2025-2026学年人教版七年级数学下册 二元一次方程组及其应用题 期末专项练习

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解法与应用，构建“基础解法-技巧方法-综合应用-实际建模”四层训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|1-10题（20小题）|代入/加减消元法|从基本方程组求解到系数变式训练，夯实运算基础| |技巧方法|13-16题（材料阅读）|换元法、整体代入法|通过整体代换思想简化复杂方程组，培养推理意识| |综合应用|11-12题（2题）|同解问题参数求解|结合方程解的定义，建立参数关系，提升抽象能力| |实际应用|17-25题（9题）|建模求解（经济/生活问题）|从实际情境抽象等量关系，强化模型意识与应用能力|

二元一次方程组及其应用题专项练习 1．解方程组： (1)； (2)． 2．解下列二元一次方程组； (1)； (2)． 3．解方程组． (1) (2) 4．解方程组 (1)； (2)． 5．解下列方程组： (1)； (2)． 6．解方程组： (1) (2) 7．解下列二元一次方程组： (1) (2) 8．解下列二元一次方程组 (1)； (2)． 9．解方程组： (1)； (2)． 10．解方程组： (1) (2) 11．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 12．方程组和拥有完全相同的解，求、的值． 13．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 14．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 15．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． 16．阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 17．黎锦刺绣属于世界级与国家级双重非物质文化遗产．黎锦刺绣作为海南特色传统手工艺，闻名中外．在消博会举办之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的刺绣作品作为纪念品．已知购买1件A种刺绣作品与2件B种刺绣作品共需要700元，购买2件A种刺绣作品与3件B种刺绣作品共需要1200元． (1)求A、B两种刺绣作品的单价； (2)该国际旅游公司计划购买A种刺绣作品35件和B种刺绣作品50件，那么总费用是多少元？ 18．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 19．根据以下学习素材，完成下列两个任务． 学习素材 素材一 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，就完成了棉田的采摘． 素材二 大型采棉机 小型采棉机 每台大型采棉机完成棉田的采摘． 每台小型采棉机完成棉田的采摘． 问题解决： (1)任务一：这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ (2)任务二：现在有另一种棉大户也想同时租用这两种型号的采棉机完成棉田的采摘．问有哪几种租用方案？ 20．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 21．请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需170元；若购买3袋A种食材和1袋B种食材共需190元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共800元，两种都要采购． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种食材每袋的单价分别是多少元？（用方程解决问题） (2)任务二：请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出采购方案． 22．中国汽车技术研究中心5月16日发布《汽车产业知识产权十年发展报告》，报告显示，过去十年中国汽车专利公开量持续全球领先，新能源汽车领域专利公开量从2016年的5万余件增至2025年的11万余件，年均增长率达17.1%，展示出我国这一领域的蓬勃发展．某新能源汽车销售中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解，4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总价为160万元，3辆“清风”型汽车的进货总价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该销售中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．（不考虑其他支出） 23．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． (1)求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ (2)超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 24．为了更有效地利用水资源，鼓励居民节约用水，某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为2.91元；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按3.71元计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分水价按6.11元计算． 已知小红家上月用水，并没有超过，缴纳水费59.80元．问：该市规定的用水标准A是多少？小红家按第二段超量部分计费的用水量是多少？ 25．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年七年级下册二元一次方程组及其应用题专项练习（解析版） 1．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解： ①②得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组化简，， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 2．解下列二元一次方程组； (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 3．解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得： 解得 将代入①得： ∴方程组的解为； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为． 4．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组运用代入消元法解答即可； （2）方程组运用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， 所以，方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以，方程组的解为． 5．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) ． 【详解】（1）解：， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 得， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为． 6．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为第一个方程已经直接给出了y关于x的表达式，所以采用代入消元法，将y的表达式代入第二个方程，即可得到只含x的一元一次方程，求解得到x后再回代求y． （2）首先需要对第二个含分数的方程去分母，将其整理为系数为整数的二元一次方程，之后可根据整理后的方程系数特征，选择代入消元法或者加减消元法，消去其中一个未知数，求解另一个未知数后回代得到剩余未知数的值． 【详解】（1）， 把①代入②得： ， 整理得，解得， 把代入①得． 所以方程组的解为． （2）， ②，得，整理得， ，得 ，解得， 把代入①得：，解得． 所以方程组的解为． 7．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 将①代入②，得，解得， 将代入①，得， ∴原方程组的解为． （2）解：， ，得，解得， 将代入①，得，解得， ∴原方程组的解为． 8．解下列二元一次方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 9．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：将①代入②可得， 解得：， 将代入①可得：， ∴方程组的解为； （2）解：由可得：， 解得：， 将代入①可得， 解得：， ∴方程组的解为． 10．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得： 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为； （2） 得 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为． 11．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知的两个方程组的解相同得到关于、的方程组，求出、的值，再将、的值代入含、的两个方程中，得到关于、的二元一次方程组，进而求出、的值即可； （2）解方程组求出，的值，再将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同，， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， 由①得， 将代入②得， 解得， 将代入①，得， 解得, ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有，的方程组得， 得， 解得， 将代入③，得， 解得； （2）解：解方程组， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵关于，的方程组的解满足， ∴将，代入得， 解得． 12．方程组和拥有完全相同的解，求、的值． 【答案】， 【分析】先求解出与的值，再代入第二个方程组求出与的值． 【详解】解：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为， 将代入，得， ， 整理，得， 将，得， 解得， 将代入③，得， 解得， ∴，． 13．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； （3）设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握整体代换、构造新元简化方程组是解题的关键． 14．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用整体换元法求解即可； （3）原方程组可化为 ，再利用整体换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 与关于，的二元一次方程组系数一致， ∴， ∴，解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为，解得． ∴，解得． （3）解：原方程组可化为 ， 设，， 则原方程组可化为 ， 与关于，的二元一次方程组的系数一致， ∴． ∴，解得． 15．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由换元法，设，，解得，进而求出． （2）由换元法，设，，则该方程组为，由题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， 设，， 则原方程组化为， 得，， ， 解得， ，解得． （2）解：方程组， 可化为， 设，， 则该方程组化为， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ，解得． 16．阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 【答案】 【详解】解：由②，得                      ③ 将①变形得  ④ 把③代入④，得                        把代入③，得                         这个方程组的解是 17．黎锦刺绣属于世界级与国家级双重非物质文化遗产．黎锦刺绣作为海南特色传统手工艺，闻名中外．在消博会举办之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的刺绣作品作为纪念品．已知购买1件A种刺绣作品与2件B种刺绣作品共需要700元，购买2件A种刺绣作品与3件B种刺绣作品共需要1200元． (1)求A、B两种刺绣作品的单价； (2)该国际旅游公司计划购买A种刺绣作品35件和B种刺绣作品50件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． (2)总费用是20500元． 【分析】（1）先设出A、B两种刺绣作品的单价，根据题干给出的两种购买方案的总费用列出二元一次方程组，求解得到两种作品的单价； （2）根据计划购买的数量计算总费用即可． 【详解】（1）解：设A种刺绣作品的单价为元，B种刺绣作品的单价为元． 根据题意可得 解得 答：A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． （2）解：总费用为：（元） 答：总费用是20500元． 18．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 【答案】(1) (2)购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个 【分析】（1）根据“购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元”，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 解得 经检验，符合题意． 答：购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 19．根据以下学习素材，完成下列两个任务． 学习素材 素材一 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，就完成了棉田的采摘． 素材二 大型采棉机 小型采棉机 每台大型采棉机完成棉田的采摘． 每台小型采棉机完成棉田的采摘． 问题解决： (1)任务一：这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ (2)任务二：现在有另一种棉大户也想同时租用这两种型号的采棉机完成棉田的采摘．问有哪几种租用方案？ 【答案】(1)租用大型采棉机2台，小型采棉机4台． (2)共有2种租用方案，分别是：方案1：租用大型采棉机1台，小型采棉机4台；方案2：租用大型采棉机2台，小型采棉机2台． 【分析】（1）根据采棉机总台数和1小时总采摘面积，设未知数列二元一次方程组求解即可； （2）根据1小时总采摘面积列二元一次方程，结合“同时租用两种型号”的要求，即两种采棉机的数量都为正整数，求出所有符合条件的整数解即可得到所有租用方案． 【详解】（1）解：设租用大型采棉机台，小型采棉机台． 根据题意可得， 解得． 答：这个种棉大户租用了大型采棉机2台，小型采棉机4台； （2）解：设租用大型采棉机台，小型采棉机台，其中均为正整数， 根据题意可得， 变形得． ∵要同时租用两种型号的采棉机， ∴均为正整数． 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不符合要求； 因此共有2种租用方案． 答：共有两种租用方案，分别是租用大型采棉机1台，小型采棉机4台；租用大型采棉机2台，小型采棉机2台． 20．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 21．请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需170元；若购买3袋A种食材和1袋B种食材共需190元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共800元，两种都要采购． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种食材每袋的单价分别是多少元？（用方程解决问题） (2)任务二：请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出采购方案． 【答案】(1)A种食材每袋的单价是50元，B种食材每袋的单价是40元 (2)共有3种采购方案，分别为：方案1：采购A种食材4袋，B种食材15袋；方案2：采购A种食材8袋，B种食材10袋；方案3：采购A种食材12袋，B种食材5袋． 【分析】（1）设A种食材每袋的单价是x元，B种食材每袋的单价是y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A种食材m袋，购买B种食材n袋，根据采购这两种食材共800元建立方程，求出方程的正整数解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A种食材每袋的单价是x元，B种食材每袋的单价是y元， 由题意得， 解得， 答：A种食材每袋的单价是50元，B种食材每袋的单价是40元； （2）解：设购买A种食材m袋，购买B种食材n袋， 由题意得，， ∴， ∵两种食材都要采购， ∴m、n都是正整数， ∴是正整数，且是正整数， ∴m一定是4的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴共有3种采购方案：方案1：采购A种食材4袋，B种食材15袋；方案2：采购A种食材8袋，B种食材10袋；方案3：采购A种食材12袋，B种食材5袋． 22．中国汽车技术研究中心5月16日发布《汽车产业知识产权十年发展报告》，报告显示，过去十年中国汽车专利公开量持续全球领先，新能源汽车领域专利公开量从2016年的5万余件增至2025年的11万余件，年均增长率达17.1%，展示出我国这一领域的蓬勃发展．某新能源汽车销售中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解，4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总价为160万元，3辆“清风”型汽车的进货总价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该销售中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．（不考虑其他支出） 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元 (2)共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是x万元，“清风”型汽车的进货单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可. 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是x万元，“清风”型汽车的进货单价是y万元． 根据题意，得解得 答：“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆． 根据题意，得． ∴． ∵m，n为正整数， ∴或或 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆． 23．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． (1)求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ (2)超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元 (2)共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台 【分析】（1）设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元，根据题意建立二元一次方程组求解； （2）设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台，由题意得，再求其符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元， 由题意得， 解得． 答：甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元； （2）解：设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台， 由题意得 ， 化简得 ， 即 ， 、均为正整数， 时，； 时，； 时，； 时，； 答：共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台． 24．为了更有效地利用水资源，鼓励居民节约用水，某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为2.91元；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按3.71元计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分水价按6.11元计算． 已知小红家上月用水，并没有超过，缴纳水费59.80元．问：该市规定的用水标准A是多少？小红家按第二段超量部分计费的用水量是多少？ 【答案】该市规定的用水标准是，小红家按第二段超量部分计费的用水量是． 【分析】根据分段计费规则，结合已知总水费列方程组求解即可． 【详解】解：已知小红家上月用水，没有超过，缴纳水费59.80元， ，可知小红家上月用水超过， 根据分段计价规则，总水费等于第一段的水费加上超出部分的水费， 设小红家按第二段超量部分计费的用水量为， 可得方程：， 解得：， 答：该市规定的用水标准是，小红家按第二段超量部分计费的用水量是． 25．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】(1)A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元 (2)①俱乐部购买门票需要436元；②设购买了张A档门票，张B档门票，则购买了张C档门票，根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， ∴共有两种购买方案， 方案1：购买10张A档门票，6张B档门票，4张C档门票； 方案2：购买5张A档门票，12张B档门票，8张C档门票． 【分析】（1）设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元，再根据票价相等列出方程组，求出解即可； （2）①根据（1）中的单价可得总票价；②设购买m张A档门票，n张B档门票，可知C档门票为张，再根据总价相等得出二元一次方程，并根据整数解讨论方案即可． 【详解】（1）解：设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元； （2）解：①根据题意得： （元）． 答：俱乐部购买门票需要436元． ②略 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $