期末专题04 二元一次方程组 综合训练-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以“概念-解法-应用-综合”为逻辑主线，融合定义辨析、消元技巧、实际建模及跨知识整合，突出整体思想与模型意识的专项训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题（1,12）|二元一次方程组定义三要素判断|从概念内涵到形式识别，建立对“元”“次”的准确认知| |解法应用|6题（3,13,17,19,21）|代入/加减消元法最优策略、错解问题处理|从基本解法到技巧优化，培养运算能力与推理意识| |实际建模|4题（10,16,22,24）|等量关系提取、图表信息转化|从文字/图形到方程模型，发展数学眼光与应用意识| |综合拓展|8题（4,5,7,9,14,15,20,23）|新定义转化、整体思想、同解方程组|从单一知识点到跨情境整合，提升数学思维的系统性|

期末专题04 二元一次方程组综合训练 一、单选题 1．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知是方程 的解，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．用加减消元法解方程组消去y最简捷的操作是（     ） A． B． C． D． 4．对于任意实数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则的值为（   ） A． B．3 C．6 D．13 5．若方程组的解为，则被“★”、“■”遮住的两个数分别是（     ） A．3，9 B．9，3 C．9， D．3， 6．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 7．定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（  　  ） A． B． C． D． 8．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 9．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 10．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（     ） A．B．C．D． 二、填空题 11．已知方程，用含的代数式表示，则______． 12．若是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 13．二元一次方程组的解是________． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 15．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程，则表示的方程是____________． 16．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 三、解答题 17．解方程组： (1)； (2)． 18．22名工人按定额完成了3400件产品，其中熟练工每人定额200件，学徒工每人定额150件．问：这22名工人中熟练工和学徒工各有多少名？ 19．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 20．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 21．小明解方程组的过程如下所示： 解：由，得③，第一步 解得．第二步 把代入①，得： ， 解得．第三步 原方程组的解为第四步 思考并解决： (1)在上述过程中，第_____步是消元，消元的依据是_____； (2)小明的解答过程是不正确的，请写出正确的解答过程． 22．某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台． (1)按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴______元，1台乙款手机可获得补贴______元； (2)该店当天这两款商品各卖出多少台？ 23．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 24．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C C D A B B 1．B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 2．B 【分析】本题根据方程的解的定义求解，方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴将代入方程得 ， 整理得， 解得． 3．A 【分析】观察两个方程中的系数，即可得出结论． 【详解】解：∵①中的系数为，②中的系数为， ∴是消去y最简捷的操作． 4．B 【分析】本题考查新定义运算和解二元一次方程组，先根据给定的新运算规则，将条件转化为二元一次方程组，求解得到、的值后，计算即可得到结果． 【详解】解：根据规定的新运算 ∵， ∴可得方程组 由第二个方程变形得，将其代入第一个方程得 展开得 合并同类项得 解得 把代入，得 ∴ 故选：B． 5．C 【分析】根据方程组解的定义，方程组的解满足每个方程，先将已知的代入第二个方程求出，即被遮住的数，再计算得到被遮住的数，即可得到答案. 【详解】解：∵方程组的解满足方程，且 ∴将代入 得 解得 ，即 ∵ ∴ 因此被遮住的两个数分别是和. 6．C 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 7．D 【分析】先根据新运算定义得到b与a的关系，代入方程后整理，根据方程对任意a都成立的性质，得到关于x，y的二元一次方程组，求解即可得到公共解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， 将代入方程，得，， 整理得：， ∵取不同值时，方程都有公共解，即等式对任意恒成立， ∴， 解得， ∴公共解为． 8．A 【分析】将方程组中两个方程相加，整理得到与的关系式，再结合已知即可求出的值． 【详解】解：， 得， 两边同除以得， ∵， ∴． 9．B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 10．B 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每人共乘一车，最终剩余辆车空，实际使用车辆为，总人数等于乘使用车辆数， ∴， ∵每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，车上共坐人，加上步行的人等于总人数， ∴， 综上可得方程组． 11． 【分析】通过移项，将的系数化为1，即可得到用含的代数式表示的结果． 【详解】解：移项，得：， 系数化为1，得：． 12． 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于的条件，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，， 解得：或， ∵， ∴． 13． 【分析】利用加减消元法求解方程组即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 14． 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解，将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 【详解】解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 15． 【分析】根据算筹的表示方法，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解：从左到右，第一列1根竖筹表示x的系数为1， 第二列4根竖筹表示y的系数为4，第三列2根横筹和3根竖筹表示常数项为23，所以表示的方程是． 16． 【分析】设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解： ①②得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组化简，， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 18．学徒工有20名，熟练工有2名． 【分析】设学徒工有x名，熟练工有y名，根据“学徒工与熟练工共22人，且定额完成了3400件产品”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设学徒工有x名，熟练工有y名， 依题意，得：， 解得：． 答：学徒工有20名，熟练工有2名． 19．(1)； (2) 【分析】（1）甲看错方程①中的，就把代入②式，乙看错了方程②中的，就把代入①式； （2）将代入用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：，解得； 将代入方程得：，解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 20．(1) (2)1 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到和，先根据得到，再代入求解即可； （2）将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 21．(1)一；等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立； (2)解：， 由，得， 解得 ， 把 代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：第一步是消元，消元的依据是等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立； （2）略. 22．(1)300，500 (2)该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台 【分析】（1）根据补贴规则，列式计算即可； （2）根据当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：1台甲款平板可获得补贴元， ∵， ∴1台乙款手机可获得补贴500元． （2）解：依题意，得 ， 解得． 答：该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台． 23．(1)； (2) 【分析】（1）将并化简即可得到，将即可得到； （2）先根据题干的定义列出方程组，再写出的计算式，利用整体思想构造即可． 【详解】（1）解：， 将，得， 两边同除以，得， 将，得； （2）解：∵，， ∴， 将，得， ∴． 24．(1)A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元 (2)①俱乐部购买门票需要436元；②设购买了张A档门票，张B档门票，则购买了张C档门票，根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， ∴共有两种购买方案， 方案1：购买10张A档门票，6张B档门票，4张C档门票； 方案2：购买5张A档门票，12张B档门票，8张C档门票． 【分析】（1）设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元，再根据票价相等列出方程组，求出解即可； （2）①根据（1）中的单价可得总票价；②设购买m张A档门票，n张B档门票，可知C档门票为张，再根据总价相等得出二元一次方程，并根据整数解讨论方案即可． 【详解】（1）解：设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元； （2）解：①根据题意得： （元）． 答：俱乐部购买门票需要436元． ②略 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $