第十一章　第62课时　专题强化：带电粒子在立体空间和交变电磁场中的运动-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以分解法为主线，构建螺旋运动、立体空间、交变场三维递进解题体系，强化科学思维与运动相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |螺旋式运动|例1(3问+拓展)|速度分解为平行/垂直磁场分量，化曲线为匀变速直线+匀速圆周|从无电场到叠加场，递进分析螺旋半径与螺距| |立体空间运动|例2|降维法分解为垂直方向圆周运动+平行方向直线运动|三维坐标系中多区域运动的阶段衔接与状态关联| |交变电磁场运动|例3|“读图-受力-过程-衔接-规律”五步法，分段处理周期性运动|结合场变化周期分析粒子运动周期性，强化科学推理|

第62课时　专题强化：带电粒子在立体空间和交变电磁场中的运动 目标要求　1.会处理带电粒子在匀强磁场和叠加场中的螺旋式运动。2.掌握带电粒子在立体空间中运动问题的解题思路和处理方法。3.掌握带电粒子在交变电磁场中运动的解题思路和处理方法。 考点一　带电粒子的螺旋式运动 空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做螺旋式运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 例1　(1)如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。 (2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。 (3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子离x轴的最大距离； ③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。 答案　见解析 解析　(1)粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径， 由qv0B=m，D1=2R1，得D1=； (2)①粒子速度沿x轴方向的分量v0x=v0cos θ， 在垂直于x轴方向的分量v0y=v0sin θ， 在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动，即做等距螺旋线运动。 ②由qv0yB=m，得D2=2R2=。 粒子做匀速圆周运动的周期T== 轨迹与x轴相邻交点之间的距离 Δx=v0cos θ·T=； (3)①将粒子的初速度分解为沿x轴方向的分速度v0x和垂直x轴方向的分速度v0y，v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ 洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，平行x轴方向在静电力作用下做匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。 ②由qv0yB=m， 得粒子做圆周运动的半径R3=R2==， 粒子离x轴的最大距离D3=2R3=。 ③在x轴方向，qE=ma，第三次与x轴相交时的位置坐标x=v0xt+at2， 从射出至第三次到x轴时间t=3T==， 故x=(v0cos θ+)。 拓展　若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？ 答案　见解析 解析　粒子做螺旋式运动，且到达x轴的时间间隔相等，在x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故x1∶x2∶x3…=1∶4∶9…。 考点二　带电粒子在立体空间中的运动 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。 例2　如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0，L，0)，C点的坐标为(0，L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度； (2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。 答案　(1)，方向沿y轴负方向 (2) 解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿AD方向有L=v0t 沿y轴方向有L=at2 沿y轴方向的加速度a= 解得匀强电场的电场强度大小为E= 方向沿y轴负方向。 (2)粒子到达OPMN的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为v0，带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，作出圆轨迹如图乙所示 由几何关系可得粒子做圆周运动的半径 r=L 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m 解得B=。 考点三　带电粒子在交变电磁场中的运动 解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 例3　(2025·江苏镇江市检测)如图(a)所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图像如图(b)所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向，t=0时刻，带负电的粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量，且=，在0~t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为(，)。求： (1)粒子P的比荷； (2)t=2t0时刻粒子P的位置坐标； (3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。 答案　(1)　(2)(v0t0，0)　(3)v0t0 解析　(1)0~t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动， 当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周， 所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R，即R= 又qv0B0=，= 联立解得=。 (2)设粒子P在磁场中运动的周期为T， 则T==4t0 即粒子P做圆周运动后磁场变为电场，此时粒子速度v0垂直于电场方向，之后做类平抛运动， 设t0~2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则x1=v0t0=，y1=a 其中加速度a= 联立解得y1==R 因此t=2t0时刻粒子P的位置坐标为(v0t0，0)，如图中的b点所示。 (3)分析知，粒子P在2t0~3t0时间内，静电力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x轴正方向，水平位移x2=x1=v0t0； 在3t0~5t0时间内，粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如(2)中图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离为L=2R+2x1， 解得L=v0t0。 课时精练 [分值：50分] [1、2题，每题4分] 1.(2025·江苏苏州市检测)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，在xOy平面内坐标原点以初速度v0沿与x轴正方向成α角射入的电子，其运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是(　　) A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向 B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变 C.若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小 D.若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α=90°时“轨迹”为闭合的整圆 答案　D 解析　将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x轴方向，速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x=v0cos α·t，沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误； 根据evyB=m，T=，且vy=v0sin α，解得D=2R=，T=，所以Δx=vxT=，所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B错误；若仅增大v0，则D、Δx皆按比例增大，故C错误；若仅增大α，则D增大而Δx减小，且α=90°时Δx=0，故D正确。 2.如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t=0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则(　　) A.t=时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t=时刻，质子的坐标为(，0，) C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 答案　C 解析　沿x轴方向，在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在yOz平面做匀速圆周运动，所以质子运动轨迹在yOz平面内的投影是经过O点的圆，且做圆周运动的周期T=，当t==T时刻，在yOz平面质子分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度沿x轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向，故A、D错误；t==T时刻，沿x轴方向Ee=ma，x=at2=··()2=，在yOz平面内，正好经过半个周期，则y=0，z=-2r=-，所以质子的坐标为(，0，-)，故B错误；质子每经过一个周期可经过一次x轴，沿x轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9…，故C正确。 3.(12分)(2025·陕晋青宁卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R。在圆筒中央O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求(R、v0、B0均为已知量)： (1)(4分)电子的比荷； (2)(8分)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。 答案　(1)　(2)2π2R2 解析　(1)当磁场的磁感应强度为B0时，恰好没有电子落到筒壁上。 则以速度v0垂直轴线方向射出的电子，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径R0= 根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0= 联立解得= (2)磁感应强度调整为后，当电子速度与磁场不垂直时，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设vx、vy，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离电子源点的最远时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R0= 根据洛伦兹力提供向心力可得evx= 联立解得vx= 由射出到相切，经过半个周期，用时 t==×= 根据速度的合成与分解可知vy==v0 平行轴线方向运动距离y=vyt=R 结合对称性，被电子击中的面积 S=2×2πRy=2π2R2。 4.(15分)(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 (1)(7分)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； (2)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值； (3)(4分)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T， 由牛顿第二定律知Bevy=m 可得R=，T== 若所有电子均能经过O进入电场，则有 t=nT(n=1，2，3，…) 联立得B= 当n=1时，B有最小值，可得Bmin= (2)将电子的速度分解，有tan θ= θ最大时，tan θ有最大值，即vy最大， 此时Rmax==r， 联立可得vym=，tan θ= (3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym， 根据匀变速直线运动规律有ym= 由牛顿第二定律知a= 联立得ym= 5.(15分)(2025·江苏无锡市澄宜六校联考)如图甲所示，在xOy平面内y轴的左侧有宽为L的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电荷量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场(忽略初速度)，从x轴的P点(-L，0)进入电场区域，粒子进入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y轴平行的交变电场(T未知)，y轴正方向为电场的正方向，粒子经过交变电场后从y轴上的Q点(0，L)沿着x轴的正方向进入第一象限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为T0(忽略磁场突变的影响)，粒子在t=0时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求： (1)(4分)经过P点时的速度v0； (2)(5分)交变电场的电场强度大小E0； (3)(6分)圆形磁场区域的最小面积S。 答案　(1)　(2)(n=1，2，3…)　(3) 解析　(1)粒子从A点到P点， 由动能定理有qU0=m 解得v0= (2)粒子进入偏转电场中有 L=2n·v0(n=1，2，3，…) L=2n·a()2(n=1，2，3，…) a= 联立解得E0=(n=1，2，3…) (3)粒子从Q点射出时速度方向沿x轴正方向，速度大小为v0，粒子在磁场中运动的周期为 T=== 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r， 则qv0B=m 圆形磁场的最小半径R=2r 最小面积S=πR2 解得S=。 学科网（北京）股份有限公司 $