精品解析：江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟3

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟3 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，则为（ ） A. B. 1150 C. D. 60 3. 下列说法错误的是（ ） A. 数据1，2，3，5，7，8的第百分位数为2 B. 若随机变量且，则 C. 通过样本数据得到的回归方程一定经过点 D. 在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 4. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若 的值在内的概率约为，则n的值约为（ ） （参考数据：若，则）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面 的法向量，直线的方向向量，则直线与平面 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面 内 D. 相交但不垂直 6. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中. （a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为. 则 A. B. C. D. 7. 若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第 项的系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置了单次抽奖环节：在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品．定义随机变量X：参与者获得环保袋时，未获得时，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. 保留三位小数的近似值为 B. C. D. 除以5所得的余数是1 10. 某班组织由甲、乙、丙等 名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件 为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为1，点 为底面正方形 上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点 为 中点，点 为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点在 上，点 在上，则 的长度最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 13. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 14. 如图，粒子 在四个容器中移动，当 在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当 在 容器时，粒子停止移动．当前时刻， 在 容器中，设 小时后， 停止移动，则______，______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 16. 给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 18. 某景区统计了连续5天该景区接待游客的人数（单位：万人），数据如下表： 第x天 1 2 3 4 5 接待游客人数y（万人） 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）根据表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测第7天该景区接待游客的人数； （2）该景区上山、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上山、下山的方式互不影响，现从该景区出口随机选取4位下山的游客了解其下山方式，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列和期望． 附：参考数据：，，． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 19. 如图，在多面体中，平面 ，四边形 为正方形，且，若分别是的中点，点 是线段上的一个动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟3 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法，列出事件A对应的事件，事件AB对应的事件，然后利用条件概率公式求解即可 【详解】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以， 事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以， 所以， 故选：C 2. 已知随机变量，则为（ ） A. B. 1150 C. D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知，， . 3. 下列说法错误的是（ ） A. 数据1，2，3，5，7，8的第百分位数为2 B. 若随机变量且，则 C. 通过样本数据得到的回归方程一定经过点 D. 在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，数据1，2，3，5，7，8共有6个数据，则，即第百分位数是第2个数，为2，所以选项A正确； 对于选项B，，即， 所以对称轴，所以选项B正确； 对于选项C，由回归方程性质可知，回归直线经过样本中心点，所以选项C正确； 对于选项D，在独立性检验中，的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以选项D错误. 4. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若 的值在内的概率约为，则n的值约为（ ） （参考数据：若，则）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合，得到，进而利用正态分布的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为体温X服从正态分布， 所以， 因为 的值在内的概率约为，且， 则， 所以， 则，解得， 所以，解得， 故选：D. 5. 在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面 的法向量，直线 的方向向量，则直线 与平面 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线 在平面 内 D. 相交但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】由求出平面 的法向量，利用空间向量的垂直和共线的坐标性质判断平面的法向量与直线 的方向向量之间的关系，判断直线 与平面 的位置关系. 【详解】因为，， 所以平面 的法向量为， 由题意可知，则，说明与不垂直. 由，说明与不平行，与既不垂直也不平行， 所以直线 与平面 相交但不垂直， 故选：D. 6. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有 个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中. （a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为. 则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ，，故，，，由上面比较可知，故选A 考点：独立事件的概率,数学期望. 7. 若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第 项的系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出 的值. 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为 ，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大． 故选：A. 8. 某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置了单次抽奖环节：在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品．定义随机变量X：参与者获得环保袋时，未获得时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知 仅有两个取值0，1，且，， 所以 服从两点分布，. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. 保留三位小数的近似值为 B. C. D. 除以5所得的余数是1 【答案】AD 【解析】 【分析】令代入检验即可判断选项 ；两边同时求导，再令，即可判断选项；令，再令，结合起来即可判断选项 ；令，代入可得，检验除以5所得的余数是否为1即可判断选项. 【详解】解：， 则，所以选项 正确； 两边同时求导得, 令，则，所以选项错误； 令，则， 再令，则， 所以，所以选项 错误； 由，因为，所以选项正确. 10. 某班组织由甲、乙、丙等 名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件 为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A通过固定丙的位置，转化为剩余元素的全排列问题求解；选项B利用容斥原理，从总排列中扣除甲第一个或乙最后一个的情况，并补回重叠部分；选项C在条件概率下，将问题简化为乙不在最后一个位置的排列计数；选项D结合条件概率公式，通过计算事件交集与事件 的概率比值进行推理. 【详解】总共有 名同学，全排列总数为： 选项A：事件 为丙第一个出场，丙固定第一个后，剩余 人全排列，共种， 因此：，A正确； 选项B：用容斥原理计算 的排列数：总排列甲第一排列乙最后排列 甲第一且乙最后排列， 即， 因此：，B正确； 选项C：由条件概率公式： 发生时丙已经第一个出场，自然满足“甲不是第一个”，因此 只需满足“乙不是最后一个”， ，：乙不能在最后，乙有 个位置可选，剩余 人全排列， 即，因此：，C错误； 选项D：根据条件概率公式，已知，， 因此：，D正确. 11. 正方体的棱长为1，点 为底面正方形 上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点 为 中点，点 为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点 在 上，点 在上，则的长度最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据线面角的向量求法进行计算求解即可；对于B，根据异面直线夹角的向量求法进行计算求解即可；对于C，先求出 点轨迹，再根据向量的运算律将所求向量进行转化，结合定点到圆上一点距离最小值求法进行计算求解；对于D，将问题转化为求异面直线的距离，结合其计算公式进行求解即可. 【详解】对于A，对于正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为，故A错误； 对于B，如图所示， 则，则， 所以直线和夹角余弦值为，故B正确； 对于C， 因为平面 ，平面 ，所以， 又因为，所以， 所以 在以 为圆心，为半径的圆上（正方形 内的部分）， 取 的中点 ， 则， 由于，所以， 则的最小值为，故C正确； 对于D，若点 在 上，点 在上， 则的长度最小值即异面直线 和的距离， 设为直线 和的法向量， 又因为， 则，令 ，则， 所以异面直线 和的距离为， 即的长度最小值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定理法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算，分、、及既不平行也不垂直分别求解即可. 【详解】由题意可得的关系有：，，及既不平行也不垂直； 设正方体的八个顶点为， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，，，，， 当时，则或 ； 当时，则或； 当时，则； 当既不平行也不垂直时： 如：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为，共5种情况. 13. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 【答案】36 【解析】 【分析】设没接种只数为 ，列出2×2列联表后计算，可得，即可得 的最小值. 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 则的观测值为：， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论， 于是，即， 即， ∴，即被抽查的没接种动物至少有36只． 14. 如图，粒子 在四个容器中移动，当 在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当 在 容器时，粒子停止移动．当前时刻， 在 容器中，设 小时后， 停止移动，则______，______． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】B的相邻容器：A、C，A的相邻容器：B、D，D的相邻容器：A、C，C到达后停止移动 解法一：(1)表示粒子在第3小时首次到达C，说明前2小时未到达C，第3小时到达C，到达每个容器的概率都为，以此进行计算； (2)分析粒子每小时运动到C的概率找规律，列出计算式，利用数列求和知识求出均值． 解法二：设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率，分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率.分析，，，之间的递推关系，可求的值，再结合期望的关系，可求. 【详解】解法一：(1)第0小时，在B； 第1小时，只能到A，概率为； 第2小时，可能到B，可能到D，概率为； 第3小时，到C，概率为； 故； (2)由题意知；；；； ； 由此可得，偶数小时时，粒子都在B或D，无法停止，故； 奇数小时时： 由可知：， 即； 令， 则 将式两边同时乘以可得： 式减式可得：， ； 故，即． 解法二： 设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率， 分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率. 当时，则，，，， 则，因为，，则， 则，则，化简得． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】（1）480 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解； （2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. 【小问2详解】 ①设事件 表示“男生甲被选中”，则. ②设事件 表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件 表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 16. 给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）和 （2），， 【解析】 【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【小问1详解】 二项展开式的通项公式为： . 若选①，则由题得， ∴，即， 解得或(舍去)，∴. 若选②，则由题得，∴， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为， ，. 【小问2详解】 由（1）可得二项展开式的通项公式为： . 当即时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为: ，，. 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师 不任教“围棋”课程，教师 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】（1）504 （2）360 （3）1140种 【解析】 【分析】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分 只任教1科和 任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【小问1详解】 依题得，共有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①当 只任教1科时：先排 任教科目，有种； 再从剩下5科中排 的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当 只任教1科时，共有种； ②当 任教2科时：先选 任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当 任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 18. 某景区统计了连续5天该景区接待游客的人数（单位：万人），数据如下表： 第x天 1 2 3 4 5 接待游客人数y（万人） 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）根据表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测第7天该景区接待游客的人数； （2）该景区上山、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上山、下山的方式互不影响，现从该景区出口随机选取4位下山的游客了解其下山方式，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列和期望． 附：参考数据：，，． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1）；8.8万人. （2） 的分布列为： 0 1 2 3 4 ，数学期望为3.【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计第7天该景区接待游客的人数； （2）由全概率公式计算，利用二项分布计算概率，列出分布列，由公式计算期望和方差可得. 【小问1详解】 由题，又，，，， 所以 ， 因此关于 的经验回归方程为， 将代入回归方程得，即预测第7天接待游客人数为8.8万人. 【小问2详解】 设事件 为“游客步行下山”，事件 为“游客步行上山”，事件 为“游客乘观览车上山”， 根据全概率公式可得每位游客步行下山的概率为， 所以由题意， 的可能取值为 ，， ，， ， 因此 的分布列为： 0 1 2 3 4 所以期望为. 19. 如图，在多面体中，平面 ，四边形 为正方形，且，若分别是的中点，点 是线段上的一个动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，由直线方向向量与平面法向量垂直即可求证； （2）求得平面法向量和直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式，借助二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 因为平面 ，四边形 为正方形，所以两两垂直， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以 平面 ， 则，，，，，，，， 设． 则，因为平面，所以平面的法向量为， 因为， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 ， 设平面的法向量， 由，得， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为 ， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 易知平面的法向量， ，设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 设二面角的平面角为 ，由图可知 为锐角， 所以， 因为，所以， 令，则，所以， 则， 令，且，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 且此时，即， 所以当点 为线段 的中点时，二面角平面角的余弦值取最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $