精品解析：福建厦门市同安实验中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2025-2026高一（下）第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，进而判断即可. 【详解】由，则， 则复数对应的点为，在第三象限. 故选：C. 2. 如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 3. 若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（   ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 4. 在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案. 【详解】由余弦定理可知， 即， 整理得，解得或（舍去）. 故选：D. 5. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，如图，求出，进而求出，即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图，    由，，所以， 所以，则， 即的面积为. 故选：D 6. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 7. 在中，为边上的中线，E为的中点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法运算法则，，即可得解. 【详解】 由为边上的中线，E为的中点，可得： ， ，所以， 故选：C. 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积等于球的表面积的一半 C. 圆锥的体积与球的体积之比为 D. 若半径为，则圆锥侧面积为 【答案】AC 【解析】 【详解】设球的半径为，则如图所示：， 由，得：，得， 所以，所以A正确； 圆锥的表面积为，球的表面积为， 所以，所以B错误； 圆锥的体积，球的体积，，C正确； 圆锥的母线长为，底面周长为，所以圆锥侧面积，D错误. 10. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（      ） A. 若，则 B. 在 中， ，，，则三角形面积为 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，，，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B， 因为， 所以，故B正确； 对于C，因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，故C错误； 对于D，因为，，，由， 即，又，所以有两解， 所以有两解，故D正确. 11. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列出方程组可判断B；由复数乘除法运算，共轭复数及虚部概念可判断C；利用复数的几何意义可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； 对于C，若，则， 所以的虚部为，故C错误； 对于D，因为，所以点的轨迹为圆心为，半径分别为1和围成的圆环， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每题5分 ） 12. 如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 【答案】四棱锥 【解析】 【分析】观察剩余部分的面数及各面的形状，结合四棱锥定义确定结论. 【详解】在三棱台中，截去三棱锥后剩余部分共有个面， 分别为和梯形，且四个三角形有公共顶点， 故剩余部分是四棱锥. 13. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________. 【答案】米 【解析】 【分析】设，即可得到，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得， 而， 则，， 所以， 在中，，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 所以铁塔的高度为米. 故答案为：米. 14. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则， 故，整理得， 结合同向和可得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可； （2）利用复数的几何意义和向量在向量上的数量投影公式计算即可. 【小问1详解】 ， 因为是纯虚数， 所以且， 解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的数量投影为. 16. （1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积. （2）在正四棱台中，，求棱台的体积. 【答案】（1）体积，表面积为；（2）. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式和表面积公式求球的体积和表面积； （2）根据题意求出、，则计算出、，根据棱台体积公式计算即可. 【详解】（1）设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，，  在中，， ， ∴球的半径， 因此球的体积，球的表面积为； （2）如图，过作，垂足为， 易知为四棱台的高，因为， 则，， 故，则， 所以所求体积为. 17. 已知向量，. （1）求 和 ； （2）若，且，求向量与向量的夹角； （3）若，且，求向量的坐标. 【答案】（1）， （2） （3）或. 【解析】 【小问1详解】 因为，，， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以.即. 所以.即， 所以. 因为，所以. 【小问3详解】 因为，，所以. 因为，设， 则， 解得， 故或. 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换公式化简，进而求出角A； （2）先利用三角形面积公式求出边c的长度，再用余弦定理求出边a； （3）用余弦定理得到b、c的式子，再用基本不等式来分析求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 又，所以. 19. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． （1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； （2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【答案】（1）答案见解析 （2）不能捕猎成功，原因见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，可得答案； （2）由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，利用零点存在性定理，可得答案. 【小问1详解】 由题意作图如下： 则，， ，． 由正弦定理，可得． 因此或120°， 当时，，猎豹与羚羊之间的距离为， 当，，猎豹与羚羊之间的距离为. 【小问2详解】 由题意作图如下： 设捕猎成功所需的最短时间为t， 在中，，，，． 由余弦定理得：． 整理得：． 设，显然， 因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且． ∴猎豹不能捕猎成功． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026高一（下）第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（   ） A. 4 B. C. D. 4. 在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为边上的中线，E为的中点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积等于球的表面积的一半 C. 圆锥的体积与球的体积之比为 D. 若半径为，则圆锥侧面积为 10. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（      ） A. 若，则 B. 在 中， ，，，则三角形面积为 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，，，则有两解 11. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 三、填空题（本题共3小题，每题5分 ） 12. 如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 13. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________. 14. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 16. （1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积. （2）在正四棱台中，，求棱台的体积. 17. 已知向量，. （1）求 和 ； （2）若，且，求向量与向量的夹角； （3）若，且，求向量的坐标. 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若，求的取值范围. 19. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． （1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； （2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $