精品解析：河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 4. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ） A. 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341 7. 对于任意两个正数，记曲线与直线及轴围成的曲边梯形的面积为，并约定，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.若，则围成的曲边梯形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于递减等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 10. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B C. D. 11. 已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表： 去海南旅游 去厦门旅游 合计 老年人 2m 3m 5m 中年人 3m 2m 5m 合计 5m 5m 10m 若依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数的最小值为_____________． 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 13. 已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________. 14. 墙上悬挂有3串灯笼，分别为宫灯、纱灯、吊灯，每串灯笼个数分别为1,2,3，现将灯笼按照从下往上的顺序逐一取下，从所有取法中任选一种，则选中纱灯最先全部取下的概率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 函数，其中.且. （1）若，求a的值； （2）若，求不等式的解集. 16. 某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入.该企业连续年来科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下： 科技投入 收益 根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表： 其中，. （1）（i）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）； （ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中） （2）乙认为样本点分布在二次曲线周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好. 附：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计为，.相关指数. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得. （1）求双曲线的离心率； （2）若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求单调区间； （2）若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知化简得出，即可根据复数的几何意义得出答案. 【详解】由， 可知复数在复平面内所对应的点为，该点位于第四象限． 故选：D． 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分析每个条件的等价条件，再根据充要条件的定义即可得解. 【详解】由得或 由，得且， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件， 故选：B． 3. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 【答案】D 【解析】 分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为. 故选：D. 4. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】的定义域为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，因为函数， 所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 故选：D. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 6. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ） A. 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得，再根据三段区间法即可求解. 【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，， 所以 . 故选：C. 7. 对于任意两个正数，记曲线与直线及轴围成的曲边梯形的面积为，并约定，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.若，则围成的曲边梯形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先将所求梯形面积化成两块梯形面积的和，然后根据已知条件化简可求得答案. 【详解】因为表示的是曲线与直线及轴围成的曲边梯形的面积，， 所以 因为， 所以. 故选：B. 8. 已知定义在上函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于递减等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式判断即可 【详解】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，A正确； B．当，时，为摆动数列，故B错误； C．当，时，数列为递减数列，故C正确； D．，当时，，此时，当时，，，故D错误． 故选：AC． 10. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可. 【详解】由题意，， 因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球， 所以,, 因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球， 所以, 第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，故A错误； 第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：， 第二次取得黑球的概率为， 第二次取得白球的概率为， 所以，故B正确； ，， 故，故C正确； ，，故D错误； 故选：BC. 11. 已知定义在上的可导函数满足，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，结合单调性即可判断. 【详解】因为，所以. 故构造函数，.则， 所以在上单调递增.由，得， 由的单调性可得当时，.当时，. A选项：，解得，A错误； B选项：，解得，B正确； C选项：，解得，C正确； D选项：，解得，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表： 去海南旅游 去厦门旅游 合计 老年人 2m 3m 5m 中年人 3m 2m 5m 合计 5m 5m 10m 若依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数的最小值为_____________． 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】 【解析】 【分析】由表中数据，根据独立性检验的解题思想，可得答案. 【详解】由题干数据即可得到：， 因为依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关， 故，又因为m为正整数，故， 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及周期性即可代入求解. 【详解】，故为上的奇函数， ，则， ，，为周期为4的周期函数， . 故答案为： 14. 墙上悬挂有3串灯笼，分别为宫灯、纱灯、吊灯，每串灯笼个数分别为1,2,3，现将灯笼按照从下往上的顺序逐一取下，从所有取法中任选一种，则选中纱灯最先全部取下的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知纱灯首先被全部取完分两种情况，纱灯2次取完或纱灯3次，4次取完，结合古典概型概率公式即得； 【详解】宫灯、纱灯、吊灯，每串灯笼个数分别为1,2,3，标号分别为宫灯，纱灯上到下吊灯上到下， 先取1有种情况；先取3有种情况；先取6有种情况； 所有取法有种， 由题可知纱灯2次取完的概率为， 纱灯3次取完(前2次中有1次取到吊灯)的概率为， 纱灯4次取完(前2次中有2次取到吊灯)的概率为， 所以纱灯先取完的概率为； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 函数，其中.且. （1）若，求a的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据结合定义域，求出a的值； （2）将代入，利用对数的性质化简不等式，结合定义域，求出不等式的解集． 【详解】（1）∵且，∴. ∵，∴，∴， 即， ∴，又， ∴. （2）∵，∴的定义域为，. 由，得，. 解得，即所求不等式的解集为. 【点睛】本题考查对数函数的应用，考查函数的定义域，考查对数的运算以及运用单调性解不等式，属于中档题． 16. 某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入.该企业连续年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下： 科技投入 收益 根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表： 其中，. （1）（i）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）； （ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中） （2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好. 附：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计为，.相关指数. 【答案】（1）（i）；（ii）至少要百万元；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好. 【解析】 【分析】（1）（i）计算出的值，作变换，令，可得出，利用最小二乘法公式结合参考数据可得出关于的回归方程，进一步可得出关于的回归方程； （ii）令，解出的取值范围，即可得解； （2）计算出甲模型的相关指数值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）（i）， 令，令，则， 根据最小二乘法公式可知：， 从而， 故回归方程为，也即； （ii）设，解得， 所以科技投入的费用至少要百万元. （2）因为，从而 即甲建立的回归模型拟合效果更好. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案. 【小问1详解】 证明：连接，，则， 在中，因为，则， 因为，，所以，， 所以，则， 又，、平面，所以平面 【小问2详解】 解：因为，为的中点，则，又平面， 以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，， ，，， ， 设平面法向量为，则，令，即， 设平面法向量为，则令，即， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 所以． 18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得. （1）求双曲线的离心率； （2）若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，代入双曲线方程得，再利用二倍角正切公式有，结合即可得到方程，解出即可. （2）代入得到双曲线具体方程，再设，根据正弦定理得，再作差结合三角恒等变换和三角函数值域即可求出其范围. 【小问1详解】 设，由对称性不妨设，由， 有，可得， 又由， 有 又由，有， 有， 又由，有， 又由，有，可得， 故双曲线的离心率为2. 【小问2详解】 由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标， 有，可得， 设，由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质， 可得， 又由，在中，由正弦定理，有， 有， 有 ， 由，有，有， 可得的取值范围为． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）单调递增区间是； （2）（i）（ii）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）对函数求导，构造函数并利用导数研究新函数的单调性与最值，研究导函数符号确定的单调区间； （2）（i）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围；（ii）将化为证，利用换元法将要证明的不等式进行转化，结合导数证明结论； 【小问1详解】 （1）当时且，则. 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，即，则在上单调递增， 故的单调递增区间是，无单调递减区间. 【小问2详解】 （i）∵的定义域为，， 若有两个极值点，且， ∴的两个根为， 且， 则与有两个交点， 令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，， 且，所以， 要使与有两个交点，则，即， 所以的取值范围是. （ii）∴，∴.∴， 要证：，即证：， 只需证. 令，. ∴在恒成立， ∴在为增函数，∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$