1.1 二次函数的意义（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的意义，涵盖定义、解析式识别及系数意义。通过篮球轨迹、喷水水柱等生活实例导入，结合矩形问题合作学习，回顾一次、反比例函数，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实情境，如鸡场面积、销售利润等问题培养模型意识，通过易错点分析和化简判断发展推理能力。采用问题驱动教学，小结步骤化，助力学生掌握建模方法，教师可提升教学效率。

1.1二次函数的意义 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 准确识别二次函数的解析式形式y=ax2+bx+c(a≠0)，明确二次项系数a、一次项系数b、常数项c的意义。 关系判断：能通过文字叙述或实际情境，判断变量间是否具有二次函数关系，区分二次函数与一次函数、反比例函数的本质差异。 模型构建：掌握“销售利润”“增长率”“几何图形面积”等典型问题的二次函数建模方法，能根据题意列出规范的二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。 导入新课 同学们，我们之前学过一次函数，知道y=kx+b能描述匀速走路、单价不变的买卖这类直线变化的问题。但生活里很多变化不是直线上升、直线下降，老师举几个大家熟悉的例子： 合作学习 活动 如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为xm，ym. （1）若绳长为10m，则y与x的关系式为 。 y是x的 函数； （2）若矩形的面积是10m2，则y与x的关系式为 。 y是x的 函数； (3)若矩形的周长为20m，矩形的面积为Sm2， 则S与x的关系式为 ，S是x的 函数. y=-x+5 一次 反比例 二 同学们，回顾一下一次函数和反比例函数的解析式 4 新知探究 做一做 1.边长为1cm的正方形，如果边长增加xcm(x＞0)，则面积 S(cm2)与x(cm)之间的函数关系式是 . 2.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数表达式为 . S=x2+2x+1(x＞0) y=2000+2000(x+1)+2000(1+x)2 思考：上述的两个问题，函数表达式具有哪些共同特征？ 新知探究 总结 形如y=ax²+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的函数叫做二次函数。 其中： x是自变量，y是因变量； ax²：二次项，a是二次项系数； bx：一次项，b是一次项系数； c：常数项 自变量x的最高次数必须是2 二次项系数不等于0 注意：函数解析式必须是整式（分母，根号，绝对值里面不能含有x，否则不是二次函数） 典例1 下列函数中，哪些是二次函数? (1); (2)y=x(2x-1); (3)y=(x+2)²-3; (4)y=(x+4)²-x2; (5)y=ax²+bx+c(a,b,c为常数). 典例分析 易错点1：不化简直接判断，忽略二次项会抵消 易错点2：忽略二次函数的核心条件a≠0 易错点3：混淆一次函数与二次函数，最高系数为2 易错点4：不会整式展开变形，不会识别隐藏二次式 练一练 用下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x 的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它 一定是y关于x的二次函数． ①y=x2+2x-5 ②y=(3x+2)(4x-3)-12x²; ③y=ax²+bx+c; ④y=2x²+3x-k(k为常数). 典例分析 不一定是 典例分析 将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y=(1-2x)²+4x; (2)y=(x+1)(3-2x)-6. (1)解：y=(1-2x)²+4x=1-4x+4x²+4x=4x²+1, 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； 典例2 (2)y= (x+1)(3-2x)-6=3x-2x2+3-2x-6= -2x2+x-3 二次项系数为-2，一次项系数为1，常数项为-3. 典例分析 下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)y=3(x-1)²+1, (2)y=4x+ (3)s=3-2t²; (4)y=(2x+1)²-4x2; (5)v=8πr2. (1)解：y=3(x-1)²+1=3x²-6x+4,是二次函数， 二次项系数是3,一次项系数是-6,常数项4. 练一练 (3)解：s=3-2t²=-2t²+3,是二次函数， 二次项系数是-2,一次项系数是0,常数项3. (5)解：v=8πr2,是二次函数， 二次项系数是8π,一次项系数是0,常数项0. 典例分析 如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm 典例3 (1)解：由题意可得，S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x2+36x, 即S关于x的关系式是S= -3x2+36x; (1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式； 典例分析 如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm 典例3 (2)解：依题意，-3x2+36x=160 即3x2-36x+160=0 △=b²-4ac=36²-4×3×160=-624<0, 原方程无实数解， 两个鸡场面积和S不能等于160(m2) (2)两个鸡场面积和S可以等于160（m2）吗？如果可以，求出此时AB的值． 典例分析 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； 练一练 （1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：200(1-x)²=128, 解得：x₁=0..2=20%,x₂=1.8(不合题意，舍去), ∴该种商品每次降价的百分率为20%； 典例分析 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 练一练 (2)解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， y=(x-80)[20+5(128-x)]-100,=-5x²+1060x-52900, ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价，80<x≤128, y=-5x²+1060x-52900(80<x≤128). 典例分析 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（-1，2），C（3，0)，求抛物线的函数解析式； 典例4 解：把B(-1,2)，C(3,0)代入y=ax²+bx+3, 得 整理得 解得 抛物线的函数解析式为y=-x²+x+3 典例分析 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过4(0,2)，B(1,-3)两点，求二次函数解析式并试判断点P(-1,6)是否在此函数图象上 练一练 解：将A(0,2)，B(1,-3)代入y=x²+bx+c， 得解得 二次函数的解析式为y=x²-6x+2, 当x=-1时，y=(-1)²-6×(-1)+2=9, P(-1,6)不在函数图象上. 知识与技能 （1）核心定义 一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。 ①x是自变量，y是函数； ②ax2为二次项，a是二次项系数； ③bx为一次项，b是一次项系数； ④c为常数项。 课堂小结 易 错 提 醒 课堂小结 1.识别函数：去括号→合并同类项→整式、最高次为2、a≠0三条件缺一不可；（切记化简之后在进行判断） 2.找各项系数：先化为y=ax²+bx+c，带符号读取a、b、c；（各项系数要带上前面的符号） 3.实际列式：找准等量关系列式→化简整理→补充自变量取值范围。（注意实际情况自变量的取值范围） 课堂练习 1.给出下列函数 ①；②；③；④；⑤⑥其 中二次函数的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知二次函数y=-x-3-6x2，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（ ） A.a=-1，b=-3，c=6 B.a=-1，b=3，c=6 C.a=-6，b=-1，c=3 D.a=-6，b=-1，c=-3 课堂练习 3.线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，☉B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 课堂练习 4.已知函数, (1)当m= ，n= 时，该函数是反比例函数； (2)当m= ，n= 时，该函数是开口向上的二次函数. (1)∵该函数是反比例函数 n2-5=-1，m-2≠0，m+n=0；∴,n=±2，m≠2, ∴当n=2时，m=-2,符合题意； 当n=-2时，m=2,不符合题意； ∴n=2，m=-2; 故答案为：-2,2 (2)∵该函数是开口向上的二次函数 m-2>0，n2-5=2 ∴m>2，n= 故答案为：>2，n= 课堂练习 5.小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为28m），另外三边用栅栏围成.设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym，则与x的函数关系式是 （写出自变量x的取值范围） 解：设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym，则矩形平行于墙的一边长为(80-2x)m， ∴y=x(80-2x）=-2x2+80x， 又由题意得， 解得26≤x<40， ∴y与x的函数关系式为y=-2x2+80x(26≤x<40) 课堂练习 6.某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件.若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 。 解：由题意得，y=(x-2)[50+10(13-x)] =(x-2)(180-10x) =-10x²+200x-360, 故答案为：y=-10x²+200x-360. 课堂练习 7.已知二次函数y=ax2+4x-1的图象经过点P(1，5). (1)求a的值； (2)点Q(m，15)在该函数的图象上，求m的值. (1)解：∵二次函数y=ax²+4x-1的图象经过点P(1,5), ∴a+4-1=5，∴a=2； (2)解：由(1)得，二次函数解析式为y=2x²+4x-1,∵点Q(m，15)在这个图象上， ∴2m²+4m-1=15，即m2+2m-8=0,则(m+4)(m-2)=0, 解得m=-4或m=2. $