精品解析：上海市光明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025～2026学年光明中学高二下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是_______ 2. 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间 （单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______． 4. 已知随机变量X的分布为，则期望_________． 5. 为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 6. 若随机变量 满足，则__________. 7. 如图，函数的图象在点处的切线方程是 ，则+ =______． 8. 一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率________． 9. 函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 10. 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 12. 2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞．现将矩形操场分割为40个单位正方形，五个点在正方形的顶点处，构成字母“”，四个标记为的点也在正方形的顶点处，设集合，点 ，过点作直线，使得不在上的的点分布在的两侧．用 和 分别表示一侧和另一侧的的点到的距离之和．若过点的直线中有且仅有一条直线满足 ，则 中所有这样的为________． 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A. 两种证券的收益有反向变动的倾向 B. 两种证券的收益有同向变动的倾向 C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 14. 函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 在 处切线的斜率大于零 B. 点是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 点 是函数的极小值点 15. 已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线 的左、右两支上，则向量、的夹角 （ ） A. 有最大值，但无最小值 B. 无最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 16. 椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某公司为了解用电量 （单位： ）与气温 （单位： ）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 用电量 （ ） 由表中数据可得回归方程 中．试预测当气温为 时的用电量，并求在气温为时的残差． 18. 已知椭圆： ， 为坐标原点． （1）求的离心率e； （2）设点，点在上，求的最大值和最小值； 19. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记 为抽取的3名学生中“及格”的人数，求 的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记 为这50名学生中“优秀”的人数，求 的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 20. 已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． （1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； （2）若，为直角三角形，求点M的坐标； （3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 21. 若定义在 上的函数和分别存在导函数和，且对任意x均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数 是函数 的“导控函数”，且函数 是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）已知函数和都是定义在 上的偶函数，且是函数的“导控函数”，证明： 恒成立（ 为常数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年光明中学高二下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及 ，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上， 所以： ，即 ，所以， 所以准线方程为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 2. 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由直线，知其一个法向量为， 又也是直线的法向量，则，可得. 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间 （单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，则． 4. 已知随机变量X的分布为，则期望_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列结合期望公式可求期望. 【详解】由题设有. 故答案为：. 5. 为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【解析】 【分析】在独立性检验中，当计算得到的统计量大于临界值时，就拒绝原假设，即可求解. 【详解】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 故答案为：拒绝. 6. 若随机变量 满足，则__________. 【答案】5.4 【解析】 【详解】. 7. 如图，函数的图象在点处的切线方程是 ，则+ =______． 【答案】 【解析】 【详解】点处的切线方程是 ，则， 切线 斜率为 ，则， ． 8. 一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率________． 【答案】 【解析】 【分析】先列出两个孩子全部等可能性别组合，筛选含女孩的样本集合，再利用条件概率定义计算双女孩的条件概率. 【详解】设两个孩子性别样本空间为， 每个基本事件等可能发生，总样本数 . 记事件 ：至少有一个女孩，满足条件的样本为， ； 记事件：两个均为女孩， ， . 由条件概率公式. 9. 函数有两个极值点，则实数 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数有两个极值点转化为有2个不同的正实根，列出关于参数 的不等式组，求解即得. 【详解】函数的定义域为， 且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得， 即实数 的取值范围为. 10. 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设线段的中点为 ，连接 ，求出、，利用勾股定理可得出关于、、 的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】设线段的中点为 ，连接 ， 由题意知，， 因为 为的中点，所以， 是的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率， 故答案为：. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点 为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为 轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 12. 