期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 （1）存在性（能成立）基本转化 设函数定义域为区间 。 1. 等价条件： 1. 等价条件： （2）双函数在同一区间的能成立问题 构造函数 ，转化为： （3）双变量不同区间能成立等式 若 ，则两个函数的值域有公共交集。 （4）恒成立 vs 能成立对比 · 恒成立（任意 ）：控制另一边最值； · 能成立（存在 ）：只需要单侧最值满足不等式。 二、通用解题原理 1. 识别命题符号：看到“存在、至少有一个、能成立”，确定为存在性问题； 1. 构造目标函数：单函数直接研究；双函数作差构造新函数； 1. 求导分析单调性：求导，找到极值点，讨论极值点与定义域的位置； 1. 求出函数在指定闭区间上的最大值或最小值； 1. 列出最值不等式，解出参数取值范围； 1. 含参数时，按照导数零点在区间内、区间左侧、区间右侧分三类讨论。 三、细分题型解题逻辑 题型 1：单变量不等式能成立 题型 2：同区间双函数不等式能成立 令 ，只需要整个区间上 的最大值大于等于 0。 题型 3：双区间存在性等式 分别求出 值域、 值域，两值域交集非空。 题型 4：能成立 + 恒成立综合 等价于：。 例题分析 例1．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【答案】(1)极小值0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 例2．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【分析】（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性分类讨论最值； （3）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 例3．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）解：由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 例4．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 变式训练 变式1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段检测）已知函数a>0且，. (1)若函数与在处有相同的切线，求实数b的值； (2)当，时，求证：； (3)当时，记，若存在，使得是自然对数的底数.），求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别求出两个函数得导数，根据相同切线，则有相同得斜率和根即可求得；（2）构造函数，求导根据单调性和最值即可比较大小；（3）对进行分类讨论，构造函数求导根据最值来说明. 【详解】（1）函数 则， 因为函数与在处有相同的切线，则在有相同的函数值， 即，，解得. （2）当时，， 构造函数， ，当时，，当x≥0，， 则，所以在上单调递增，且，所以； 当时，，当，，， ，所以； （3）当时，， 求导得：，当时，，在上单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，，， ，， 令，则，所以在上单调递增，，即，由， 可得， 令，，对求导得，， 所以在上单调递增， 又，所以； 当时，，在上单调递增，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，，， ，，令，求导得，所以在上单调递减，，即，由，可得，令，，对求导得，，所以在上单调递减，又，所以，综上，实数的取值范围是 变式2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)是否存在实数，使得为函数的极小值点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)求证：当时，图象上总存在关于原点对称的两点. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，若存在实数，使得为函数的极小值点，得，再验证的单调性，即可得结论； （2）问题化为，满足，构造，利用导数研究其值域，并证明是值域的子集，即可证结论. 【详解】（1）由，若存在实数，使得为函数的极小值点， 此时，可得， 当时，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，故在定义域内单调递减，与假设矛盾， 所以不存在实数，使得为函数的极小值点. （2）存在关于原点对称的两点，即，满足， 所以，设且定义域为R， 且，所以为偶函数， 不妨只考虑区间，则 ，（注意且）， 设，显然时， 当，则， 由且，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，即在上单调递减，则， 综上，在上，在上； 设，则， 所以在、都单调递增，，则在上， 由，且，则，， 所以，在上，在上， 综上，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 当，且恒成立，又， 所以， 所以是值域的子集， 故，图象上总存在关于原点对称的两点. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为，满足得，进而构造函数研究其值域包含为关键. 变式3．（25-26高二下·广东湛江·月考）已知函数（，） (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）函数的定义域为，当时，，分和，解不等式，求出定函数的单调区间； （2）当时，，分，，，讨论确定导数的正负以确定函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，； ； 故当时，在上恒成立； 故函数在上是减函数， 当，当时，； 当时，； 故在上是减函数，在上是增函数； 综上，当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，， ， 当时，，故在上是减函数， 故存在，使得成立， 只需，解得， 当，令得，令得， 故在上是减函数，在上是增函数， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 要想存在，使得成立，只需， 解得， 当时，则在上单调递减，在处取得最小值， ，令，无解， 故实数a的取值范围为. 变式4．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义即可得解； （2）先利用导数分析的单调性，再构造，将问题转化为，利用的单调性，分析得，从而得解. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程； （2）因为，且， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增； 不妨令， 当，即时，在单调递增，在单调递减， 且， 所以，此时符合题意； 当，即时，在和单调递增，在单调递减， 显然在处取得极小值，此时极小值为， 而， 所以， 要使，则必有，解得，故， 综上:的取值范围是. 【点睛】结论点睛： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． （4），，． 实战演练 1．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知函数． (1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围； (2)已知，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到不是方程的根，参变分离得到，构造，求导得到函数单调性，画出函数图象，数形结合得到答案； （2）转化为在上有解，构造，，求导得到函数单调性，得到，求出答案． 【详解】（1）令，得， 显然不是方程的根， 故，， 令，则， 所以当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的大致图象如下所示，观察可知，， 故实数a的取值范围为． . （2）由题意，不等式在上有解，显然不是该不等式的解， 所以不等式在上有解， 设，，则． 设，，则． 所以在单调递减，， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 2．（25-26高二下·福建福州·月考）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 （1)存在性（能成立）基本转化 设函数定义域为区间D。 1.3x∈D,fx)≥a 等价条件：f(x)max≥a 2.x∈D,fx)≤a 等价条件：f(x)min≤a (2)双函数在同一区间的能成立问题 x∈D,f(x)上g(x)构造函数h(x)=fx-gx小转化为： h(x)max≥0 (3)双变量不同区间能成立等式 若3x1∈D1,3x2∈D2,f(X1)=gx2),则两个函数的值域有公共交集。 (4)恒成立vs能成立对比 ·恒成立（任意V):控制另一边最值： 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 ·能成立（存在）：只需要单侧最值满足不等式。 二、通用解题原理 1.识别命题符号：看到“存在、至少有一个、能成立”，确定为存在性问题： 2.构造目标函数：单函数直接研究；双函数作差构造新函数： 3.求导分析单调性：求导，找到极值点，讨论极值点与定义域的位置： 4.求出函数在指定闭区间上的最大值或最小值： 5.列出最值不等式，解出参数取值范围： 6.含参数时，按照导数零点在区间内、区间左侧、区间右侧分三类讨论。 三、细分题型解题逻辑 题型1：单变量不等式能成立 x∈[m,n],f(x)≥k&fmax≥k 3x∈[m,n],f(x)≤k&~fmin≤k 题型2：同区间双函数不等式能成立 3x∈D,f(x)≥gx)令h(x)=f(x)-g(x)只需要整个区间上hx)的最大值大于等于0 题型3：双区间存在性等式 x1∈A,3x∈B,f(x)=gx分别求出y=f(x)值域、y=g(X)值域，两值域交集非空。 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 题型4：能成立+恒成立综合 3X,YX2,f（X≥gX,等价于：fxnm≥g(x)na 例题分析 例1.（2526高二下云南文山阶段检测)已知函数/(=e--1,8(d)=lnr-x )求的极值： ②考()=)8（冈在，）上单调递增，求实数“的取值范围： (3)当a<0时，若对任意的 .sw ,使得f()5g(),求实数a的取值范围。 例2.(2526高二下天津静海期中)已知函数/()=ar+lx,aeR 1)讨论四的单调性， (②若函数（四在*G(Qd上的最大值为3，求“的值： e)设8)=r-2x+2,若c0w3cD.,使得()K8(),求“的取值园. 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 例3.(2s2⅓离=下上海期中)已知数)=-2ar子，g)-瓜-(a+nr是，共中aER Q①若x=2是函数四的极值点，求实数“的值： ②当“>0时，讨论函数3（闪的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点： (3)若存在x∈[。，e](e为自然对数的底)，使得不等式f(x)sg(x)成立，求实数a的取值范围. 例4，（2425商二下河南郑州期末)己知函数f=ar2-a+2r+haeR,8)=x-子 (1)求函数(x)的单调区间： ②若∈0，+w),6-2-,使得)8(），求实数“的取值范围 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 变式训练 变式1，(2425高=下江苏盐城阶段检测)已知函数()a-b8)=-+h0且a1bcR ①若商数/()与8(0在x=0处有相同的切线，求实数b的值； 2当6=1，x≥0时，求证：f)≥8)， 当b=0时，记=f)g,若存在e-,使得(：)2e-l 是自然对数的底数)，求 实数a的取值范围. f(x)=ae*+x2-2x+1(aER) 变式2.(2425高二上浙江绍兴·期末)已知函数 (1)是否存在实数a,使得x=2为函数f(x)的极小值点？若存在，求a的值：若不存在，请说明理由： 求证，当4时，)图象上总存在关于原点对称的网 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 变式3.(25-26高二下广东湛江·月考)已知函数f()=anr+ x（a,b≠0，a,beR) )当b=1时，求函数)的单调区间； (②当b=0时，若存在∈(0，d使得f)k0成 成立，求实数a的取值范围 变式4。(2026-四川泸州模拟预测)已知函数/()=2r-a+2(a>0) Q求曲线'=/在点0，/(o》处的切线方程； ②若3数∈，(P3,求实数a的取值范围。 6 期末复习：利用导数研究能成立问题复习讲义 实战演练 f(x)=e"-ax2 1.(25-26高二下河南南阳·月考)已知函数 (1)若函数f(x)仅有1个零点，求实数a的取值范围： x∈[0,1f(x)22 (2)已知 求实数a的取值范围. 2.(2s26高二下福建福州月考)已知函数f()=hx+2mx(a∈R) Q)当a=时，求函数)的单调区间： ②若8（四=f2×,不等式3(21在，+）上存在实数解，求实数“的取值范围。 个