第十一章　培优练16　安培力和洛伦兹力　带电粒子在有界匀强磁场中的运动-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦安培力与洛伦兹力应用，通过几何关系分析与轨迹模型建构，系统训练带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，强化科学推理与物理观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |洛伦兹力基础|1-2题|左手定则与受力分析|洛伦兹力概念→向心力公式→轨迹方程| |有界磁场轨迹|3-9题|轨迹半径与圆心角几何法|磁场边界条件→轨迹模型建构→临界状态分析| |综合计算|10题|多过程运动时间与位移计算|运动学公式→周期公式→极值问题求解|

培优练16　安培力和洛伦兹力　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 [分值：50分] [1~9题，每题4分] 1.一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成a、b和c三个微粒，a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c未在图中标出。仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是(　　) A.a带负电荷 B.b带正电荷 C.c不带电 D.a和b的动量大小一定相等 答案　B 解析　在两轨迹相切的位置，粒子a速度方向向右，受到向上的洛伦兹力，而粒子b速度方向向左，受到向下的洛伦兹力，根据左手定则可知，粒子a、粒子b均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应保持不变，则粒子c应带负电，故A、C错误，B正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动时，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，所以r=。虽然粒子a与粒子b的半径相等，但由于粒子a与粒子b的质量、电荷量大小关系未知，则粒子a与粒子b的动量大小关系不确定，故D错误。 2.如图所示，abcd-a'b'c'd'为正方体，两条足够长的通电直导线L1、L2分别沿ab和a'd'放置，电流大小均为I，方向分别沿ab和a'd'。已知通电长直导线在空间某点产生的磁感应强度大小B与电流I的关系为B=k(k为常量，r为该点到直导线的距离)。若d点的磁感应强度大小B0，则平面aa'd'd中心P点处的磁感应强度大小为(　　) A.B0 B.B0 C.B0 D.3B0 答案　C 解析　设正方体棱长为L，根据安培定则可知，导线L1在d点产生的磁感应强度大小为B1=k，方向沿dd'；同理，导线L2在d点产生的磁感应强度大小也为B1=k，方向沿cd，所以B0=B1=k，导线L1在P点产生的磁感应强度大小为B2=k=k，方向沿Pa'，导线L2在P点产生的磁感应强度大小为B3=k=2k，方向与cd平行，二者相互垂直，所以BP==k=B0，故选C。 3.如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，O为圆心。在磁场边界上P点有一粒子源，粒子可以沿圆面向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿与PO成30°角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过O点，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是(　　) A.粒子1在磁场中做圆周运动半径等于R B.粒子1在磁场中运动的偏向角为180° C.粒子1在磁场中运动的时间为 D.沿PO方向射入的粒子从磁场射出速度与粒子1从磁场射出速度方向不相同 答案　A 解析　沿与PO成30°角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过O点，如图所示 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系可知r=R，故A正确；粒子1从磁场出射时，速度与PO垂直，即偏向角为120°，故B错误；粒子1在磁场中运动的时间为t=T=T=×=，故C错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的半径等于圆形有界磁场的半径，因此根据磁发散原理可知，所有粒子从磁场射出的速度方向相同，故D错误。 4.如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场，P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场，恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力，下列说法正确的是(　　) A.磁场的磁感应强度大小为 B.粒子从bQ之间(不包括b、Q点)第二次通过ab边 C.粒子从PQ之间(不包括P、Q点)第二次通过ab边 D.粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为 答案　D 解析　粒子的运动轨迹如图所示， 由几何关系可得R==，由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m，联立解得B=，故A错误；由几何关系知，粒子第二次通过ab边时恰好过P点，故B、C错误；设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则T=，粒子从a点到第二次通过ab边所用的时间为t=T+=，故D正确。 5.如图所示，在坐标系xOy平面第一象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，两个相同的带电粒子甲和乙在S点垂直磁场射入，甲、乙速度方向均与x轴成45°角，并恰好垂直于y轴射出磁场，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.甲在磁场中运动的半径大于乙在磁场中运动的半径 B.甲在磁场中运动轨迹的长度大于乙在磁场中运动轨迹的长度 C.甲在磁场中运动的过程中洛伦兹力的冲量大小大于乙在磁场中运动的过程中洛伦兹力的冲量大小 D.甲、乙两个粒子在磁场中运动的过程中速率相等 答案　D 解析　根据题意，作出两粒子的运动轨迹图，如图所示。由图可知，甲粒子的运动轨迹短，乙粒子的运动轨迹长，两粒子匀速圆周运动的半径为r1=r2=OS，故A、B错误；洛伦兹力是变力，甲和乙粒子的末动量p2大小方向都一样，而初动量p1大小一样，方向不一样，由动量定理I=p2-p1得I甲<I乙，故C错误；因为r1=r2，又r=，可得甲、乙两个粒子在磁场中运动的过程中速率相等，故D正确。 6.如图所示，在△ABC区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，∠A=90°，AC=d，BC=2d。在顶点A处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向∠CAB区域内各个方向均匀射入比荷为k、速率为v的带负电的粒子，有的粒子能从AB边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是(　　) A.匀强磁场的磁感应强度大小为 B.粒子在磁场中运动的最短时间为 C.粒子在磁场中运动的最长时间为 D.AB边有粒子射出的区域长度为d 答案　D 解析　粒子源射出的粒子有从AB边射出，90°×=60°，则速度方向与AB边成60°角范围内的粒子都能从AB边射出，如图所示，当粒子速度方向与AB边成60°角时，粒子运动轨迹与BC边相切，其圆心为O1，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为r=d，又Bqv=m，解得B=，故A错误；所有粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，轨迹为劣弧时对应圆心角越小，弦长越短，在磁场中运动时间越短，运动时间最短的粒子对应的弦垂直于BC，由几何关系可得，轨迹对应圆心O2刚好在AB边上，最短时间tmin==，故B错误；轨迹为劣弧时对应圆心角越大，在磁场中运动时间越长，沿弧运动时时间最长，故tmax==，故C错误；AB边有粒子射出的区域为AQ，由几何关系可得AQ=2rcos 30°=d，故D正确。 7.如图，在上下无限长平行边界PQ与MN间(含边界)有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，PQ与MN间的距离为d。直线l垂直于PQ，其上S点处有一点状粒子源，S到PQ的距离为1.5d。粒子源在纸面内向其右侧空间各个方向发射大量带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q、速度大小相等。从MN边离开磁场区域的所有粒子中，在磁场中运动时间最短的粒子a(图中未标出)做匀速圆周运动的圆心恰好在直线l上。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是(　　) A.粒子在磁场中运动的轨迹半径可能大于d B.粒子a进入磁场时的速度方向与直线l的夹角为60° C.粒子a在磁场中运动的时间为 D.从直线l下方入射的粒子均从直线PQ边离开磁场 答案　D 解析　在磁场中运动时间最短的粒子a做匀速圆周运动的圆心恰好在直线l上，则a粒子在磁场中进入磁场和离开磁场的位置连线最短(弦最短，运动时间最短)，即进入磁场和离开磁场的位置连线的距离为d，如图所示，圆心为O，由几何关系可知=，解得R=d，由于进入磁场的所有粒子的速度大小相等，则所有粒子在磁场中运动的轨迹半径均为d，故A错误；设粒子a进入磁场时的速度方向与直线l的夹角为θ，由几何关系有sin θ==，解得θ=30°，故B错误；由几何关系可知，粒子a在磁场中转过的圆心角为2θ=60°，所以粒子a在磁场中运动的时间t=T，粒子在磁场中做匀速圆周运动周期T=，联立解得t=，故C错误；分析可知沿l方向射入磁场的粒子，恰好和MN边界相切，则从直线l下方入射的粒子均从直线PQ边离开磁场，故D正确 8.如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B，AC为该圆形区域的水平直径，O为圆心。一带正电微粒从A点沿与AC成α=30°角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是(　　) A.若微粒从圆形磁场边界上的D点离开，∠AOD=120°，则入射速度大小为 B.若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒入射速度大小为 C.若入射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为 D.若将AC下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为 答案　D 解析　如图所示，连接A、D，过磁场圆圆心O作AD连线的垂线，再过A点作速度的垂线，两垂线的交点O'即为轨迹圆的圆心，由几何知识可知，O'刚好在圆形磁场区域的边界上，且O'D水平，故微粒从D点离开时对应轨迹半径r=R，由qvB=m，解得v=，A错误；微粒在磁场中运动的位移最大对应为圆的直径，轨迹半径r=2R，微粒入射速度大小为，B错误；只改变入射微粒速度大小，微粒在磁场中运动的轨迹对应的圆心角一定小于240°，时间小于·=，C错误；若将AC下方磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，运动位移最大的出射点仍为C点，对应的半径满足nr=2R，则对应微粒速度v=(n=1，2，3…)，D正确。 9.如图所示，一带正电粒子从坐标原点O以速度v0沿与x轴正方向成θ=60°角射入第一象限内，一段时间后进入方向垂直纸面的矩形匀强磁场中，经磁场偏转后从P点垂直y轴射出磁场。已知P点坐标为(2a，a)，不计粒子重力，则(　　) A.磁场方向垂直纸面向里 B.粒子在磁场中的运动时间为 C.该矩形磁场的面积可能为3a2 D.粒子进入磁场的位置到y轴的距离为a 答案　C 解析　由题意可知，若磁场方向垂直纸面向里，则粒子不可能经磁场偏转后从P点垂直y轴射出磁场，故磁场的方向应为垂直纸面向外，故A错误；粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为θ'=240°，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r==a，故粒子在磁场中运动的时间为t=×=，故B错误；由图可知，当磁场区域的面积最小时，磁场的边长分别为l1=2r，l2=r(1+cos 60°)=r，则有Smin=l1l2=a2<3a2，故该矩形磁场的面积可能为3a2，故C正确；由几何关系可知，粒子进入磁场的位置到y轴的距离为d=2a-rsin 60°=a，故D错误。 10.(14分)如图所示，真空区域内有一足够大的荧光屏PQ，其左侧有一无限大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。S为一粒子源，可沿纸面向各个方向发射大量速度大小为v的带负电的粒子。已知粒子的比荷为k，S到荧光屏的距离为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求： (1)(4分)粒子距S的最远距离； (2)(6分)粒子到达荧光屏的最短时间和最长时间； (3)(4分)荧光屏的发光长度。 答案　(1)　(2)　　(3) 解析　(1)设S到荧光屏的距离为d，带负电的粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力有qvB=m 解得R= 则粒子距S的最远距离L= (2)作出运动轨迹，如图所示 由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中O1点时，轨迹圆的圆心角最小为60° 又T= 解得T= 负粒子到达荧光屏的最短时间为tmin=T 解得tmin= 同理，由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中O2点时，粒子到达荧光屏时，轨迹圆的圆心角最大为270°。粒子到达荧光屏的最长时间tmax=T 解得tmax= (3)由几何关系可知，轨迹圆的圆心为O3时，负粒子到达荧光屏下方最远处，由几何关系可得x1=R 同理，轨迹圆圆心为O4时，负粒子到达荧光屏上方最远处，由几何关系可得x2=R 则荧光屏的发光长度l=x1+x2 解得l=。 学科网（北京）股份有限公司 $