2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞．现将矩形操场分割为40个单位正方形，五个点在正方形的顶点处，构成字母“ ”，四个标记为的点也在正方形的顶点处，设集合，点 ，过点 作直线，使得不在上的的点分布在的两侧．用 和 分别表示一侧和另一侧的的点到的距离之和．若过点 的直线中有且仅有一条直线满足 ，则 中所有这样的 为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将“”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可. 【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 记为“”的四个点为 ，点 ， ，线段 的中点分别为 ， 由，得四边形 为平行四边形，其中心坐标为 ，该点为， 依题意， 等价于直线过点， 当时，过的直线有多条，且满足不在上的点分布在直线两侧， 因此满足条件的直线不只1条，不符合要求； 当时，直线将四个分在两侧，无点在直线上，仅有1条，符合要求； 当时，直线将四个分在两侧，无点在直线上，仅有1条，符合要求； 当时，直线将点 分在两侧，点在该直线上，仅有1条，符合要求； 当时，直线将四个分在两侧，无点在直线上，仅有1条，符合要求， 所以 中这样的点 有. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A. 两种证券的收益有反向变动的倾向 B. 两种证券的收益有同向变动的倾向 C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【解析】 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 14. 函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 在 处切线的斜率大于零 B. 点是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 点 是函数的极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在 处切线的斜率大于零，函数在处不能取极值， 函数在区间上单调递增, 是函数的极小值点，所以B错误，ACD正确. 15. 已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角 （ ） A. 有最大值，但无最小值 B. 无最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点 在双曲线的渐近线上，结合双曲线的几何性质，以及向量的夹角的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为， 则点满足渐近线，所以点 在双曲线的渐近线上， 所以过点 存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量的夹角 不存在最小值， 过点 作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为 两点，此时， 因为，所以向量的夹角 存在最大值，最大值为 ， 综上可得，向量的夹角 存在最大值，不存在最小值. 故选：A. 16. 椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为 ， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某公司为了解用电量 （单位： ）与气温（单位： ）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 用电量 （ ） 由表中数据可得回归方程 中．试预测当气温为 时的用电量，并求在气温为时的残差． 【答案】 （ ），（ ） 【解析】 【分析】先计算样本点的中心，再代入回归直线方程，进而可得回归直线方程，从而可得所求结果. 【详解】由条件可得 ， ，样本点的中心为， 代入回归方程 ， ， 则线性回归方程为 ， 取，得 ； 取 ，得 ，故此时残差为 ． 因此，当气温为 时的用电量为 （ ），用电量在的残差为（ ）. 18. 已知椭圆： ， 为坐标原点． （1）求的离心率e； （2）设点，点 在上，求的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据给定的椭圆方程直接求出离心率. （2）设出点 的坐标，利用二次函数性质及椭圆的范围求出最值. 【小问1详解】 设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为 ， 则，，，所以的离心率． 【小问2详解】 依题意，设，则，， 因此， 则当 时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以 的最大值为，最小值为. 19. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记 为抽取的3名学生中“及格”的人数，求 的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记 为这50名学生中“优秀”的人数，求 的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）数学期望为8，方差为7. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知 的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【小问1详解】 设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以 的分布列为 0 1 2 3 随机变量 服从超几何分布，且，， ，所以； 【小问3详解】 由题意得，， ， ，，， 所以 的数学期望为8，方差为7． 20. 已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． （1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； （2）若，为直角三角形，求点M的坐标； （3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出 的范围，进而求出倾斜角的范围. 【小问1详解】 由题，，得 故 【小问2详解】 因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将 代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； 【小问3详解】 由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质： 在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为. 21. 若定义在 上的函数和分别存在导函数和，且对任意x均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数 是函数 的“导控函数”，且函数 是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）已知函数和都是定义在 上的偶函数，且是函数的“导控函数”，证明： 恒成立（ 为常数）． 【答案】（1）是 （2）2 （3）函数和都是定义在 上的偶函数， 且是函数的“导控函数”， 因此，又，， 因此函数是函数的“导控函数”， ，即， 用 代换x有， 综上可知， 记， 则 ， 因此存在常数c使得 恒成立， 综上可得， 恒成立（c为常数）． 【解析】 【分析】（1）根据“导控函数”的定义进行判断. （2）根据“导控函数”列不等式，利用判别式求得“导控点”. （3）根据“导控函数”的定义以及函数的奇偶性，结合导数证得 恒成立. 【小问1详解】 由，得 ，由，得 ， 因为 ，所以函数是函数的“导控函数”； 【小问2详解】 由 ，得 ， 由 ，得 ， 由，得 ， 由题意可得 恒成立， 令 ，解得 ， 故 ，从而有 ，所以 ， 又 恒成立， 即 恒成立， 所以 ，所以 ， 故 ，且“导控点”为2； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $