期末专题05 不等式与不等式组 综合训练-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以不等式性质为基础，通过解集求解、含参分析、实际建模及新定义问题，系统构建“概念-推理-应用”逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|3题（1,3,8）|不等式性质应用、文字转符号|性质推导→概念辨析| |解集求解与表示|4题（2,4,5,11）|数轴表示法、解集合并|解不等式→组解集确定| |含参问题与整数解|3题（6,7,14）|参数范围分析、整数解边界控制|不等式组→参数关系推导| |实际应用与模型|3题（10,15,21）|不等关系建模、方案优化|实际问题→数学模型构建| |新定义与综合|3题（12,23,24）|新运算转化、跨知识整合|概念迁移→综合推理应用|

期末专题05不等式与不等式组综合训练 一、单选题 1．若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合条件的不等式组为（     ） A． B． C． D． 3．语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 6．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（     ） 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，            第二步 移项，得，              第三步 合并同类项，得，                  第四步 A．第一步的依据是不等式的基本性质一 B．第二步的依据是不等式的基本性质二 C．第三步的依据是不等式的基本性质一 D．第四步的依据是不等式的基本性质三 9．按照如下程序，输入的值并计算.规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A．23 B．15 C．12 D．10 10．在“学法、知法、守法”活动中，学校组织学生参加法律知识竞赛，竞赛共40道单选题，答对一道得3分，答错或不答扣1分．规定成绩不低于98分为优秀，小明的竞赛成绩为优秀，则小明答对的题数至少为(    ) A．36道 B．35道 C．34道 D．33道 二、填空题 11．不等式 的解集是_________． 12．定义新运算：，若不等式 ，则 x 的取值范围是__________． 13．若方程组 的解满足，则m的取值范围是__________． 14．已知关于的不等式组无解，则的取值范围为_____． 15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 16．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 三、解答题 17．解不等式组 18．已知不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，求a的取值范围． 19．已知方程组的解满足为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 20．解不等式组． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①，得……………………第1步            ……………………第2步                   ……………………第3步                       ……………………第4步 (1)该同学的解答过程第___________步出现了错误，错误原因是____________，不等式①的正确解集是___________； (2)解不等式②，并写出该不等式组的解集． 21．开学初，小芳和小亮去商店购买中性笔和笔记本，小芳用17元钱买了1支中性笔和3本笔记本，小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本； (1)求每支中性笔和每本笔记本的价格； (2)运动会结束后，班主任把奖励金交给班长，购买上述价格的中性笔和笔记本共件作为奖品，叮嘱他使用这笔钱购买不能超过180元的奖品，并要求笔记本数不少于中性笔数，共有多少种购买方案？ 22．在实数范围内定义一种运算★，其运算规则是，如，根据这个规则解决问题： (1) (2)解不等式： (3)小明在解方程发现，无论取何值，都有，使上式成立，求出，的值． 23．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 24．某工厂生产一种产品，产品在出厂时已经按照规定数量装入三种型号的集装箱内封装．各型号的集装箱的装货数量、总重量和运输成本如下表： 型号 装货数量（件） 总重量（吨） 运输成本（元） A 10 4 15 B 12 5 18 C 14 6 20 工厂备货充足，已封装的每种型号的集装箱均有多个．现需向客户发货，客户要求每次至少收到50件产品．工厂安排一辆最大载重为23吨的货车承担发货任务，只发车一次． （1）若只装载型号A和B这两种集装箱，则为完成发货任务，该货车装载的集装箱总数为_________个； （2）在所有能完成发货任务的方案中，运输总成本最少为_________元． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《期末专题05不等式与不等式组综合训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D D C B C B B 1．D 【分析】利用不等式性质推导得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴当时，，，； 当时，，不一定大于0，； 当时，，，； ∴A、B、C不一定正确，不符合题意，D选项正确． 2．C 【详解】解：根据数轴可得不等式组为． 3．C 【详解】先表示出与的差，可得. 再表示出差的倍，可得. ∵该式是非负数，即大于等于， ∴. 4．D 【分析】先求出的解集，结合数轴可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 由数轴可得，不等式的解集为， ∴， 解得． 5．D 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则得到两个解集的公共部分，即可选出正确答案． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： ∵两个解集的公共部分为 ∴不等式组的解集为． 6．C 【分析】根据不等式组中的两个不等式的解集有公共部分解答即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组有解， ∴不等式①的解集与不等式②的解集有公共部分， ∴． 7．B 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，两边同乘得：， 移项合并得：， ∴. 解不等式②得：. ∴不等式组的解集为. ∵不等式组有个整数解， ∴满足条件的整数解为， ∴． 8．C 【分析】本题考查解一元一次不等式各步骤的依据，需结合不等式的基本性质逐一判断选项． 【详解】解：先明确不等式的基本性质： 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变； 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 逐一判断： ∵ 第一步去分母，给不等式两边同乘6，依据是不等式的基本性质2， ∴A错误； ∵ 第二步去括号，依据是去括号法则（乘法分配律），不是不等式的基本性质， ∴B错误． ∵ 第三步移项，本质是给不等式两边同时减去相同的项，依据是不等式的基本性质1， ∴C正确； ∵ 第四步合并同类项，依据是合并同类项法则，不是不等式的基本性质3， ∴D错误． 9．B 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得． ∵输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 10．B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．根据竞赛得分规则列出不等式，结合题数为正整数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题． 根据题意，得 去括号整理得 解得 ∵题数为正整数 ∴小明答对题数至少为35道． 11． 【分析】根据不等式的基本性质，通过移项、系数化为1即可得到解集． 【详解】解：对不等式， 移项，得， 系数化为1，得． 12． 【分析】根据新运算的定义，将不等式 转化为一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解：根据定义新运算，得： ， ， 解得：． 13． 【分析】先解二元一次方程组，得到和关于的表达式，再整理得到的表达式，代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围是． 14． 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再结合不等式组无解的条件确定参数的取值范围. 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， ∵关于的不等式组无解， ∴. 15． 【分析】设一共有名学生，根据每人分本，则多本，可知图书共有本，根据每人分本，则最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解． 【详解】解：设一共有名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， 又学生人数为正整数， ， 学生人数为． 16．19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 17． 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 不等式②，去分母，得， 去括号，得， 移项，整理，得， 故不等式的解集为， ∵且， ∴不等式组的解集为． 18．或 【分析】解不等式组，求出x的范围，根据任何一个x的值均不在的范围内列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式的解集为：， x的值均不在的范围内，如图， 不等式的解集中的最小值应不小于5或者最大值不超过2， a的取值范围是：或，即； a的取值范围是：或． 19．(1) (2) 和 【分析】（1）求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，结合（1）中的取值范围，进行求解即可. 【详解】（1）解：解方程组， 两式相加得，解得. 两式相减得，解得. 根据题意可得，代入得. 解得； （2）解：对不等式整理得， 不等式的解集为，不等号方向改变. ，解得； 由（1）知， ∴， 该范围内的整数为和， 即符合条件的整数为和. 20．(1)4；不等号的方向没有改变； (2)不等式②的解集：；不等式组的解集： 【详解】（1）解：不等式两边同除以同一个负数，不等号改变方向，第4步没有改变方向， ∴第4步出现了错误，错误原因是不等号方向没有改变， 解不等式：， ， ， ， ，即不等式①的正确解集是． （2）解不等式②：， ， ， ， ∴不等式组的解集为． 21．(1)每支中性笔元，每本笔记本元 (2)共有5种购买方案 【分析】（1）设每支中性笔的价格为 元，每本笔记本的价格为元，根据“小芳用元买了支中性笔和本笔记本；小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本”，即可得出关于 、的二元一次方程组，解方程组可得出结论． （2）设中性笔支，笔记本本，根据笔记本数不少于中性笔数，总费用不超过，列出不等式组，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每支中性笔和每本笔记本的价格分别为元，元，根据题意得： 解得： 答：每支中性笔元，每本笔记本元． （2）解：设中性笔支，笔记本本，则根据题意，得 解得： ∵ 为正整数， ∴a可取20，21，22，23，24， ∴共有5种购买方案，分别是： 方案1：购买中性笔20支，笔记本28本． 方案2：购买中性笔21支，笔记本27本． 方案3：购买中性笔22支，笔记本26本． 方案4：购买中性笔23支，笔记本25本． 方案5：购买中性笔24支，笔记本24本． 22．(1) (2) (3) ， 【分析】（1）根据已知条件中的新定义进行计算即可； （2）根据已知条件中的新定义列出关于的不等式，按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式即可； （3）根据新定义把方程化成一般形式，根据无论取何值，都有，使上式成立，列出关于，的方程组，解方程组求出，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴，解得． （3）解：∵， ∴， ． ∵无论取何值，都有，使上式成立， ，解得． 23．(1)②③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个“相依方程”的解，然后求出不等式组的解，然后根据“相依方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：，不是一元一次不等式组的解， ②， 解得：，是一元一次不等式组的解， ③， 解得：，是一元一次不等式组的解， ∴不等式组的“相依方程”是②③； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为或， 若是的解，则 ，解得：； 若是的解，则 ，解得：； 综上所述，或； （3）解：解方程得：， 解方程得：， 解关于的不等式组得：， ∵方程和都是关于的不等式组的“相依方程”， ∴和是的解， ∴， ∴的取值范围是． 24． 【分析】（1）设A、B型集装箱个数为正整数，根据发货件数要求和货车载重限制列出不等式，验证后得到集装箱总数． （2）设三种型号集装箱个数为非负整数，列出不等式，列举所有满足条件的方案，计算不同方案的运输总成本，得到最小成本． 【详解】（1）解：设装载型号A集装箱个，型号B集装箱个，为非负整数且不同时为0， 根据题意得··· 对从小到大取值验证： 当时，不等式化为， 得， 取， 当时，不等式化为， 得， 取， 当时，不等式化为， 得， 取， 当时，，， 没有正整数满足条件因此该货车装载的集装箱总数为； （2）解：设装载A、B、C三种型号集装箱分别为个， 为非负整数，满足， 总成本，求的最小值， 按从大到小验证：时，已装件，载重吨，剩余载重最多吨，还需至少件，得到最小， 时，已装件，载重吨，剩余载重最多吨，还需至少件， 当时，总件数， 总重量， 此时， 其余方案均大于73. 时，所有满足条件的方案中最小； 时，时；时，；最小， 同时不存在满足条件的方案使， 因此运输总成本最少为元 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $