轴的交点个数。 (3)该函数图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1＜x2，若a＜0，x1＋x2＞4，求证：y1＞y2。 解：(1)将点(4，0)代入y=ax2－4ax＋4a＋4， 得16a－16a＋4a＋4=0， 解得a=－1， ∴该二次函数的表达式为y=－x2＋4x。 (2)令ax2－4ax＋4a＋4=0。 ∵a＞0， ∴Δ=(－4a)2－4a(4a＋4)=16a2－16a2－16a=－16a＜0， ∴方程ax2－4ax＋4a＋4=0无实数解， ∴该二次函数图象与x轴无交点。 (3)∵该函数图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y1=a－4ax1＋4a＋4，y2=a－4ax2＋4a＋4， ∴y1－y2=a()－4a(x1－x2)=a(x1＋x2)(x1－x2)－4a(x1－x2)=a(x1＋x2－4)(x1－x2)。 ∵x1＜x2，x1＋x2＞4， ∴x1－x2＜0，x1＋x2－4＞0。 ∵a＜0，∴a(x1＋x2－4)(x1－x2)＞0， ∴y1－y2＞0，即y1＞y2。 1.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法中，错误的是 (　C　) A.该函数有最小值 B.当x=－2时，函数值y小于0 C.b2－4ac=0 D.当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小 　第1题图 　第2题图 2.若函数y=ax2＋bx＋c(ac≠0)的图象如图所示，则函数y=ax＋b和y=cx2＋ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　B　) A B C D 3.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点A的坐标为－，n，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b＋2c＜0；③若抛物线经过点(－6，y1)，(5，y2)，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=4无实数根，则n＜4。其中正确的是　①②④　(填序号)。  第3题图 【解析】 ∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为－，n， ∴－=－，∴a=b。 ∵抛物线开口方向向下， ∴a＜0，∴b＜0。 当x=0时，y=c＞0， ∴abc＞0，①正确。 由图象，得当x=1时，y=a＋b＋c＜0， ∴b＋b＋c＜0，∴5b＋2c＜0，②正确。 ∵直线x=－是抛物线的对称轴， ∴点(－6，y1)到对称轴的距离大于点(5，y2)到对称轴的距离， ∴y1＜y2，③错误。 ∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=4无实数根， ∴顶点A－，n在直线y=4的下方， ∴n＜4，④正确。 综上所述，正确的结论是①②④。 4.已知二次函数y=(x－a)(x－a－5)＋4。 (1)当x=3，y=4时，求函数的表达式。 (2)若函数的图象同时经过点(b，m)，(4－b，m)，求a的值。 (3)已知点(1，y1)和(2，y2)在函数的图象上，且y1＜y2，求a的取值范围。 解：(1)当x=3，y=4时，4=(3－a)(3－a－5)＋4，解得a1=3，a2=－2。 当a=3时，y=x2－11x＋28； 当a=－2时，y=x2－x－2。 (2)∵y=x2－(2a＋5)x＋a2＋5a＋4， ∴对称轴为直线x=。 ∵函数图象经过点(b，m)，(4－b，m)， ∴对称轴为直线x==2， ∴=2，解得a=－。 (3)由(2)可知对称轴为直线x=。 ∵图象开口向上，且y1＜y2， ∴，即2a＋5＜3， ∴a＜－1。 5.二次函数y=x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，且对称轴为直线x=1。 (1)求这个二次函数的表达式。 (2)若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”。 ①求这个函数图象上“倍值点”的坐标。 ②若P(m，n)是该二次函数图象上“倍值点”之间的点(包括端点)，求n的最大值与最小值的差。 解：(1)由题意，得解得 ∴这个二次函数的表达式为y=x2－2x－5。 (2)①将(k，2k)代入二次函数y=x2－2x－5，得k2－2k－5=2k， 解得k1=5，k2=－1， ∴这个函数图象上“倍值点”的坐标为(5，10)或(－1，－2)。 ②由题意得，P(m，n)是该二次函数图象上(－1，－2)与(5，10)之间的点， ∴－1≤m≤5。 ∵二次函数y=x2－2x－5的图象开口向上，对称轴为直线x=1， ∴当m=1时，n取最小值，为n=12－2－5=－6。 当m=5时，n取最大值，为n=52－2×5－5=10， ∴n的最大值与最小值的差为10－(－6)=16。 6.甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养殖场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门(门不消耗木栏)，设AB长为x米。 (1)如图1，当AD≤MN时， ①AD=　(52－2x)　米(用含x的代数式表示)。  ②若围成的养殖场面积为138平方米，求AB的长。 (2)如图2，当AD＞MN时，求养殖场可达到的最大面积。 第6题图 解：(1)②x(52－2x)=138， 52x－2x2=138， x2－26x＋69=0， (x－23)(x－3)=0， 解得x1=23，x2=3。 当x=3时，52－2x=46＞10，舍去。 答：AB的长为23米。 (2)设养殖场的面积为y平方米，则y=x×=x(31－x)=－x2＋31x。 ∵－1＜0，∴抛物线的开口向下， ∴y最大值==240.25。 答：当AD＞MN时，养殖场可达到的最大面积为240.25平方米。 7.已知二次函数y=x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过A，y1，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是(　C　) A.可以找到一个实数a，使得y1＞a B.无论实数a取什么值，都有y1＞a C.可以找到一个实数a，使得y2＜0 D.无论实数a取什么值，都有y2＜0 【解析】 将点A代入函数表达式，得y1=－a2＋a=－＋a＜a，A，B错误。 将点B代入函数表达式，得y2=9a2－6a2＋a=3a2＋a=a(3a＋1)。 易知当－＜a＜0时，y2=a(3a＋1)＜0，C正确，D错误。 8.定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。已知抛物线y1=(x－3)2－2与抛物线y2=ax2＋bx＋c组成一个如图所示的“月牙线”，则a∶b∶c=　1∶(－6)∶5　。  第8题图 【解析】 由题意得，两条抛物线与x轴有相同的交点。 当y=0时，0=(x－3)2－2， ∴x1=1，x2=5， ∴ ∴b=－6a，c=5a， ∴a∶b∶c=a∶(－6a)∶5a=1∶(－6)∶5。 9.当n≤x≤n＋1时，二次函数y=x2＋2x＋3的最大值与最小值的差为3，则n=　－3或0　。  【解析】 二次函数y=x2＋2x＋3的对称轴是直线x=－1， ①当n＋1≤－1时，n≤－2， 此时n2＋2n＋3－[(n＋1)2＋2(n＋1)＋3]=3， 解得n=－3； ②当n≥－1时，(n＋1)2＋2(n＋1)＋3－(n2＋2n＋3)=3，解得n=0； ③当n＜－1＜n＋1，即－2＜n＜－1时，最小值为顶点的纵坐标2，最大值=2＋3=5。 当≤－1， 即－2＜n≤－时，n2＋2n＋3=5， 解得n=－1±(均舍去)。 当＞－1，即－＜n＜－1时， (n＋1)2＋2(n＋1)＋3=5， 解得n=－2±(均舍去)。 综上所述，n=－3或0。 10.已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a，b为常数，a≠0)经过点A(1，4)，B(－2，－5)。 (1)求抛物线的函数表达式。 (2)当x=p时，y＞0；当x=q时，y＜0，且p，q(p＜q)为两个连续偶数，求p＋q的值。 (3)该抛物线y=ax2＋bx＋3与直线y=kx－k＋4(k为常数且k＞0)相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点，且C在D的左侧。若在x1＜x＜x2范围内，x的取值恰好有3个整数值，求k的取值范围。 解：(1)将点A(1，4)，B(－2，－5)代入y=ax2＋bx＋3，得解得 ∴y=－x2＋2x＋3。 (2)当y=0时，－x2＋2x＋3=0， 解得x1=－1，x2=3， ∴当－1＜x＜3时，y＞0。 又∵当x=p时，y＞0， ∴－1＜p＜3。 ∵当x=q时，y＜0， ∴q＜－1或q＞3。 又∵p＜q且p，q为两个连续偶数， ∴p=2，q=4， ∴p＋q=6。 (3)∵y=kx－k＋4=k(x－1)＋4， ∴直线经过定点(1，4)。 又易知，点(1，4)是抛物线的顶点，且k＞0， ∴x2=1。 当x2=1时，在x1＜x＜x2范围内，x的取值恰好有3个整数值，则－3≤x1＜－2， 当x=－2时，－x2＋2x＋3=－5； 当x=－3时，－x2＋2x＋3=－12。 当直线经过点(－2，－5)时，易得k=3； 当直线经过点(－3，－12)时，易得k=4， ∴当3＜k≤4时，在x1＜x＜x2范围内，x的取值恰好有3个整数值。 11.根据以下素材，探索完成任务。 设计公交车停靠站的扩建方案 素材一 某公交车停靠站顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成。图1为某段结构示意图，C1，C2皆为轴对称图形，且关于点M成中心对称，该段结构水平宽度为8米。 第11题图1 素材二 图2为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱M1N1，M2N2竖直立于地面并固定在对称中心M1，M2处。小温将长为2.8米的竹竿AB竖直立于地面，当点A触碰到顶棚时，测得N2B为1米。 第11题图2 素材三 考虑实际需要，现欲将顶棚扩建，要求顶棚截面为轴对称图形(不包括支撑柱)，且水平宽度为27米。计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板。 问题解决 任务一 确定 中心 (1)求图1中点M到该结构最低点的水平距离l。 任务二 确定 形状 (2)在图2中，以N2为原点建立合适的直角坐标系，求C1的函数表达式。 任务三 确定 高度 (3)求挡风板的高度。 解：(1)∵C1，C2皆为轴对称图形，且关于点M成中心对称，水平宽度为8米， ∴8÷2÷2=2(米)， ∴点M到该结构最低点的水平距离l为2米。 (2)以N2为原点，建立如答图1的平面直角坐标系。 第11题答图1 由题意知C1过点(0，2.5)，(1，2.8)，对称轴为直线x=2， ∴设抛物线C1的表达式为y=a(x－2)2＋h(a≠0)， 将点(0，2.5)，(1，2.8)代入， 得 解得 ∴抛物线C1的表达式为y=－0.1(x－2)2＋2.9。 (3)27－8×3=3(米)，3÷2=1.5(米)。 如答图2，当对称轴在C1的顶点处时， 第11题答图2 由题意易知，在答图1中，抛物线C2过点(－1，2.2)， 同(1)易得C2的表达式为y=0.1(x＋2)2＋2.1， 令x=－2－1.5=－3.5，代入C2的表达式，得y=0.1×(－3.5＋2)2＋2.1=2.325，故挡风板的高为2.325米。 当对称轴在C2的顶点处时， 在y=－0.1(x－2)2＋2.9中，令x=2＋1.5=3.5， 得y=－0.1×(3.5－2)2＋2.9=2.675。 故挡风板的高为2.675米。 综上所述，挡风板的高度为2.675米或2.325米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1　二次函数 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 题型一　二次函数的图象和性质 【典例1】 二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)部分x，y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 1 －1 1 5 … 　　则下列判断中正确的是( ) A.函数图象的开口向下 B.当x＞2时，y随x的增大而增大 C.当y＞1时，x＞3 D.y最小值为－1 【变式1－1】 已知二次函数y=x2＋ax＋b(a，b为常数)。给出下列命题：命题①，该函数的图象经过点(1，0)，命题②，该函数的图象经过点(3，0)，命题③，该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧，命题④，该函数图象的对称轴为直线x=1。若这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是( ) A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④ 【变式1－2】 已知二次函数y=ax2－2x＋(a为常数，且a＞0)，给出下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大。其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【变式1－3】 课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y=(x＋t－6)(x－t＋2)的最小值。 (1)当t=3时，求该二次函数的最小值。 (2)当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化。小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0。你认为小滨的想法是否正确？请说明理由。 【典例2】 将抛物线y=－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为( ) A.y=－2(x＋1)2 B.y=－2(x＋1)2＋2 C.y=－2(x－1)2＋2 D.y=－2(x－1)2＋1 【点悟】 二次函数图象的平移可以归结为顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线怎样平移。 【变式2】 抛物线y=(x＋3)2－1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中，正确的是( ) A.先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B.先向左平移3个单位，再向下平移1个单位 C.先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移3个单位，再向下平移1个单位 题型三　二次函数与一元二次方程及不等式的关系 【典例3】 若二次函数y=x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是　。  【变式3】 如图，二次函数y1=ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2=kx(k≠0)的图象相交于点A和原点O，与x轴的另一个交点为C，点A的横坐标为－4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称。若点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是　 。  　变式3图 题型四　二次函数的图象与系数之间的关系 【典例4】 如图，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x=－1， 典例4图 给出下列结论：①abc＜0；②4a－2b＋c＜0；③3a＋c=0；④当－3＜x＜1时，ax2＋bx＋c＜0。其中正确的是( ) A.①②③　　　　B.①③④ C.②④　　　　　D.①②③④ 【变式4】 如图，二次函数y=ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴相交于点(－1，0)，(x1，0)，其中2＜x1＜3。给出下列结论：①ab＞0； 变式4图 ②a－b=－2；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2=0(a≠0)的另一个根是－；⑤b的取值范围是1＜b＜。其中正确的结论是( ) A.①③ B.②③④ C.②④⑤ D.②③④⑤ 题型五　二次函数的实际应用 【典例5】 荔枝是夏季的时令水果，不耐储存。某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克。市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，每天能多售出10千克。现将荔枝售价降低x元。 (1)降价后每天可以销售荔枝　　千克(用含x的代数式表示)。  (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数表达式。 (3)若该水果店想要使荔枝的销售利润为每天480元，且尽可能提升销量，则应将售价定为多少？ 【变式5】 公园草坪的地面点O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水柱也随之上下平移，如图是其示意图。开始喷水后，若喷水口在点O处，水柱外缘落地点为A，若喷水口上升到点P处，水柱外缘落地点为B，记OP长度为h(m)。 (1)已知OA=4 m。若喷水口在点P处，h=1.5 m，OB=6 m。 ①水柱外缘最高点与点B的水平距离为　4　m。  ②水柱外缘的最大高度为　2　m。  ③身高1.5 m的小红要从水柱下经过，为了防止被水柱淋湿，小红与点O的水平距离应满足什么条件？ (2)在喷水口上升过程中，当OB=2OA时，用含h的式子表示水柱外缘的最大高度。 变式5图 题型六　二次函数的综合 【典例6】 已知二次函数y=ax2－4ax＋4a＋4(a为常数且a≠0)。 (1)若函数图象经过点(4，0)，求该二次函数的表达式。 (2)若a＞0，判断该函数图象与x轴的交点个数。 (3)该函数图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1＜x2，若a＜0，x1＋x2＞4，求证：y1＞y2。 1.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法中，错误的是 ( ) A.该函数有最小值 B.当x=－2时，函数值y小于0 C.b2－4ac=0 D.当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小 　第1题图 　第2题图 2.若函数y=ax2＋bx＋c(ac≠0)的图象如图所示，则函数y=ax＋b和y=cx2＋ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A B C D 3.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点A的坐标为－，n，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b＋2c＜0；③若抛物线经过点(－6，y1)，(5，y2)，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=4无实数根，则n＜4。其中正确的是　(填序号)。  第3题图 4.已知二次函数y=(x－a)(x－a－5)＋4。 (1)当x=3，y=4时，求函数的表达式。 (2)若函数的图象同时经过点(b，m)，(4－b，m)，求a的值。 (3)已知点(1，y1)和(2，y2)在函数的图象上，且y1＜y2，求a的取值范围。 5.二次函数y=x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，且对称轴为直线x=1。 (1)求这个二次函数的表达式。 (2)若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”。 ①求这个函数图象上“倍值点”的坐标。 ②若P(m，n)是该二次函数图象上“倍值点”之间的点(包括端点)，求n的最大值与最小值的差。 6.甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养殖场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门(门不消耗木栏)，设AB长为x米。 (1)如图1，当AD≤MN时， ①AD=　　米(用含x的代数式表示)。  ②若围成的养殖场面积为138平方米，求AB的长。 (2)如图2，当AD＞MN时，求养殖场可达到的最大面积。 第6题图 7.已知二次函数y=x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过A，y1，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是( ) A.可以找到一个实数a，使得y1＞a B.无论实数a取什么值，都有y1＞a C.可以找到一个实数a，使得y2＜0 D.无论实数a取什么值，都有y2＜0 8.定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。已知抛物线y1=(x－3)2－2与抛物线y2=ax2＋bx＋c组成一个如图所示的“月牙线”，则a∶b∶c=　 　。  第8题图 9.当n≤x≤n＋1时，二次函数y=x2＋2x＋3的最大值与最小值的差为3，则n=　 　。  10.已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a，b为常数，a≠0)经过点A(1，4)，B(－2，－5)。 (1)求抛物线的函数表达式。 (2)当x=p时，y＞0；当x=q时，y＜0，且p，q(p＜q)为两个连续偶数，求p＋q的值。 (3)该抛物线y=ax2＋bx＋3与直线y=kx－k＋4(k为常数且k＞0)相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点，且C在D的左侧。若在x1＜x＜x2范围内，x的取值恰好有3个整数值，求k的取值范围。 11.根据以下素材，探索完成任务。 设计公交车停靠站的扩建方案 素材一 某公交车停靠站顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成。图1为某段结构示意图，C1，C2皆为轴对称图形，且关于点M成中心对称，该段结构水平宽度为8米。 第11题图1 素材二 图2为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱M1N1，M2N2竖直立于地面并固定在对称中心M1，M2处。小温将长为2.8米的竹竿AB竖直立于地面，当点A触碰到顶棚时，测得N2B为1米。 第11题图2 素材三 考虑实际需要，现欲将顶棚扩建，要求顶棚截面为轴对称图形(不包括支撑柱)，且水平宽度为27米。计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板。 问题解决 任务一 确定 中心 (1)求图1中点M到该结构最低点的水平距离l。 任务二 确定 形状 (2)在图2中，以N2为原点建立合适的直角坐标系，求C1的函数表达式。 任务三 确定 高度 (3)求挡风板的高度。 学科网（北京）股份有限公司 $