第一周 第2天 集合的基本关系 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第2天 集合的基本关系 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.(重点)3.理解空集与子集、真子集之间的关系.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 子集 ❓ 问题　观察下面的几个例子，请同学们说出每组两个集合之间的关系. (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)E={x|x=2k，k∈Z}，F={偶数}. 💡知识梳理 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B⊇A)，读作“ ”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即 ； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 .也就是说，若 ，且 ，则A=B. ⚠️ 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 🎯例1　(课本例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A={1，2，3}，B={x|x是8的约数}； (2)A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 🎯例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0}； (2)A={x|x是正方形}，B={x|x是矩形}； (3)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； (4)M={x|x=2n-1，n∈N*}，N={x|x=2n+1，n∈N*}. 判断集合间关系的常用方法 反思 归纳 🎯跟踪训练　(1)已知A={x|x是正数}，B={x|x是正整数}，C={x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C (2)已知集合M={x|x=3m-1，m∈Z}，集合N={x|x=3n+2，n∈Z}，则M，N之间的关系为　　　　. 知识点2 真子集 💡知识梳理 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 ，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作 (或BA)， 读作“ ”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把 的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC ⚠️ 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}. 🎯例2-1　(课本例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 🎯例2-2　填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 📐延伸探究1　利用例题的结论，试求满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数. 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. 反思 归纳 知识点2 由集合间的关系求参数范围 🎯例3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 (2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 📐延伸探究3　若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 📐延伸探究4　若例3(2)中的条件不变，且BA，求实数m的取值范围. 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 反思 归纳 自学小结 集合的概念 1.知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.(多选)以下四个选项中，错误的为(　　) A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} 2.已知集合A={x|x<-2或x>0}，B={x|0<x<1}，则(　　) A.A>B B.AB C.BA D.A<B 3.集合A={0，2，4，6}的子集个数是(　　) A.8 B.12 C.15 D.16 4.集合A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为　　　　. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第2天 集合的基本关系 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.(重点)3.理解空集与子集、真子集之间的关系.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 子集 ❓ 问题　观察下面的几个例子，请同学们说出每组两个集合之间的关系. (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)E={x|x=2k，k∈Z}，F={偶数}. 💬提示　(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，(2)(3)中的集合C与D，E与F也有这种关系. 💡知识梳理 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. ⚠️ 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 🎯例1　(课本例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A={1，2，3}，B={x|x是8的约数}； (2)A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 解　(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集. 🎯例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0}； (2)A={x|x是正方形}，B={x|x是矩形}； (3)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； (4)M={x|x=2n-1，n∈N*}，N={x|x=2n+1，n∈N*}. 解　(1)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (4)M={正奇数}，N={不含1的正奇数}，故N⊆M. 判断集合间关系的常用方法 反思 归纳 🎯跟踪训练　(1)已知A={x|x是正数}，B={x|x是正整数}，C={x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 答案　B 解析　集合A，B，C的关系如图. (2)已知集合M={x|x=3m-1，m∈Z}，集合N={x|x=3n+2，n∈Z}，则M，N之间的关系为　　　　. 答案　M=N 解析　设x∈M，则存在m∈Z，有x=3m-1=3(m-1)+2， ∵m∈Z，∴m-1∈Z，∴x=3(m-1)+2∈N，故M⊆N； 设x∈N，则存在n∈Z，有x=3n+2=3(n+1)-1， ∵n∈Z，∴n+1∈Z，∴x=3(n+1)-1∈M，故N⊆M， 综上所述，M=N. 知识点2 真子集 💡知识梳理 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC ⚠️ 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}. 🎯例2-1　(课本例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解　集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}.真子集为∅，{a}，{b}. 🎯例2-2　填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 解　 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2. 📐延伸探究1　利用例题的结论，试求满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数. 解　由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个， 又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23-1=7， 故集合M的个数为7. 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. 反思 归纳 知识点2 由集合间的关系求参数范围 🎯例3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 答案　B 解析　若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意； 若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意. 综上所述，a=1. (2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　因为A⊆B，如图所示，此时B≠∅， 所以即 所以m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 📐延伸探究2　若例3(2)中的条件不变，且B⊆A，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足B⊆A， 此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 📐延伸探究3　若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得即2≤m<3， 所以实数m的取值范围是{m|m<3}. 📐延伸探究4　若例3(2)中的条件不变，且BA，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足BA，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且BA时，如图所示. 所以 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 反思 归纳 自学小结 集合的概念 1.知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.(多选)以下四个选项中，错误的为(　　) A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} 答案　AD 解析　A应是{1}⊆{0，1，2}；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C正确；D应是∅⊆{0}. 2.已知集合A={x|x<-2或x>0}，B={x|0<x<1}，则(　　) A.A>B B.AB C.BA D.A<B 答案　C 解析　由数轴知BA. 3.集合A={0，2，4，6}的子集个数是(　　) A.8 B.12 C.15 D.16 答案　D 4.集合A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为　　　　. 答案　{a|a>6} 解析　∵A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，由A⊆B，结合数轴可知a>6. 学科网（北京）股份有限公司 $