第04讲 二次函数与一元二次方程的关系（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第04讲 二次函数与一元二次方程的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数图象与坐标轴交点 题型2 根据二次函数的图像确定方程根的情况 题型3 抛物线与x轴的交点和截线长问题 题型4 图象法求一元二次方程的近似解 题型5 利用二次函数解不等式问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数与一元二次方程 判别式 抛物线与坐标轴交点 截线长公式 图象法求近似根 二次函数与一元二次不等式 二次函数表达式（一般式/顶点式/交点式） 数形结合思想 1.理解二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握用判别式判断抛物线与 x 轴交点个数的方法。 2.能求解抛物线与 x 轴、y 轴及一次函数图象的交点坐标，掌握抛物线与 x 轴两交点的距离公式并灵活应用。 3.学会用图象法估算一元二次方程的近似解，能利用二次函数图象求解一元二次不等式的解集。 4.掌握二次函数三种表达式的特征与适用场景，能根据已知条件灵活选用合适的形式求解函数解析式。 5.体会数形结合的数学思想，提升利用函数图象分析方程、不等式问题的逻辑推理能力。 学习重点：判别式与抛物线和 x 轴交点个数的一一对应关系；利用二次函数图象确定方程根的情况、求解一元二次不等式的解集；抛物线与 x 轴截线长公式的推导与应用；二次函数三种表达式的转化与灵活选用。 学习难点：灵活运用数形结合思想，把方程、函数图象和不等式之间的关系准确转化。学生需要能够在含参数、交点距离、线段交点和不等式解集等综合问题中，正确判断图象位置、交点个数、根的范围以及端点是否包含，避免出现漏分类、误判区间或忽略特殊情况等错误。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程之间的关系： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内 即时即练如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【易错提醒】 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点02 抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线与y轴的交点是 ． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象 ； 当方程组有一组解（两个相等的实数根，即二重根）时两函数图象 ； 当方程组无解时两函数图象 ． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 即时即练在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．且 D．或 【易错提醒】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 图象法解一元二次方程 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与 的大致范围； （3）在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值； （4）确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程的近似根． 即时即练二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 求一元二次方程的近似解的方法(图象法)： （1）直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； （2）先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； （3）将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 1.根与系数的关系 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 即． 即时即练已知，若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【易错提醒】 （1）分母为，遗漏绝对值会出现负值错误；公式仅在△＞0时适用; （2）韦达定理中根与系数的关系得，不要遗漏负号。 知识点05 二次函数的常见表达式 一般式、顶点式与交点式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式。 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化。 （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法。 顶点式 （，a,m, k为常数） 当已知抛物线的顶点坐标（m，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式。 交点式 当已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0)时，常用交点式求其表达式。 即时即练对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【易错提醒】 （1）已知顶点/对称轴/最值却强行设一般式，已知 x 轴两个交点却不用交点式，都会大幅增加计算量，提升计算错误概率。应遵循：任意三点选一般式，顶点相关条件选顶点式，x轴两交点选交点式。 （2）三种表达式都必须满足，若题目中 a 是含参数的代数式，必须先限定，否则函数可能退化为一次函数，不再是二次函数。 知识点06 二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下： 判别式 a>0 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 △＝0 △＜0 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 即时即练如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A． B． C．且 D．或 【易错提醒】 （1）抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集． （2）不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． （3）当 a<0 时，抛物线开口向下，不等式解集的“中间”与“两边”情况与a>0时完全相反。切勿直接套用表格结论，需结合图象具体分析． 题型1 二次函数图象与坐标轴交点 【例1】抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【例2】下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（ ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【易错提醒】 （1）注意区别“与x轴交点”和“与坐标轴交点”：求总交点数时，易忽略c=0（过原点）的特殊情况，此时x轴与y轴的交点重合为原点，总交点数会减少1个。 （2）含参题目仅说“函数与坐标轴有交点”时，若二次项系数含参数，需分类讨论一次函数（二次项系数为0）的情况，易漏解。 （3）平移交点同步变：抛物线左右平移时，x轴交点横坐标随平移方向同步加减，不用重新求根。 【变式1-1】若关于的方程的解为，，则抛物线与轴的交点的横坐标为（ ） A．0和2 B．0和4 C． 和2 D．0和 【变式1-2】抛物线与坐标轴有个交点，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 题型2 根据二次函数的图像确定方程根的情况 【例3】根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【例4】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 【易错提醒】 （1）转化思想：将方程统一拆分为两个函数（二次函数 + 一次 / 反比例函数等），方程的实数根就是两个函数图象交点的横坐标，交点个数即为根的个数。 （2）草图判断法：复杂方程根的个数 / 正负问题，画出两个基本函数的大致图象，通过交点位置快速判断，无需精确计算。 【变式2-1】华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图像判断方程根的情况是（ ）． A．有三个实数根，两个正根一个负根 B．有两个实数根，一个正根一个负根 C．有三个实数根，一个正根两个负根 D．有两个实数根，并且两个都是负根 【变式2-2】点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 题型3 抛物线与x轴的交点和截线长问题 【例5】若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【例6】已知二次函数．（m为常数，） (1)求证：该函数图象与x轴总有两个公共点． (2)设该函数图象与x轴交于A，B两点．若，求线段的长的取值范围． 【易错提醒】 （1）方程的根的区间判定：函数值由正变负（或由负变正）的连续区间内，必然存在一个方程的根，可直接锁定根的大致范围。 （2）方程转化技巧：含常数项偏移的方程，统一转化为 “原抛物线 + 水平直线” 的交点问题，复用原抛物线的对称轴、开口、交点等已知性质，无需重新分析新函数。 （3）正负根快速定位：先确定对称轴位置，结合已知根在对称轴的哪一侧，直接判断另一根的正负属性，缩小选项范围。 【变式3-1】若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 题型4 图象法求一元二次方程的近似解 【例7】如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A． B． C． D． 【例8】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）方程的根的区间判定：函数值由正变负（或由负变正）的连续区间内，必然存在一个方程的根，可直接锁定根的大致范围。 （2）方程转化技巧：含常数项偏移的方程，统一转化为“原抛物线+水平直线”的交点问题，复用原抛物线的对称轴、开口、交点等已知性质，无需重新分析新函数。 （3）正负根快速定位：先确定对称轴位置，结合已知根在对称轴的哪一侧，直接判断另一根的正负属性，缩小选项范围。 【变式4-1】如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（ ） A． B． B． C． D． 【变式4-2】已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（ ） A． B． C． D． 题型5 利用二次函数解不等式问题 【例9】如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【例10】如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【易错提醒】 （1）解二次不等式核心是“看图象高低”：函数值大对应图象在上方，直接读取对应 x 的范围，无需死记结论。 （2）复杂不等式拆分为“二次函数不等号一次/常数函数”，直接利用两函数图象的上下位置求解，不用展开成标准二次式。 【变式5-1】已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，并与x轴交于点． (1)求该抛物线的表达式以及它的对称轴； (2)当时，请直接写出x的取值范围． A组 基础过关 1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①；②当时，x的取值范围是； ③；④方程的两个根是，； ⑤当时，y随x增大而增大；其中结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线．若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 4．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 5．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 6．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 7．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 8．如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 9．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 10．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． B组 综合提升 11．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 12．下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： … 0 1 3 … … 6 … 下列各选项中，正确的是（ ） A．这个函数的图象开口向下 B．当的值随值的增大而增大 C．这个函数的最小值等于 D．一元二次方程有一个实数根满足 13．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 14．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 15．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有________． 16．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 17．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________． 18．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 19．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？ 20．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． C组 挑战突破 21．对于一个函数，自变量取时，函数值为，则称为这个函数的不动点．如果二次函数（为常数）有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 23．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设函数，，的图象与x轴的交点个数分别为，，，若，，则的值是（ ） A．2 B．1或2 C．0 D．1 24．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 25．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④当时，；⑤．其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．下表中，记录了二次函数中两个变量x与y的6组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为（ ） x … 1 3 … y … 0 2 0 … A． B． C． D． 27．如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是______． 28．平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，其中m为常数． (1)求b的值，并用含m的代数式表示c． (2)若二次函数在这个范围内有最大值6，求m的值． (3)设是抛物线上的两点，请比较的大小，并说明理由． 29．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． (3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，求以、、、为顶点的四边形面积的最大值． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次函数与一元二次方程的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数图象与坐标轴交点 题型2 根据二次函数的图像确定方程根的情况 题型3 抛物线与x轴的交点和截线长问题 题型4 图象法求一元二次方程的近似解 题型5 利用二次函数解不等式问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数与一元二次方程 判别式 抛物线与坐标轴交点 截线长公式 图象法求近似根 二次函数与一元二次不等式 二次函数表达式（一般式/顶点式/交点式） 数形结合思想 1.理解二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握用判别式判断抛物线与 x 轴交点个数的方法。 2.能求解抛物线与 x 轴、y 轴及一次函数图象的交点坐标，掌握抛物线与 x 轴两交点的距离公式并灵活应用。 3.学会用图象法估算一元二次方程的近似解，能利用二次函数图象求解一元二次不等式的解集。 4.掌握二次函数三种表达式的特征与适用场景，能根据已知条件灵活选用合适的形式求解函数解析式。 5.体会数形结合的数学思想，提升利用函数图象分析方程、不等式问题的逻辑推理能力。 学习重点：判别式与抛物线和 x 轴交点个数的一一对应关系；利用二次函数图象确定方程根的情况、求解一元二次不等式的解集；抛物线与 x 轴截线长公式的推导与应用；二次函数三种表达式的转化与灵活选用。 学习难点：灵活运用数形结合思想，把方程、函数图象和不等式之间的关系准确转化。学生需要能够在含参数、交点距离、线段交点和不等式解集等综合问题中，正确判断图象位置、交点个数、根的范围以及端点是否包含，避免出现漏分类、误判区间或忽略特殊情况等错误。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程之间的关系： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 即时即练如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是， ∴对称轴， 解得：， ∴方程的解是：，， 故答案为：，． 【易错提醒】 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点02 抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线与y轴的交点是(0，c)． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有一组解（两个相等的实数根，即二重根）时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 即时即练在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】首先求出直线的表达式为，然后和抛物线联立得到，然后根据判别式求出，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 将直线和二次函数联立得，，即， 整理得，， ∵直线与抛物线有两个交点， ∴， 解得， 当时，抛物线开口向下 ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得： ∴； 当时，抛物线开口向上， ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得． 综上a的取值范围为：或． 【易错提醒】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 图象法解一元二次方程 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值； （4）确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程的近似根． 即时即练二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的连续二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 【方法总结】 求一元二次方程的近似解的方法(图象法)： （1）直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； （2）先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； （3）将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 1.根与系数的关系 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 即． 即时即练已知，若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题利用抛物线顶点坐标公式，结合一元二次方程根的判别式和两根之和的条件，判断顶点横纵坐标的符号，即可确定顶点所在象限． 【详解】抛物线的顶点坐标为， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， 又∵， ∴，即顶点纵坐标为负数。 设方程的两根为，由题意得，对于一元二次方程，可得， ∴， ∵， ∴，即， ∴顶点横坐标，即顶点横坐标为正数， ∵顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 【易错提醒】 （1）分母为，遗漏绝对值会出现负值错误；公式仅在△＞0时适用; （2）韦达定理中根与系数的关系得，不要遗漏负号。 知识点05 二次函数的常见表达式 一般式、顶点式与交点式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式。 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化。 （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法。 顶点式 （，a,m, k为常数） 当已知抛物线的顶点坐标（m，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式。 交点式 当已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0)时，常用交点式求其表达式。 即时即练对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 【易错提醒】 （1）已知顶点/对称轴/最值却强行设一般式，已知 x 轴两个交点却不用交点式，都会大幅增加计算量，提升计算错误概率。应遵循：任意三点选一般式，顶点相关条件选顶点式，x轴两交点选交点式。 （2）三种表达式都必须满足，若题目中 a 是含参数的代数式，必须先限定，否则函数可能退化为一次函数，不再是二次函数。 知识点06 二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下： 判别式 a>0 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 △＝0 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 即时即练如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 【易错提醒】 （1）抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集． （2）不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． （3）当 a<0 时，抛物线开口向下，不等式解集的“中间”与“两边”情况与a>0时完全相反。切勿直接套用表格结论，需结合图象具体分析． 题型1 二次函数图象与坐标轴交点 【例1】抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线对称轴为，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是， 故选：． 【例2】下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（ ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． 【易错提醒】 （1）注意区别“与x轴交点”和“与坐标轴交点”：求总交点数时，易忽略c=0（过原点）的特殊情况，此时x轴与y轴的交点重合为原点，总交点数会减少1个。 （2）含参题目仅说“函数与坐标轴有交点”时，若二次项系数含参数，需分类讨论一次函数（二次项系数为0）的情况，易漏解。 （3）平移交点同步变：抛物线左右平移时，x轴交点横坐标随平移方向同步加减，不用重新求根。 【变式1-1】若关于的方程的解为，，则抛物线与轴的交点的横坐标为（ ） A．0和2 B．0和4 C． 和2 D．0和 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点坐标、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先得出抛物线与轴的交点的横坐标为和，再根据二次函数图象的平移规律解答即可得． 【详解】解：∵关于的方程的解为，， ∴抛物线与轴的交点的横坐标为和， ∵将抛物线向右平移1个单位长度所得到的抛物线解析式为， ∴抛物线与轴的交点的横坐标为和， 故选：B． 【变式1-2】抛物线与坐标轴有个交点，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线与坐标轴有个交点，且与轴必有一交点， ∴需与轴有两个交点，即判别式， 解得, 又∵当时，抛物线过原点，与坐标轴只有两个交点， ∴, 综上，且, 故选：B． 题型2 根据二次函数的图像确定方程根的情况 【例3】根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系． 将方程转化为，方程的根即为二次函数中函数值为3时对应的值，通过表格查找对应即可求解． 【详解】解：∵方程可变形为， ∴该方程的根是二次函数的函数值为3时对应的值， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：B． 【例4】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标横坐标即为方程的解即可求解． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 【易错提醒】 （1）转化思想：将方程统一拆分为两个函数（二次函数 + 一次 / 反比例函数等），方程的实数根就是两个函数图象交点的横坐标，交点个数即为根的个数。 （2）草图判断法：复杂方程根的个数 / 正负问题，画出两个基本函数的大致图象，通过交点位置快速判断，无需精确计算。 【变式2-1】华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图像判断方程根的情况是（ ）． A．有三个实数根，两个正根一个负根 B．有两个实数根，一个正根一个负根 C．有三个实数根，一个正根两个负根 D．有两个实数根，并且两个都是负根 【答案】C 【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解． 【详解】解：依题意，函数与函数的函数图象如图所示， 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，且一个正根两个负根． 【变式2-2】点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先求出点也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的两个解为，，由此即可得． 【详解】解：∵点在抛物线上，且其对称轴为直线， ∴点也在这个抛物线上， 将二次函数的图象先向右移动1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为，即为， ∴抛物线经过点，，即，， ∴关于的一元二次方程的两个解为，， 即关于的一元二次方程的解是，， 故选：C． 题型3 抛物线与x轴的交点和截线长问题 【例5】若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【例6】已知二次函数．（m为常数，） (1)求证：该函数图象与x轴总有两个公共点． (2)设该函数图象与x轴交于A，B两点．若，求线段的长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）令，则，求出，即可得证； （2）由（1）可得，从而可得，，表示出，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴，即， ∴该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）解：由（1）可得， 设函数图象与轴交于点，， ∵利用公式法解方程可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，即． 【易错提醒】 （1）方程的根的区间判定：函数值由正变负（或由负变正）的连续区间内，必然存在一个方程的根，可直接锁定根的大致范围。 （2）方程转化技巧：含常数项偏移的方程，统一转化为 “原抛物线 + 水平直线” 的交点问题，复用原抛物线的对称轴、开口、交点等已知性质，无需重新分析新函数。 （3）正负根快速定位：先确定对称轴位置，结合已知根在对称轴的哪一侧，直接判断另一根的正负属性，缩小选项范围。 【变式3-1】若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 【变式3-2】已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 题型4 图象法求一元二次方程的近似解 【例7】如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 【例8】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【易错提醒】 （1）方程的根的区间判定：函数值由正变负（或由负变正）的连续区间内，必然存在一个方程的根，可直接锁定根的大致范围。 （2）方程转化技巧：含常数项偏移的方程，统一转化为“原抛物线+水平直线”的交点问题，复用原抛物线的对称轴、开口、交点等已知性质，无需重新分析新函数。 （3）正负根快速定位：先确定对称轴位置，结合已知根在对称轴的哪一侧，直接判断另一根的正负属性，缩小选项范围。 【变式4-1】如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（ ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键． 令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可． 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 【变式4-2】已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 题型5 利用二次函数解不等式问题 【例9】如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【例10】如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 【易错提醒】 （1）解二次不等式核心是“看图象高低”：函数值大对应图象在上方，直接读取对应 x 的范围，无需死记结论。 （2）复杂不等式拆分为“二次函数不等号一次/常数函数”，直接利用两函数图象的上下位置求解，不用展开成标准二次式。 【变式5-1】已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先利用抛物线对称轴公式求出的值，再代入已知交点求出的值得到抛物线解析式，通过配方确定顶点（最小值点），结合区间端点函数值与抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，，对称轴， ∴，解得， ∵抛物线与轴交于点，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为，配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为， 当时，， 当时，， 又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于， ∴． 故选：B． 【变式5-2】如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，并与x轴交于点． (1)求该抛物线的表达式以及它的对称轴； (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，对称轴是直线 (2)或 【分析】（1）根据一次函数求出点B，C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得， ∴，对称轴是直线； （2）解：由图象知，当时，x的取值范围为或． A组 基础过关 1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求时的函数值即可． 本题考查了抛物线与y轴的交点，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当时，， 故抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：C． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①；②当时，x的取值范围是； ③；④方程的两个根是，； ⑤当时，y随x增大而增大；其中结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对称轴结合特殊点判断①，图象法判断②，图象与轴的交点个数判断③，对称性求出图象与轴的交点坐标，判断④，增减性判断⑤． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象经过点， ∴， 又， ∴；故①错误； ∵图象关于对称轴对称， ∴关于对称轴的对称点为， ∴当时，x的取值范围是；故②错误； ∵图象与轴有两个交点， ∴， ∴；故③正确； ∵图象与轴的两个交点坐标为，， ∴方程的两个根是，；故④错误； 由图象可知：当时，y随x增大而增大；故⑤正确； 综上：正确的有2个； 故选B． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线．若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，根据图象可得出答案． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， 由图象可知，时，x的取值范围是或． 故选：D． 4．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 5．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 6．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 7．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 8．如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故A正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误． 9．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 10．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数交于和两点由函数图象可得， 当或者时，一次函数在二次函数下方，即， ∴或者时，． 故答案为：或． B组 综合提升 11．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 【答案】D 【分析】利用函数图象平移即可求解． 【详解】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到， 而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣， 故与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧， 故有两个同号不相等的实数根， 故选：D． 12．下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： … 0 1 3 … … 6 … 下列各选项中，正确的是（ ） A．这个函数的图象开口向下 B．当的值随值的增大而增大 C．这个函数的最小值等于 D．一元二次方程有一个实数根满足 【答案】D 【分析】本题考查求二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，先利用待定系数法求出解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：将，，代入， 得：， 解得， ， 由得这个函数的图象开口向上，故A选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，当的值随值的增大而增大，故B选项错误； ，可得这个函数的最小值等于，故C选项错误； 由时，时，可知有一个实数根满足，故D选项正确； 故选D． 13．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义及二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的定义和利用判别式判断方程根的情况是解题的关键．先明确二次函数的定义，二次项系数不能为；再根据函数图象与轴有交点，可知对应的一元二次方程有实数根，即判别式，联立这两个条件求解的取值范围． 【详解】解：函数为二次函数， ，即， 图象与轴有交点， ， ， ， ， ， ， 且， 故选：C． 14．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；通过求抛物线与坐标轴的交点坐标，确定三角形顶点位置，进而计算面积。 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 15．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有________． 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，根据对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，可判断①；由顶点坐标可判断②③；由抛物线与x轴交点坐标个数可判断④；由抛物线与x轴交点的横坐标可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴， ∴，，， ∴故①不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为， 故②正确； 由图象可知时，，即， 故③不正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④不正确； ∵对称轴为直线，， ∴， 由图象可知，时，， 故⑤正确． 故答案为：②⑤． 16．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【答案】A 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程有实数根，从而可以求得的取值范围，从而可以得到的最大值． 【详解】解：由图象可得， 二次函数的最小值是， 一元二次方程有实数根， 即一元二次方程有实数根， 也就是与有交点， ， 解得， 的最大值是3， 故选A． 17．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________． 【答案】15 【分析】把点代入二次函数解析式可得，然后问题可求解． 【详解】解：把点代入二次函数解析式得：，则有， ∴； 故答案为15． 18．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 【答案】 【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可． 【详解】解：连接PB， 对于抛物线y=-x2+k， 对称轴是y轴， ∴PC=PB， ∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长， ∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3）， ∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4， 把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2， 所以点B的坐标为（-2，0）， 所以BD=， 故答案为：． 19．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？ 【答案】(1)见解析；（2）当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称． 【分析】（1）若证明二次函数与x轴总有两个不同的公共点，只需令y＝0，得到一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，计算方程的判别式b2﹣4ac＞0即可； （2）若二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴x＝﹣＝0，计算即可得到m的值． 【详解】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，即x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0， ∵△＝（2﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4＞0， ∴方程x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）＝x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m， ∵函数的图象关于y轴对称， ∴x＝﹣＝0， 解得m＝1， ∴当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称． 20．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)存在，或或 【分析】（1）将点的坐标代入解析式求解即可； （2）令，求得点的坐标，根据三角形的面积公式求解即可； （3）设，边上的高为，则，根据与的面积相，求得，令解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为， ∴， 解得， 即， ； （2）存在，或或， 理由如下， 由，令， 即， 解得， ， ； （3）设，边上的高为， 与的面积相等， ， 是上的点， 则， 或， 解得或.， 或或． C组 挑战突破 21．对于一个函数，自变量取时，函数值为，则称为这个函数的不动点．如果二次函数（为常数）有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式及二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由题意得：不动点在一次函数图象上，由两个不动点，，满足，得时，一次函数的函数值小于二次函数的函数值，即，求解即可。 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， 一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， 两个不动点，，满足， ∴时，一次函数的函数值小于二次函数的函数值， ， ∴ 故选：C 22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0， 故abc＜0，不正确，不符合题意； B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a， ∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0， 故不正确，不符合题意； C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c， ∴（m为任意实数）， ∴， ∵a＜0， ∴（m为任意实数） 故不正确，不符合题意； D．∵-=1，故b=-2a， ∵x=-1，y=0，故a-b+c=0， ∴c=-3a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-3a＜3， ∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意； 故选：D． 23．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设函数，，的图象与x轴的交点个数分别为，，，若，，则的值是（ ） A．2 B．1或2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点；由题意得，再由得，代入即可确定判别式的符号，从而确定答案． 【详解】解：∵函数，的图象与x轴的交点个数分别为1个和0个， ∴， 即， ∵， ∴， 而， ∵， ∴， 即的图象与x轴的交点个数为0， ∴； 故选：C． 24．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标． 【详解】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）， ∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，， ∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6， 解得：c＝0， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9， ∴顶点P的坐标为（3，﹣9）， ∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9）， 故选：A． 25．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④当时，；⑤．其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质，观察表格得出信息是解题的关键． 先根据函数值相等的自变量值求对称轴，再根据时，确定抛物线的开口方向，根据表格可知当，，可得，进而根据对称轴可知b，即可判断①；然后根据表格可知当时，，再根据抛物线的对称性可知，可知另一个根是，判断②；求出，即可判断③；根据开口向上，对称轴为直线即可判断④；根据当时，，求出a的取值范围，然后表示m，n，可得的范围，即可判断⑤． 【详解】解：观察表格可知当和时，， ∴对称轴为直线． ∵当时，，，， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴抛物线的开口方向向上， ∴． 当，，可得． ∵对称轴为直线， ∴， ∴．故①正确； 当时，． 设另一个根是m，则， 解得， ∴和3是关于x的方程两个根．故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且当和时，， ∴当时，，故④正确； ∵当时，， ∴， 解得． 当时，，当时，， ∴， ∴， 即，故⑤错误． ∴正确的有4个， 故选：D． 26．下表中，记录了二次函数中两个变量x与y的6组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为（ ） x … 1 3 … y … 0 2 0 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，可得． 【详解】解：由、可得抛物线对称轴， 又由、以及对称轴可得， 抛物线与x轴的交点为、，则设抛物线交点式为， 与对比可得，解得， 二次函数表达式为， 当时，； 当时，； 当时，最大值， ， 当时，直线与该二次函数图像有两个公共点， ， 故选：D． 27．如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．观察图象，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线相交于，两点， 当时，二次函数图象在一次函数图象上方， 观察图象可知，此时， 故不等式成立时，的取值范围是． 故答案为： ． 28．平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，其中m为常数． (1)求b的值，并用含m的代数式表示c． (2)若二次函数在这个范围内有最大值6，求m的值． (3)设是抛物线上的两点，请比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)当，即时，，当，即时， 【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b和c； （2）将抛物线化成顶点式，由可得时，y取最大值，即，最后解一元二次方程即可； （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出、，求出分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ，． （2）解：由（1）得：， ， 时，y取最大值， ∵最大值是6，即时，， ， 解得，． （3）解：由（1）得： ， 是抛物线上的两点， ，， 当，即时，， 当，即时，． 29．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． (3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能，，； (3)，． 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积问题； （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）当能否是直角三角形时，由函数的对称性，则为等腰直角三角形，则，即可求解； （3）由＜得到＜则＜，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线过点、、， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令， 则， 即抛物线与轴的交点坐标为：，； （2）能，理由： 当时，则抛物线的对称轴为直线， 当时，如下图， 当能否是直角三角形时， 由函数的对称性，则为等腰直角三角形， 则， 即，则， 即， 解得：； 当时， 同理可得：； 综上，； （3）， 即 则， 即， 当时，， 则， 同理可得：当时，， 即． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，求以、、、为顶点的四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据（1）中抛物线的解析式可求出、两点的坐标； （3）由平移的性质可得出四边形是平行四边形，分三种情况画出图形，然后根据平行四边形的面积公式确定面积取得最大值的情况，最后计算出该平行四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线且过点， ∴ 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）令，得， ∴， 令，得， 解得：，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）由平移的性质可知，且， ∴四边形为平行四边形， 如图，符合条件的四边形有三个， 即□，□，□， ∴，，， ∵，， ∴□的面积最大， 令，得， 解得：，， ∴，， ∴， ∴． 2 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $