第4讲：导数研究函数的极值【7个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦“导数研究函数的极值”核心知识点，系统梳理从极值定义、导函数图像与极值关系，到求函数极值与极值点、由极值求参数，再到含参函数极值讨论及极值点偏移的进阶内容，构建从基础到能力提升的递进学习支架。 该资料以“知识梳理+解题思路+名师点睛+例题练习”为特色，通过导函数图像分析培养数学眼光（几何直观），借助分类讨论发展数学思维（推理能力），以规范步骤强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后检测助力学生巩固，有效查漏补缺。

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第4讲：导数研究函数的极值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A ·基础达标题型】 【题型1：函数的极值与导函数图像的关系】 【练方法】 知识梳理 极值定义：若附近左侧右侧则为极大值点 若附近左侧右侧则为极小值点 导函数图像与极值的关系：导函数图像穿过轴的点对应原函数极值点穿过方向决定极值类型 解题思路 1.观察导函数图像找到与轴的交点 2.分析每个交点左右两侧的符号变化 3.符号由正变负→对应原函数极大值点 4.符号由负变正→对应原函数极小值点 5.符号不变→不是极值点 名师点睛 导函数图像在轴上方对应原函数单调递增下方对应单调递减 极值点一定是导函数的变号零点不是驻点（导数为0的点）就一定是极值点 注意导函数图像与轴相切的情况此时不是极值点 【多选题】（23-24高二下·四川广安·月考）如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 （25-26高二下·全国·课堂例题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ）经典例题2例题 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 （25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀1 A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【多选题】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ）小试牛刀2 A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【多选题】（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ）小试牛刀3 A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【题型2：求已知函数的极值与极值点】 【练方法】 知识梳理 核心步骤：求导→求导函数零点→分析零点左右导数符号→确定极值类型→计算极值 极值是函数值极值点是自变量的值两者要区分清楚 解题思路 1.确定函数定义域 2.求导并化简 3.解方程得到驻点 4.列表分析驻点左右的符号确定单调区间 5.根据符号变化判断极大值/极小值并计算对应函数值 6.若导数不存在的点也要单独分析是否为极值点 名师点睛 定义域优先忘记定义域会导致极值点判断错误 列表法是最清晰的分析方式避免符号判断混乱 极值是局部概念可能有多个极大值或极小值极大值不一定大于极小值 （25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数．经典例题1例题 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． （25-26高二下·湖南长沙·开学考试）已知定义在上的函数经典例题2例题 (1)若，，求出曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. （25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的极值点和极值．小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． （25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直.小试牛刀2 (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. （25-26高三上·江西宜春·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【题型3：由函数的极值极值点求参数】 【练方法】 知识梳理 已知极值点或极值利用极值点处导数为0、极值点处函数值建立方程求解参数 核心方程：（极值点必要条件）（已知极值） 解题思路 1.求导 2.根据极值点条件列出方程 3.若已知极值再列出方程 4.联立方程求解参数 5.检验参数是否满足极值点条件（避免增根） 名师点睛 是极值点的必要不充分条件求出参数后必须检验导数符号变化 若已知是极大值/极小值可进一步限定参数范围 多个极值点时要分别对应方程避免混淆 （2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．1 D．3 （25-26高二下·全国·课后作业）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________．经典例题2例题 （2026·广东广州·一模）若是函数的极值点，则______．小试牛刀1 （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ）小试牛刀2 A． B．1 C．3 D．1或3 （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ）小试牛刀3 A．9或1 B．3 C．2 D．1 【B·能力提升题型】 【题型1：含参数函数的极值点讨论】 【练方法】 知识梳理 核心：含参函数求导后导数零点的存在性、个数、大小由参数决定需分类讨论 讨论顺序：先讨论导数是否存在零点再讨论零点个数最后讨论零点大小关系 解题思路 1.求定义域求导（为参数） 2.分析导数零点的情况：是否有零点有几个零点零点是否在定义域内 3.按参数范围分类讨论： 导数无零点→函数单调无极值 导数有一个零点→分析零点左右符号变化确定是否为极值点 导数有多个零点→比较零点大小分区间讨论符号变化 4.汇总每种参数范围下的极值点情况 名师点睛 分类讨论要做到不重不漏通常按导数最高次项系数、判别式、零点大小顺序讨论 注意参数对定义域的影响若参数改变定义域需先确定定义域 讨论时要结合单调性避免只看零点个数 （25-26高二下·全国·课堂例题）若函数，求函数的极值．经典例题1例题 （2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值.经典例题2例题 （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.小试牛刀2 (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.小试牛刀3 (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 【题型2：由函数的极值极值点求参数范围】 【练方法】 知识梳理 已知极值存在、极值满足某种条件（如极值大于0、极值为正）或极值点个数求参数范围 核心：将极值条件转化为关于参数的不等式结合单调性求解 解题思路 1.求导分析极值点存在的条件（导数有零点且变号） 2.表示出极值（或极值点）代入已知条件得到关于参数的不等式 3.结合单调性、定义域求解不等式 4.检验参数边界是否满足条件 名师点睛 极值存在的条件是导数有变号零点不是有零点就有极值 若已知极值大小要注意极大值和极小值的区别避免符号错误 含参讨论时要先确定极值点的个数再分别处理每种情况 （2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________.经典例题1例题 （25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，．经典例题2例题 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． （25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． （25-26高三下·重庆·开学考试）已知函数.小试牛刀3 (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，求； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【题型3：由函数的极值点个数求参数范围】 【练方法】 知识梳理 核心：极值点个数等价于导函数变号零点的个数 转化为：导函数在定义域内的变号零点个数问题通常转化为函数图像交点问题 解题思路 1.求导令 2.分离参数或构造函数转化为与的交点个数问题 3.分析的单调性、极值、最值画出图像 4.根据交点个数要求确定参数的范围 5.检验边界情况（如相切时是否为变号零点） 名师点睛 优先分离参数避免复杂的含参讨论 导函数的零点不一定都是极值点必须是变号零点所以要分析零点左右导数符号 若导函数是二次函数可直接用判别式分析零点个数再结合单调性判断是否变号 （2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________.经典例题1例题 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．经典例题2例题 （2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. （25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.小试牛刀2 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.小试牛刀3 【题型4：极值点偏移问题】 【练方法】 知识梳理 定义：函数有两个极值点满足但极值点称为极值点偏移 常见结论：证明（左偏）或（右偏） 核心方法：对称构造法、比值换元法、对数平均不等式 解题思路 对称构造法 1.确定极值点 2.构造对称函数 3.求导分析的单调性 4.比较与的大小结合单调性得到与的关系 5.转化为与的大小关系 比值换元法 1.令（）用表示 2.将所证不等式转化为关于的单变量不等式 3.构造函数求导利用单调性证明 名师点睛 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧单调性不对称 对称构造法是最通用的方法适用于大多数情况 比值换元法需要同号且能表示为比例关系 对数平均不等式可快速解决相关的极值点偏移问题但大题需证明 （25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ．经典例题1例题 (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． （23-24高二下·北京西城·期中）已知函数．经典例题2例题 (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． （23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点.小试牛刀1 (1)求实数的取值范围； (2)证明：. （23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）.小试牛刀2 (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. （23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数，.小试牛刀3 (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河南·月考）函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）正项等比数列中的，是函数的极值点，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 4．（25-26高二下·全国·课后作业）函数的极值情况是（   ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 5．（22-23高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 6．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知函数的极小值点为，且点落在同一条直线上，则该直线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26高三上·福建三明·开学考试）已知是函数的一个极值点，则实数______. 8．（25-26高三上·四川遂宁·月考）已知函数，则函数的极大值点为___________． 9．（25-26高三上·云南·月考）已知是函数的一个极值点，则______. 三、解答题 10．（25-26高三上·全国·月考）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 11．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 12．（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 13．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)若函数的极大值点是，求的值； (2)若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 14．（2026高三·北京·专题练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 15．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数. (1)当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，，其中.证明：在区间上存在唯一的极值点. 16．（25-26高三上·山东青岛·期末）设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：． 附： 17．（2026高三·上海·专题练习）已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 18．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第4讲：导数研究函数的极值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A ·基础达标题型】 【题型1：函数的极值与导函数图像的关系】 【练方法】 知识梳理 极值定义：若附近左侧右侧则为极大值点 若附近左侧右侧则为极小值点 导函数图像与极值的关系：导函数图像穿过轴的点对应原函数极值点穿过方向决定极值类型 解题思路 1.观察导函数图像找到与轴的交点 2.分析每个交点左右两侧的符号变化 3.符号由正变负→对应原函数极大值点 4.符号由负变正→对应原函数极小值点 5.符号不变→不是极值点 名师点睛 导函数图像在轴上方对应原函数单调递增下方对应单调递减 极值点一定是导函数的变号零点不是驻点（导数为0的点）就一定是极值点 注意导函数图像与轴相切的情况此时不是极值点 【多选题】（23-24高二下·四川广安·月考）如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD （25-26高二下·全国·课堂例题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ）经典例题2例题 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号，确定函数的单调区间，再由单调性分析得到函数的极值点. 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. （25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀1 A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【答案】D 【分析】根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可. 【详解】对A，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，故A错误； 对B，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误； 对C，当时，此时单调递增，故C错误； 对D，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确. 故选：D. 【多选题】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ）小试牛刀2 A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 【多选题】（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ）小试牛刀3 A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【答案】BD 【分析】由导函数图象和极值的定义逐项判断. 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， 在，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 【题型2：求已知函数的极值与极值点】 【练方法】 知识梳理 核心步骤：求导→求导函数零点→分析零点左右导数符号→确定极值类型→计算极值 极值是函数值极值点是自变量的值两者要区分清楚 解题思路 1.确定函数定义域 2.求导并化简 3.解方程得到驻点 4.列表分析驻点左右的符号确定单调区间 5.根据符号变化判断极大值/极小值并计算对应函数值 6.若导数不存在的点也要单独分析是否为极值点 名师点睛 定义域优先忘记定义域会导致极值点判断错误 列表法是最清晰的分析方式避免符号判断混乱 极值是局部概念可能有多个极大值或极小值极大值不一定大于极小值 （25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数．经典例题1例题 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值. 【详解】（1）由题意知， 则 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为，由（1）知， 令，得或； 令，得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 易知的极大值为，极小值为． （25-26高二下·湖南长沙·开学考试）已知定义在上的函数经典例题2例题 (1)若，，求出曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，没有极大值 【分析】（1）通过导函数求值，导数值与切线斜率的关系求解； （2）通过导函数与函数单调性的关系、极值的定义求解. 【详解】（1），时，， 所以，，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为为增函数，令，解得， 在上符号为负，在上符号为正增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值为,没有极大值. （25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的极值点和极值．小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)极小值点3，极小值，极大值点，极大值． (2)极小值点1，极小值3，无极大值点，无极大值． (3)极小值点0，极小值，极大值点2，极大值． 【分析】（1）（2）（3）先求函数的定义域，再对函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，即可求得函数的极值； 【详解】（1）的定义域为，则， 令，得． 当x变化时，变化情况如下表： x 3 + 0 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因此当时，有极大值，，当时，有极小值，， 故该函数的极小值点是3，极小值为；极大值点是，极大值为． （2）函数的定义域为， 则，令，得． 当x变化时，的变化情况如下表： x 1 0 + 递减 极小值3 递增 因此当时，有极小值，并且． 故该函数的极小值点是1，极小值为3；无极大值点，无极大值. （3）函数的定义域为R． 则．令，得或． 当x变化时，的变化情况如下表： x 0 2 0 + 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 由上表可以看出，当时，函数有极小值，且． 当时，函数有极大值，且， 故该函数的极小值点是0，极小值为0；极大值点是2，极大值为． （25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直.小试牛刀2 (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【分析】（1）由斜率乘积为，求得参数的取值； （2）求导后根据导函数的正负来确定原函数的增减区间； （3）由第二问的增减性结合极值定义求得极值. 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. （25-26高三上·江西宜春·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)的极小值为，无极大值 【分析】（1）求出、后可求切线方程； （2）求出函数的导数后讨论其符号可得函数的极值. 【详解】（1）当时，，，则， 则，， 故所求切线方程为，即. （2）当时，，，则， 令，得，故在区间上单调递增； 令，得，故在区间上单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 【题型3：由函数的极值极值点求参数】 【练方法】 知识梳理 已知极值点或极值利用极值点处导数为0、极值点处函数值建立方程求解参数 核心方程：（极值点必要条件）（已知极值） 解题思路 1.求导 2.根据极值点条件列出方程 3.若已知极值再列出方程 4.联立方程求解参数 5.检验参数是否满足极值点条件（避免增根） 名师点睛 是极值点的必要不充分条件求出参数后必须检验导数符号变化 若已知是极大值/极小值可进一步限定参数范围 多个极值点时要分别对应方程避免混淆 （2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求出． 【详解】函数求导得， 由题意知， 则，解得或， 当时，， 由 或；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值. 当时，， 由 或；由 . 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 满足条件的是． （25-26高二下·全国·课后作业）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________．经典例题2例题 【答案】 【分析】求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. （2026·广东广州·一模）若是函数的极值点，则______．小试牛刀1 【答案】 【分析】求导得解析式，根据条件，可得，即可求出a值，进而可得解析式，代入，即可得答案. 【详解】由题意， 因为是的极值点， 所以，解得， 则，所以. 故答案为： （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ）小试牛刀2 A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【分析】根据为的极值点，可得，求得的值，并检验是否是极小值点. 【详解】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ）小试牛刀3 A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 【B·能力提升题型】 【题型1：含参数函数的极值点讨论】 【练方法】 知识梳理 核心：含参函数求导后导数零点的存在性、个数、大小由参数决定需分类讨论 讨论顺序：先讨论导数是否存在零点再讨论零点个数最后讨论零点大小关系 解题思路 1.求定义域求导（为参数） 2.分析导数零点的情况：是否有零点有几个零点零点是否在定义域内 3.按参数范围分类讨论： 导数无零点→函数单调无极值 导数有一个零点→分析零点左右符号变化确定是否为极值点 导数有多个零点→比较零点大小分区间讨论符号变化 4.汇总每种参数范围下的极值点情况 名师点睛 分类讨论要做到不重不漏通常按导数最高次项系数、判别式、零点大小顺序讨论 注意参数对定义域的影响若参数改变定义域需先确定定义域 讨论时要结合单调性避免只看零点个数 （25-26高二下·全国·课堂例题）若函数，求函数的极值．经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导并对的取值进行分类讨论，得出函数单调性即可求得其极值. 【详解】函数的定义域为． （1）当时，，函数在上单调递增，函数无极值． （2）当时，令，解得． 当时，；当时，． 所以可知函数在上单调递减，在上单调递增； 在处取得极小值，且，无极大值． 综上可知，当时，函数无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值． （2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值.经典例题2例题 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性，进而求解极值. 【详解】因为函数，， 则， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，函数取极小值，无极大值， 综上：当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取极小值，无极大值. （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.小试牛刀2 (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解. 【详解】（1）当时， . ，. 即曲线在处的切线斜率为. （2）. 所以. 当时，， ，. 在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得. 当时， ，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增. ， 所以在处取得极小值为，无极大值. 综上： 当时， 无极值； 当时，有极小值为，无极大值. （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.小试牛刀3 (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解. （2）求出函数的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用导数的符号变化判断单调性，进而确定极值. 【详解】（1）当时，. . ，又. 则曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，. . 令. 则. 当时，，函数在上单调递增. 此时函数在上无极值； 当时，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. 【题型2：由函数的极值极值点求参数范围】 【练方法】 知识梳理 已知极值存在、极值满足某种条件（如极值大于0、极值为正）或极值点个数求参数范围 核心：将极值条件转化为关于参数的不等式结合单调性求解 解题思路 1.求导分析极值点存在的条件（导数有零点且变号） 2.表示出极值（或极值点）代入已知条件得到关于参数的不等式 3.结合单调性、定义域求解不等式 4.检验参数边界是否满足条件 名师点睛 极值存在的条件是导数有变号零点不是有零点就有极值 若已知极值大小要注意极大值和极小值的区别避免符号错误 含参讨论时要先确定极值点的个数再分别处理每种情况 （2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________.经典例题1例题 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. （25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，．经典例题2例题 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导后，依据、进行讨论即可； （2）在（1）的基础上，求出极大值，并列不等式即可求解． 【详解】（1）， ①当时对任意，，，故恒成立， 因此在上单调递增； ②当时令，即，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． （2）当时，在单调递增，无极值，不符合题意； 当时，在处取得极大值， 极大值为， 依题意有，解得，所以a的取值范围为． （25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和两种情况，求出相应的极大值，从而得到不等式，解不等式，得到答案. 【详解】（1）时，，， 则，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）定义域为， ，若，则恒成立， 故在上单调递增，不存在极值点，舍去； 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值， 极大值为， 令，解得， 故实数a的取值范围为. （25-26高三下·重庆·开学考试）已知函数.小试牛刀3 (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，求； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求导，再求，由两切线垂直进而求解； （2）求，令，得，令，进而得与有两个不同的交点，利用导数研究单调性，作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由题意得：，又， 所以， 又， 又因为在点处的切线与曲线在点处的切线垂直， 所以，所以； （2）由题得的定义域为， 又， 所以，令，即，令， 又函数有两个极值点， 所以与有两个不同的交点， 所以，令，解得， 由，得，由，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 作出函数的图像： 由图可知：， 所以. 【题型3：由函数的极值点个数求参数范围】 【练方法】 知识梳理 核心：极值点个数等价于导函数变号零点的个数 转化为：导函数在定义域内的变号零点个数问题通常转化为函数图像交点问题 解题思路 1.求导令 2.分离参数或构造函数转化为与的交点个数问题 3.分析的单调性、极值、最值画出图像 4.根据交点个数要求确定参数的范围 5.检验边界情况（如相切时是否为变号零点） 名师点睛 优先分离参数避免复杂的含参讨论 导函数的零点不一定都是极值点必须是变号零点所以要分析零点左右导数符号 若导函数是二次函数可直接用判别式分析零点个数再结合单调性判断是否变号 （2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________.经典例题1例题 【答案】 【分析】求得，根据题意转化为一元二次方程在内有两个不等实根，根据一元二次方程根的分布列出不等式即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．经典例题2例题 【答案】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： （2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，代入即可求解， （2）求导，将问题转化为在上仅有一个不为1的，实数根构造函数由导数求解函数的单调性，进而求解最值得解. 【详解】（1）， ，故 （2）令，则在上有且仅有两个实数根， 由于，所以在上仅有一个实数根，则在上仅有一个不为1的实数根， 令则， 当时， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减， 且 而故 （25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.小试牛刀2 【答案】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.小试牛刀3 【答案】 【分析】原问题等价于有两个不同的根，令，利用导数法求出单调性，数形结合即可求解. 【详解】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 故答案为： 【题型4：极值点偏移问题】 【练方法】 知识梳理 定义：函数有两个极值点满足但极值点称为极值点偏移 常见结论：证明（左偏）或（右偏） 核心方法：对称构造法、比值换元法、对数平均不等式 解题思路 对称构造法 1.确定极值点 2.构造对称函数 3.求导分析的单调性 4.比较与的大小结合单调性得到与的关系 5.转化为与的大小关系 比值换元法 1.令（）用表示 2.将所证不等式转化为关于的单变量不等式 3.构造函数求导利用单调性证明 名师点睛 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧单调性不对称 对称构造法是最通用的方法适用于大多数情况 比值换元法需要同号且能表示为比例关系 对数平均不等式可快速解决相关的极值点偏移问题但大题需证明 （25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ．经典例题1例题 (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2）函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. （23-24高二下·北京西城·期中）已知函数．经典例题2例题 (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． （23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点.小试牛刀1 (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，求出，讨论其符号后结合零点存在定理可得参数的取值范围. （2）结合的单调性可得等价于，，，讨论的单调性后可得原不等式成立. 【详解】（1），设，则， 当时，；当时，； 故在上为减函数，在上为增函数，故， 因存在两个不同的零点，故即. 此时且， 故在有且只有一个零点. 令，则， 当时，；当时，； 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故， 故当时，有， 故此时在有且只有一个零点. 综上，. （2）由（1）分析可得， 要证：，即证：， 因即，故即证， 即证：，其中， 设，， 则， 故（因为，等号不可取）， 所以在上为增函数，故即， 故成立即. （23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）.小试牛刀2 (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，然后根据导函数的正负来判断得单调性； （2）将变形为得到，然后构造函数，根据得单调性和得到，最后根据和得单调性即可证明. 【详解】（1）， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为. （2）证明：将两边同时除以得，即， 所以， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 设，则， 令 ， 则， 由得，所以，， 所以，在上单调递增， 又，所以， 当时，，即，即， 又，所以， 又，，在上单调递减， 所以，即. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. （23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数，.小试牛刀3 (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后解不等式、即可求得极值. （2）运用导数研究的单调性，进而可求得其最小值. （3）由已知可得，构造函数，根据其单调性可得，构造函数并研究其单调性，构造函数并研究其单调性，当时，依次结合函数、的单调性即可证得结果. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意知函数的定义域为. ， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. （3）不妨设，则由（2）知，. 设，由，得， 即， 因为函数在R上单调递增，所以成立. 构造函数，则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即. 【点睛】极值点偏移问题的方法指导： (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河南·月考）函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值的定义进行求解即可. 【详解】 ， 因为， 所以当时，，所以该函数在区间上单调递增， 当时，，所以该函数在区间上单调递减， 所以当时，是函数的极大值点，所以极大值为， 故选：A 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）正项等比数列中的，是函数的极值点，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出，再由等比数列的性质可得. 【详解】依题意是函数的极值点， 也是的两个根 ∴ 又是正项等比数列，所以 ∴. 故选：B 3．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 【答案】A 【分析】利用导数，结合单调性，即可判断选项. 【详解】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1． 故选：A． 4．（25-26高二下·全国·课后作业）函数的极值情况是（   ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 【答案】D 【分析】求出函数的导数，由单调性判断极值． 【详解】， 得函数在上单调递增， 函数无极值． 故选：D 5．（22-23高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【分析】结合极值，最值的概念判断即可. 【详解】因为函数在上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在上的连续函数一定存在最大值和最小值． 故选：D. 6．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知函数的极小值点为，且点落在同一条直线上，则该直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意对函数求导，再求出函数的极小值，再由点落在同一条直线上，代入求解即可. 【详解】由题意可得，函数的极小值点为， 所以，令，即，此时极小值点满足，令， 所以，当，当时，, 此时该点为极小值点，代入可得，，所以，所以该直线的方程为. 故选：A. 二、填空题 7．（25-26高三上·福建三明·开学考试）已知是函数的一个极值点，则实数______. 【答案】1 【分析】求出函数的导数，利用极值点求出值并验证即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点，得，解得，此时， 因函数在上都单调递增，故函数在上单调递增， 而，当时，；当时，， 则函数在处取得极小值，符合题意，故. 故答案为：1 8．（25-26高三上·四川遂宁·月考）已知函数，则函数的极大值点为___________． 【答案】 【分析】对函数求导并研究其区间单调性，即可得极大值点. 【详解】由题设， 当或时，当时， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为. 故答案为： 9．（25-26高三上·云南·月考）已知是函数的一个极值点，则______. 【答案】 【分析】根据函数极值点定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点， 得，解得，此时， 因为函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 当时，； 当时，，则函数在处取得极小值，符合题意， 所以. 所以，. 故答案为： 三、解答题 10．（25-26高三上·全国·月考）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 【答案】(1) (2)在处取极小值0，无极大值 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 故切线方程为； （2）令 求导得， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 故，故在处取极小值0，无极大值． 11．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由 ，由 . 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由 ， 结合，得. 故的取值范围为. 12．（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)的极小值为，极大值为 【分析】（1）求函数的导数后，将切点横坐标代入到函数与导函数中，分别求得切线的切点和斜率，进而可求此处的切线方程； （2）求函数的导数后，令，即可求出函数的极值点，再结合函数增减性确定极大值和极小值即可. 【详解】（1）由题意得，故，且有， 所以切线方程为，即， 故函数在点处的切线方程为. （2）由（1）得， 令，解得或， 当和时，，函数在区间和上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为. 13．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)若函数的极大值点是，求的值； (2)若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极值点与导函数零点的关系代入解方程可得，经检验符合题意； （2）根据两个极值点的符号关系，由韦达定理得出导函数的两根之积为负值可得结果. 【详解】（1）易知，由题意得， 解得，故． 经验证可知，在处取得极大值，符合题意； 故． （2）由题意，方程有一正一负两个实数根， 设为，则． 故的取值范围是． 14．（2026高三·北京·专题练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由极值点的定义可得出，可求出a的值，可得出函数的解析式，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出实数a的值； 【详解】（1）因为， 则，，故， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，所以， 此时，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 设，则， 设，则， 所以，当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，单调递增，则，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在时取得极小值，所以. 15．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数. (1)当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，，其中.证明：在区间上存在唯一的极值点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用参变分离求出的最小值即可； （2）利用导函数求出单调性即可. 【详解】（1）当时，可化为，即， 因为恒成立，所以， 令，则， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则实数的取值范围为； （2）当时，， 则， 因为，所以， 解，得，，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上存在唯一的极值点. 16．（25-26高三上·山东青岛·期末）设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：． 附： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （2）根据极值点可得，再根据结合代数变形可证. 【详解】（1）， 当时，（不恒为零），故的增区间为，无减区间； 若，则当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上：时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）因为是的极值点，故，故， 所以，而， 故， 整理得， 而，故， 整理得， 故，故， 而，故，即. 17．（2026高三·上海·专题练习）已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）先利用导数，求得，再结合求导判断函数的单调性，求得极值，判断函数图象趋势，利用函数与方程的思想即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）依题意，在处有极值， 因， 由，解得， 则，， 由可得或， 由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在时取得极大值为， 在时，取得极小值为， 当时，，当时，. 由图可知，若关于的方程有3个不同的实根， 则必有，即， 故实数的值为，实数的取值范围为. 18．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $