期末复习讲义02：导数研究单调性【10个题型归纳】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义02：导数研究单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求不含参数的函数的单调性】 【练方法】 方法技巧 1求定义域求导函数 2解得单调递增区间解得单调递减区间 公式结论 1单调递增 2单调递减 （25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，再由导数可得到函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 根据导数与函数单调性的关系，令 ， 整理得，解得， 因此函数的单调递增区间为. （25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　）经典例题2例题 A．和 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， ， 由，解得， 函数的单调递增区间为． （25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数的定义域为，则， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． （2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. （25-26高二下·北京·期中）函数的单调递增区间为___________，单调递减区间为___________．小试牛刀3 【答案】 ； 和. 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】因为分母不为零，得函数定义域为. 根据分式求导法则得，其中，（）， 当时，，即，故单调递增区间为； 当时，，结合定义域得或 ； 即单调递增区间为；单调递减区间为和. 【题型2：含参数函数的单调性分析】 【练方法】 方法技巧 1求导后因式分解导函数按参数分类讨论根的大小根与定义域边界的位置 2分情况解写出对应单调区间 公式结论 1函数单调递增 2函数单调递减 （25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数．经典例题1例题 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，，可得， 则，且，即切线的斜率为，切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由函数，其定义域为，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，可得， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数．经典例题2例题 (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）根据导数的几何意义，可求出切点横坐标，再代入原函数，求出切点坐标，最后代入切线方程求出的值； （2）先求导，整理可得，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 由切线方程为，则，即，解得， 所以，则切点坐标为， 代入切线方程得，则． （2）由，则， 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2026·云南·模拟预测）已知函数．小试牛刀1 (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. （25-26高二下·北京·期中）已知函数，其中.小试牛刀2 (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间是和；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和. 【分析】（1）依题意利用可求的值； （2）求导，分，，讨论导函数的符号，确定函数的单调递增区间. 【详解】（1）由 求导得， 依题意 ，解得. （2）定义域是， ①当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和； ②当时，，则的单调递增区间是； ③当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和. （25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数．小试牛刀3 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【题型3：由函数在区间上单调递增/递减求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1在区间单调递增在上恒成立 2在区间单调递减在上恒成立 3转化为恒成立求参数分离参数或二次函数根分布求解 公式结论 1区间递增恒成立 2区间递减恒成立 （25-26高二下·四川成都·期末）若函数在是增函数，则的取值范围是__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】将“函数在是增函数”转化为“在上恒成立”，分离参数，并利用基本不等式可得的取值范围. 【详解】函数的定义域为， . 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以 ，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即. 故的取值范围是. （25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. （25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】求导得，再分三种情况，利用导数得到单调区间，结合题意求解． 【详解】． 当时，在上单调递增，符合题意． 当时，令，解得或， 所以在和上单调递增，符合题意． 当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意． 故的取值范围为． （25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知函数为减函数，则的取值范围是______．小试牛刀2 【答案】 【分析】由题可得在R上恒成立，据此可得答案. 【详解】由题设可得在上恒成立，则. ， 当且仅当时取等号，则. （25-26高二下·江苏南通·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用函数单调性与导数的关系，将问题转化为导函数非负恒成立，再通过分离参数转化为求新函数的最小值，最后利用导数求函数的极值与最值，确定参数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，则在上恒成立. 求导得，故对任意恒成立， 即在上恒成立. 令，，则. 求导得，令，解得（）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在处取得最小值，. 故，即的取值范围是. 【题型4：存在增区间/减区间】 【练方法】 方法技巧 1存在增区间在定义域内有解 2存在减区间在定义域内有解 3转化为不等式有解求参数范围 公式结论 1存在递增区间 2存在递减区间 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   )经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. （25-26高二下·四川成都·期末）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解； 在上有解，即. 令，； 在上单调递减， 时，取得最大值； ，即实数的取值范围为. （25-26高二下·河南周口·期末）已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． （25-26高二下·四川成都·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数存在单调递增区间转化为导数大于0在给定区间内有解，分离参数后求解对应函数的值域即可得到的取值范围． 【详解】求导得，定义域为， 因为在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解， 设，，求导得在上恒成立， 因此在上单调递增， 所以，即只需满足即可． （25-26高二下·重庆·期中）已知，函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导，将函数在上存在递减区间转化为导数小于0有解，分离参数得，构造函数并求导判断其在区间内单调递增，进而得到的取值范围. 【详解】由题意，，定义域为. 求导得. 函数在上存在单调递减区间，即存在，使得成立. 即在上有解，整理得. 令，， 求导得. 当时，，故，在上单调递增. 当时，，所以. 因此，结合条件，得实数的取值范围是. 【题型5：由变量构造新函数的单调性求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1移项构造单变量辅助函数 2将题干条件转化为在区间恒增/恒减 3利用或恒成立求参数 公式结论 构造 1恒增恒成立 2恒减恒成立 （2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________．经典例题1例题 【答案】 【详解】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 （25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________．经典例题2例题 【答案】 【分析】不妨设，将不等式化成，构造函数，可得其为上的增函数，即对所有恒成立，利用判别式即可求得参数范围. 【详解】因为，且，都有， 不妨设，则可得，即， 因此可得在上单调递增， 所以对所有恒成立， 由，解得， 故实数m的取值范围为． （25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.小试牛刀1 【答案】 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】由，得，构造函数 ，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值. 【详解】由，得， 则，即 ， 有，令 ， 所以，令， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知函数，是否存在实数，使得，都有？______（填“是”或“否”），若存在，则的取值范围是______．小试牛刀3 【答案】 是 【分析】将不等式等价转化为恒成立，构造函数，利用其导数恒为非负数，列不等式，分离变量后利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】不妨设，则， 假设存在实数，使得，都有， 则恒成立， 即恒成立，（*） 设，即（*）等价于在上单调递增， 等价于在上恒成立，等价于在上恒成立， 等价于在上恒成立， ，当且仅当取等号， ，的取值范围为． 故答案为：是，． 【题型6：由变量构造函数比较大小】 【练方法】 方法技巧 1统一变量构造同结构辅助函数 2求导判断单调性 3自变量大则函数值大（递增）自变量大则函数值小（递减） 公式结论 若在区间单调递增 若在区间单调递减 （2026·河北保定·三模）已知实数x，y满足 ，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，判断其奇偶性并利用导数研究其单调性，然后利用反例法判断ABD，利用对数函数的单调性判断C. 【详解】因为，所以， 对于函数，定义域为R，且， 所以函数为偶函数， ，令，则， 所以单调递减，又 所以当时，，故在上递减； 当时，，故在上递增. 由即得，，所以，即， 对于A，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于B，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于C，因为，所以，根据在定义域上单调递增， 所以，正确； 对于D，当时，满足，此时， 故不成立，错误. （25-26高二下·河南·阶段检测）若、，且，则下列各式一定成立的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，，其中，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出，再结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，据此可判断D选项. 【详解】因为，则，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，即当时，，即， 因为，则，所以， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 由题意可知，，故， 因为，，故， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，且， 因为，则， 所以， 又因为，所以，故，D错. （25-26高二下·全国·期末）已知为自然对数的底数，均为大于1的实数，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形成，然后构造函数，利用的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得，，，即. 设，可得. ，当时，，在单调递增. ，，又，即. ，即. （25-26高二下·山东菏泽·期中）（多选）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先构造函数根据单调性即可判断A;令，即可判断B;令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C;令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合; 当且时，，故，所以，A正确. 令，则， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误; 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确; 令， 则， 令，则，即在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即，故D正确. （25-26高三下·云南昭通·期中）已知，且，，则与的大小关系是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件确定，再构造函数，利用函数的单调性，确定函数的单调性，即可判断选项. 【详解】因为，，，由，可得，且， 所以， 设，为增函数，因为，所以， 因为，且为增函数，所以， 同理，设，因为，且为增函数，所以， 再由条件可知，. 令，设，则， 当时，，单调递增， 则在上单调递增， 故，即 ，解得：，故A正确. 【题型7：由数值特征构造函数比较大小】 【练方法】 方法技巧 1观察式子结构统一常数为同形式函数值 2构造对应辅助函数求导判定单调性 3比较自变量大小推出函数值大小 公式结论 单调递增 单调递减 （25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合的大小关系，即可比较的大小. 【详解】设函数，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 而，，， 又因为，且在上单调递减，所以， 即. （2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，比较出，再利用中间值“2”比较的大小. 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. （25-26高三·全国·一轮复习）已知，，，则，，的大小关系为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析单调性得到的大小关系，从而得到的大小关系. 【详解】可知， 设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数， 当时，， 所以在上单调递减，可得 ， ，所以． （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对适当变形，构造函数，求导分析函数的单调性，进而判断的大小. 【详解】已知，，， 令，有， 当时，，则在上单调递减. 因为，所以，即. （25-26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小. 【详解】因为，，， 考虑构造函数，求导得，， 当，当 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以，，，而, 显然，, 所以. 【题型8：由导数不等式常见放缩比较大小】 【练方法】 方法技巧 1熟记等基础放缩不等式 2结合单调性放缩后统一结构再构造函数比较 公式结论 1等号 2等号 3 （2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性比较，构造函数，由导数得到函数单调性，然后比较，从而求得结果. 【详解】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. （25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件和作差法比较大小，构造函数，根据函数导数判定函数单调性，进而判定函数值的正负，判定各数值的大小. 【详解】由题可知， 设函数，则， 在上，即函数在单调递减， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 设函数，则， 在上，即函数在单调递增， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 综上所述，可知 （25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. （2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. （25-26高二下·广东茂名·期中）已知，，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，构造函数利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，即可得解. 【详解】令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 即，所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，即，所以， 所以，即， 综上所述，. 【题型9：解抽象不等式】 【练方法】 方法技巧 1利用已知导数条件判定抽象函数单调性 2抽象不等式转化为 3结合单调性去掉同时约束定义域 公式结论 单调递增 单调递减 （2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 （2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________．经典例题2例题 【答案】 【分析】先对函数求导，分析出它在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称，再利用对称性，将 转化为自变量到对称轴的距离关系 ，最后解绝对值不等式得到的取值范围即可. 【详解】因为 所以 由于 ，则 恒成立，因此： 当 时，，故 ， 在 上单调递减， 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上， 由函数性质可知：若，则， 令 ，，代入得：， 即：，所以， 化简得，所以. 所以 的取值范围为. （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知函数，若，则实数的取值范围为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】先求导判断函数在上单调递增，再利用奇函数性质将不等式转化为，解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】函数的定义域为，，即是奇函数， 求导得，∴在上单调递增， 由，得，∴，解得. （25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为_____．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，得到是定义在上的单调递增的奇函数，转化为，结合单调性，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以是定义在上的单调递增的奇函数， 因为，可得，则，解得， 所以不等式的解集为． （2026·辽宁盘锦·一模）已知函数，则关于t的不等式的解集为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】，得， 故为定义在上的奇函数. 所以可写为， 即，根据奇函数易得. 函数的导数为， 而，所以， 故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得. 【题型10：由导数的运算法则构造函数比较大小】 【练方法】 方法技巧 1已知含的不等式结合求导四则运算法则构造辅助函数 2构造或 3构造 4判定单调性后比较函数值 公式结论 1 2 3 4 （2026·云南·模拟预测）定义域为R的函数，满足，则关于x的不等式的解集为______．经典例题1例题 【答案】 【详解】令，求导得， 又，所以，所以在R上单调递增. 由，得， 所以，解得， 所以的解集为. （25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______．经典例题2例题 【答案】 【分析】构造，求导，再利用函数单调性解不等式即可． 【详解】构造，， ∴在上单调递增，又， 则不等式可转化为，即, 故，故解集为． （25-26高二下·江苏无锡·期中）函数是定义在R上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】构造函数，根据导函数判断其单调性，进而结合奇偶性得出的正负性即可求解不等式. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，所以， 故当时，，； 当时，，； 因为函数是定义在R上的奇函数， 故当、时；当、时；， 等价于或，得或， 故不等式的解集为. （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】构造，问题化为求的解集，利用导数研究单调性，进而有求解集. 【详解】由题设，令，不等式化为， 因为，所以，所以在R上单调递减， 又，则，故不等式的解集为. （2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示）小试牛刀3 【答案】 【分析】由，可得在R上单调递增，又注意到原不等式等价于，据此可得答案. 【详解】因为，构造函数， 因为，所以函数是增函数， 因为，所以， 因为，所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义02：导数研究单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求不含参数的函数的单调性】 【练方法】 方法技巧 1求定义域求导函数 2解得单调递增区间解得单调递减区间 公式结论 1单调递增 2单调递减 （25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的单调递增区间为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·广东·期末）函数的单调递增区间为（　　）经典例题2例题 A．和 B． C． D． （25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______．小试牛刀2 （25-26高二下·北京·期中）函数的单调递增区间为___________，单调递减区间为___________．小试牛刀3 【题型2：含参数函数的单调性分析】 【练方法】 方法技巧 1求导后因式分解导函数按参数分类讨论根的大小根与定义域边界的位置 2分情况解写出对应单调区间 公式结论 1函数单调递增 2函数单调递减 （25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数．经典例题1例题 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数．经典例题2例题 (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． （2026·云南·模拟预测）已知函数．小试牛刀1 (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． （25-26高二下·北京·期中）已知函数，其中.小试牛刀2 (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)求的单调递增区间. （25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数．小试牛刀3 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【题型3：由函数在区间上单调递增/递减求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1在区间单调递增在上恒成立 2在区间单调递减在上恒成立 3转化为恒成立求参数分离参数或二次函数根分布求解 公式结论 1区间递增恒成立 2区间递减恒成立 （25-26高二下·四川成都·期末）若函数在是增函数，则的取值范围是__________．经典例题1例题 （25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．小试牛刀1 （25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知函数为减函数，则的取值范围是______．小试牛刀2 （25-26高二下·江苏南通·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：存在增区间/减区间】 【练方法】 方法技巧 1存在增区间在定义域内有解 2存在减区间在定义域内有解 3转化为不等式有解求参数范围 公式结论 1存在递增区间 2存在递减区间 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   )经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·四川成都·期末）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·河南周口·期末）已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·四川成都·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·重庆·期中）已知，函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由变量构造新函数的单调性求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1移项构造单变量辅助函数 2将题干条件转化为在区间恒增/恒减 3利用或恒成立求参数 公式结论 构造 1恒增恒成立 2恒减恒成立 （2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________．经典例题1例题 （25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________．经典例题2例题 （25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.小试牛刀1 （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为_____.小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）已知函数，是否存在实数，使得，都有？______（填“是”或“否”），若存在，则的取值范围是______．小试牛刀3 【题型6：由变量构造函数比较大小】 【练方法】 方法技巧 1统一变量构造同结构辅助函数 2求导判断单调性 3自变量大则函数值大（递增）自变量大则函数值小（递减） 公式结论 若在区间单调递增 若在区间单调递减 （2026·河北保定·三模）已知实数x，y满足 ，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·河南·阶段检测）若、，且，则下列各式一定成立的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·全国·期末）已知为自然对数的底数，均为大于1的实数，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·山东菏泽·期中）（多选）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三下·云南昭通·期中）已知，且，，则与的大小关系是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：由数值特征构造函数比较大小】 【练方法】 方法技巧 1观察式子结构统一常数为同形式函数值 2构造对应辅助函数求导判定单调性 3比较自变量大小推出函数值大小 公式结论 单调递增 单调递减 （25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三·全国·一轮复习）已知，，，则，，的大小关系为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：由导数不等式常见放缩比较大小】 【练方法】 方法技巧 1熟记等基础放缩不等式 2结合单调性放缩后统一结构再构造函数比较 公式结论 1等号 2等号 3 （2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·广东茂名·期中）已知，，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：解抽象不等式】 【练方法】 方法技巧 1利用已知导数条件判定抽象函数单调性 2抽象不等式转化为 3结合单调性去掉同时约束定义域 公式结论 单调递增 单调递减 （2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________.经典例题1例题 （2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________．经典例题2例题 （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知函数，若，则实数的取值范围为______.小试牛刀1 （25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为_____．小试牛刀2 （2026·辽宁盘锦·一模）已知函数，则关于t的不等式的解集为______.小试牛刀3 【题型10：由导数的运算法则构造函数比较大小】 【练方法】 方法技巧 1已知含的不等式结合求导四则运算法则构造辅助函数 2构造或 3构造 4判定单调性后比较函数值 公式结论 1 2 3 4 （2026·云南·模拟预测）定义域为R的函数，满足，则关于x的不等式的解集为______．经典例题1例题 （25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______．经典例题2例题 （25-26高二下·江苏无锡·期中）函数是定义在R上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为________．小试牛刀1 （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______．小试牛刀2 （2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示）小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $