江苏省镇江徐州七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

高一数学试卷 第 1页（共 4页） 2024级高一下学期 4月期中考试试题 数学试题 2025.04 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知 i为虚数单位，复数 z满足 (1 i) 1z   ，则 | |z  A． 2 B．1 C． 2 2 D． 1 2 2. 已知平面向量 a，b 是两个单位向量，且 ，a b 的夹角为 2π 3 ，则 + a b A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 3. 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 2 =150a A ， ,则 + sin sin b c B C   A. 2 B. 2 3 C. 4 D. 4 3 4. 已知平面向量 a，b 满足 =2b ，且 a 在 b 上的投影向量为 1 2 b ，则 a b = A.4 B. 1 4 C. 2 D. 1 2 5. 镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、 娱乐为一体的新城市综合体. 某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN ，在苏宁广场的正东 方向找到一座建筑物 AB，高约为 170m，在地面上点C处 ( B C N， ， 三点共线) 测得建筑 物顶部 A，苏宁广场顶部M 的仰角分别为 30 和 45，在 A处测得楼顶部M 的仰角为15 ， 则苏宁广场的高度约为 A. 320 m B. 340 m C. 360 m D. 380 m 6．已知 5 sin( ) 3   ， sin( )   1 5 ，则 tan tan   A． 3 B．2 C． 2 5 D． 1 2 （第 5题图） 高一数学试卷 第 2页（共 4页） （第 8题图） 7. 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，sin 3 cos 0A A  ，D在边 BC上， AD是角 A的平分线， 2= 7 3 AD a ， ，则△ABC的周长为 A． 3+ 7 B． 4+ 7 C． 5+ 7 D． 6+ 7 8. 如图，在△ABC中，D是 BC的中点， E在边 AB上， 2 3 1BE EA AB AC  ， ， , AD与CE交于点O， AB AC tAO EC       ，则实数 t的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知 i为虚数单位，则下列说法正确的是 A． 2025i i B．复数 2 1 i 的共轭复数的虚部为 1- C．若复数 z为纯虚数，则 2 2z z D．若 1z ， 2z 为复数，则 1 2 1 2z z z z  10. 设非零向量 a，b 的夹角为 ，定义运算 sina b = a b .下列说法正确的是 A. 若 (1,1) ( 1,1)， -a = b = ，则 2a b = B.  ≥a b a b C. 若 0 a b ，则 //a b D. ( ) +    a b c a b a c 11. 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 22cos cos cos 1 2 A B C  ，则 A. tan tan 2B C  B. △ABC为锐角三角形 C. π 3 A  D. 2a bc 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．设向量 (1 )x ，a ， (4 2) ，b ，若 a b，则实数 x  ▲ ． 高一数学试卷 第 3页（共 4页） 13．已知 π 1 πsin(2 ) (0 ) 6 5 2     ， ， ，则 πsin( ) 6    ▲ ． 14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题， 分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三 斜求积”中提出了：已知三角形三边 a，b，c，求面积 S的公式．这与古希腊的海伦公式完 全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂 减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即： 2 2 2 2 2 21 ( ) 4 2 a c bS a c         ．现有△ABC的三边 a，b，c满足 sin 2 sin 4 sinb B c C a A  ， 则 2 S a 的最大值 ▲ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知复数 z满足 2iz  和 1 i z  均为实数，其中 i为虚数单位． （1）求复数 z； （2）若 z是方程 2 8 0x mx   的一个根，求实数m的值． 16．（15分） 已知 π(0 ) 2   ， ，且 1cos 3   . （1）求 sin2 的值； （2）若 tan( ) 2   ，求 tan  的值. 17. （15分） 已知点 (1 1) (3 1) ( 3)A B C k， ， ， ， ， （1）若 A B C， ， 三点共线，求实数 k的值； （2）若△ABC为等腰三角形，求实数 k的值; （3）若四边形 ABCD为矩形，求向量 AC  与 BD  夹角的余弦值. 高一数学试卷 第 4页（共 4页） 18. （17分） 在① πcos 3 cos 2 b C c B （ ） ；② 2 3ABCS BA BC    ；③ tan tan 3A C   3tan tanA C， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：在△ABC中，角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c，且__________. （1）求角 B； （2）已知 3b  ， D为线段 AC 上的一点. ① 若 BD是边 AC 上的高，求 BD的最大值； ② 若 2AD DC ，求 BD的最大值. 19. （17分） 费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个 问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最 小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC 的三个内角均小于 120°时，使得 120APB BPC CPA    的点 P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点 P称为费 马点. 当△ABC的一个内角大于 120°时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 2 tan 1 2 3 tan b A a c C   ， . （1）求 A； （2）设点 P为△ABC的费马点， ① 若 = 4PA PB PB PC PC PA           - ，求 AB AC   ； ② 设 45 60PBA      ， ，求 PB PC 的取值范围. 高一数学答案 第 1页（共 6 页） 2024级高一下学期 4月期中考试试题答案及评分标准 数 学 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C C B B A D 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AD AC ABD 三、填空题 12. 2 13. 10 5 14. 10 6 四、解答题： 15.（1）设 ( )z a bi a ,b R  ， 则 ( ) ( )2 ( 2) 1 1 2 z a bi a b b a iz i a b i i i             ， ………………3分 因为 2z i 和 1 z i 均为实数，所以 ( 2)=0 =0b b a ， ，则� = � = 2 所以复数 2 2z i  . ………………6分 （2）因为 z是方程 2 8 0x mx   的一个根， 则有 2(2 2 ) (2 2 ) 8 0i m i     ………………8分 高一数学答案 第 2页（共 6 页） 整理得： 2 +8+(2 8) 0m m i  ………………10分 所以 2 +8 0m  ， 则 = 4m - ………………13分 16. （1）因为 π0, 2       ，且 1cos 3   ， 所以 2 2 1 2 2sin 1 cos 1 3 3            ， ………………3分 所以 2 2 1 4 2sin 2 2sin cos 2 3 3 9        ………………7分 （2）由（1）知： 2 2sin 3   ， 1cos 3   ， ………………9分 所以 2 2 sin 3tan 2 2 1cos 3      ， ………………11分 则      tan tan 2tan tan ( ) 1 tan tan 5                     . ………………15分 17. （1）因为 A B C， ， 三点共线，所以 AB AC   ， 共线，即 AB  // AC  ………2分 又 (2, 2)AB    ， =( 1,2)AC k   ………………3分 则有 4 = 2( 1)k  ，所以 = 1k  ………………4分 （2）① 若 =CA CB，取 AB中点 D，则CD AB   又 (1 1) (3 1)A B ， ， ， ，则 AB中点 D (2 0)， 而 =(2 2) =(2 3)AB CD k     ， ， ， ， 0AB CD    高一数学答案 第 3页（共 6 页） 得： =5k ………………6分 ② 若 =AB AC ，取 BC中点 E，则 AE BC   又 3 1( 1) ( 0) ( 3 4) 2 2 k kE AE BC k      ， ， ， ， ， ， 由 =0AE BC   ，得 1k   或 3 ………………7分 由（1）得： 1k   时， A B C， ， 三点共线，舍去. 所以 k  3 ………………8分 ③ 若 =AB BC，取 AC中点 F，则 BF AC   又 1 5( 2) ( 3) ( 1 2) 2 2 k kF BF AC k      ， ， ， ， ， ， 由 =0BF AC   ，得 2 6 17 0k k   ，方程无解. 综上， 3k  或5 ………………10分 注：本小问也可以通过两个腰长相等，利用向量的模相等求出�的值。 （3）设 ( )D x y， 因为四边形 ABCD为矩形，所以 =AB DC AB AD     ， 又 =(2 2) ( 3 4) ( 3 )AB BC k DC k x y    ，- ， = - ， ， - ，- ，则 =7 = 5 = 5k x y， ， 则 =(6 2) (2 6)AC BD   ， ， = ， ………………12分 则 3cos 5 AC BDAC BD AC BD          ， ………………14分 高一数学答案 第 4页（共 6 页） 综上，向量 AC  与 BD  夹角的余弦值为 3 5 ………………15分 18.（1）选择①：条件即 sin 3 cosb C c B ， 由正弦定理可知， sin sin 3 sin cosB C C B ， ……………2分 在△ABC中，  , 0 πB C ， ，所以 sin 0,sin 0B C  ， ……………3分 所以 sin 3 cosB B ，且 cos 0B  ，即 tan 3B  ，所以 π 3 B  …………5分 选择②：条件即 12 sin 3 cos 2 ac B ca B  ，即 sin 3 cosB B ， 在△ABC中，  0 πB ， ，所以 sin 0B  ，则 cos 0B  ， 所以 tan 3B  ，所以 π 3 B  . 选择③：条件即  tan tan 3 tan tan 1A C A C   ， 所以   tan tantan tan 3 1 tan tan A CB A C A C         ， 在△ABC中，  0 πB ， ，所以 3 B  . （2） 因为△ABC的面积 1 13 sin 2 2 S BD ac B    ，所以 1 2 BD ac 在△ABC中，由余弦定理得： 2 2 2 2 cosb a c ac B   所以 2 2 =3 2a c ac ac ac ac     ………………7分 从而 3ac  ………………8分 当且仅当 = = 3a c 取等. ………………9分 高一数学答案 第 5页（共 6 页） 所以 BD的最大值为 3 2 ………………10分 （3）由正弦定理得： 2 2 sin b R B   因为 1 2 3 3 BD BA BC     ， ………………12分 则 2 2 2 2 2 21 4 2 1 4 2=4 ( sin sin sin sin ) 9 9 9 9 9 9 BD c a ac R C A A C     2 24= (sin 4sin 2sin sin ) 9 C A A C  2 24 π π= (sin ( ) 4sin 2sin sin( )) 9 3 3 A A A A    4 21 1 cos2 3 1 cos2 3 3= ( sin 2 ) 9 4 2 4 2 4 A A A      2 3 π 4= sin(2 ) 3 3 3 A  ………………15分 因为 2π(0 ) 3 A ， ，故当 π π2 = 3 2 A ，即 5π= 12 A 时，取得最大值 4+2 3 3 则BD的最大值为 3+ 3 3 ………………17分 19. （1） 在△ABC中， 2 tan sin cos cos sin1 tan cos sin b A A C A C c C A C     ， 由正弦定理得： 2sin sin sin cos sin B B C A C  ………………2分 因为在△ABC中， sin 0 sin 0B C ， ，从而 1cos 2 A  且 (0 π)A ， …………3分 所以 π= 3 A ………………4分 高一数学答案 第 6页（共 6 页） （2）设 = = =zP yA Px B PC    ， ， 则 1= ( )= 4 2 PA PB PB PC PC P xy xzA zy             - - 则 =8xy xz zy  ………………6分 由 =APB CPB APC ABCS S S S     得： 3 1 3( )= 4 2 2 xy xz zy bc    则 =8bc ………………7分 在△ABC中，由余弦定理得： 2 2 2= + 2a b c bccosA- 代入 =8bc 得： 2 2+ =20b c ………………8分 则 4 =2b= c， 或 2 =4b= c， ………………9分 则 4AB AC    ………………10分 （3）根据题意得：因为 π= 3 A ， 所以△ABC的三个内角均小于 120°， 从而费马点 P在△ABC的内部. 设 PBA   ， 则 60 60PAB PAC PCA          ， ， ， 45 60   ……………12分 在△APB和△APC中，分别由正弦定理得: sin sinsin(60 ) sin(60 ) PB PA PC PA         ， 两式相除得： 2 2 2 sin (60 ) 3 1 1( ) 2 tan 2sin PB PC         ………………14分 因为 45 60  ，所以 3 11 tan 3 1 3 tan      ， ………………15分 则 PB PC 的取值范围是 3( 1 ) 2 0， ………………17分