第十一章　第58课时　专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以边界类型为框架，融合几何分析与多解分类，构建“原理-模型-技巧”三维解题体系，强化科学思维与运动相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有界磁场圆周运动|4例|直线边界对称性、平行边界临界条件、圆形边界径向出入规律|从洛伦兹力提供向心力公式出发，结合不同边界几何特征推导轨迹半径与圆心角，形成“公式-几何-应用”链条| |多解问题|2例|电性/磁场方向不确定、临界状态不唯一、运动往复性分类技巧|基于轨迹对称性与周期性，通过作轨迹图、找通项式分析多解成因，深化科学推理能力|

第58课时　专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动 目标要求　1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 3.圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 例1　如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上，不计离子的重力及两离子的相互作用，下列说法正确的有(　　) A.a、b均带负电 B.a在磁场中运动的时间比b的短 C.a在磁场中运动的路程比b的短 D.a在P上的落点与O点的距离比b的短 答案　D 解析　离子要打在屏P上，都要沿顺时针方向偏转，根据左手定则判断，离子都带正电，A错误；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，因初速度大小也相同，由qvB=m可知，它们做匀速圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，如图所示，比较得a在磁场中运动的路程比b的长，C错误； 由t=可知，a在磁场中运动的时间比b的长，B错误；从图中可以看出，a在P上的落点与O点的距离比b的短，D正确。 例2　如图所示，在直角坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A.它的轨道半径为d B.它进入磁场时的速度大小为 C.它在磁场中运动的时间为 D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 答案　B 解析　粒子运动轨迹如图所示， r+rsin 30°=d，可得粒子运动轨道半径为r=d，故A错误；由qvB=m，r=d，可得粒子进入磁场时的速度大小为v==，故B正确；T==，由几何关系知t=T，可得粒子在磁场中运动的时间为t=，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y=-2rcos 30°=-d，故D错误。 拓展　若仅将电荷量变为+q(q>0)，粒子仍恰好不从右边界射出，其余条件不变，则它的轨道半径为　　　　；它进入磁场时的速度大小为　　　　；它在磁场中运动的时间为　　　　；它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为　　　　。  答案　2d　　　2d 解析　粒子运动轨迹如图所示，r-rsin 30°=d，可得粒子运动轨道半径为r=2d；由qvB=m，r=2d，可得粒子进入磁场时的速度大小为v=；T==， 由几何关系知t=T，可得粒子在磁场中运动的时间为t=；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y=2rcos 30°=2d。 例3　(2025·江苏省三市三校联考)如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M=30°，NP=L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是(　　) A.可能有正电子从M点射出磁场 B.负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C.从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D.正电子在磁场中运动的最长时间为 答案　C 解析　正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示，根据正电子的运动的轨迹可知，其不可能从M点射出磁场，选项A错误；负电子从D点离开磁场的轨迹如图， 负电子从D点离开磁场时，由几何关系知()2+(-r)2=r2，解得r=L，则负电子的速度大小为v==，选项B错误；当从MN边射出的正电子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为120°，则最长时间tm=×=，选项C正确；正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为tm'==，选项D错误。 例4　(2025·江苏苏州市检测改编)如图为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。一带电粒子(不计重力)从P点第一次以速度v1沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的(　　) A.半径之比为∶1 B.半径之比为1∶ C.时间之比为2∶5 D.时间之比为3∶2 答案　A 解析　设圆柱形区域半径为R，粒子电荷量为q，运动轨迹如图所示， 由几何知识可知r1=Rtan 60°=R，r2=R，轨迹半径之比r1∶r2=∶1，故A正确，B错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T=，由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角θ1=60°，θ2=90°，粒子在磁场中的运动时间t=T，粒子的运动时间之比==，故C、D错误。 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 例5　如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射出。不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.带电粒子一定带负电荷 B.带电粒子的速度最小值为 C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为 D.带电粒子在磁场中运动时间可能为 答案　D 解析　若粒子带负电，且粒子的运动轨迹如图甲所示时，粒子做圆周运动的半径为r1=L，由牛顿第二定律得qv1B=m，解得v1=，此时半径最小，速度也最小，故B错误；若粒子带负电，当粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为时，粒子在磁场中的运动时间为t=T=×=，故D正确； 若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何知识得L2+(r2-0.5L)2=，解得r2=L，根据牛顿第二定律得qv2B=m，解得v2=，根据动量定理得I=2mv2=，故A、C错误。 例6　(2022·湖北卷·8改编)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 答案　B 解析　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。 当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示， 因为两个磁场的磁感应强度大小均为B， 则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°，故B正确，A、C、D错误。 　处理多解问题的解题技巧 1.分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 2.作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。 3.若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 课时精练 [分值：55分] 　[1~5题，每题4分] 1.如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，电子所受的重力及电子间的相互作用忽略不计，则(　　) A.该匀强磁场的方向垂直纸面向外 B.所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 答案　D 解析　由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，整理得r=，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，B错误；由周期公式T==可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，轨迹圆心角为2θ，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，电子在磁场中的运动时间t=T，故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C错误，D正确。 2.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A.粒子带正电 B.粒子在b点速率大于在a点速率 C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出 D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 答案　C 解析　由左手定则可知，粒子带负电，A项错误；由于洛伦兹力不做功，故粒子速率不变，B项错误；粒子在磁场中的运动轨迹半径R=，若仅减小磁感应强度B的大小，则R变大，粒子可能从b点右侧射出，C项正确；若仅减小入射速率，则R变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大，t=T，T=，粒子在磁场中的运动时间变长，D项错误。 3.如图所示，正六边形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电粒子以速度v1从a点沿ad方向射入磁场，从c点离开磁场；若该粒子以速度v2从a点沿ae方向射入磁场，则从d点离开磁场。不计粒子重力，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　带正电粒子以速度v1从a点沿ad方向射入磁场，从c点离开磁场，设六边形的边长为L，则由几何关系得R1=L，若该粒子以速度v2从a点沿ae方向射入磁场，则从d点离开磁场，则由几何关系得R2=2L，由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m，则v=，故速度之比即半径之比，==，故选C。 4.(2026·江苏省天一中学期中)如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知∠AON=60°，下列说法正确的是(　　) A.a粒子做圆周运动的半径为R B.b粒子的速率为v C.粒子的比荷为 D.a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2 答案　C 解析　作出a、b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何知识可得ra=Rtan 30°=R 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有Bqv=，联立解得=，故A错误，C正确； 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有Bqv=，解得v=，由几何关系可得rb=R，则===，解得vb=3v，故B错误；根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期T==，两粒子在磁场中偏转的圆心角θa=120°，θb=60°，则两粒子在磁场中运动的时间之比为ta∶tb=θa∶θb=120°∶60°=2∶1，故D错误。 　[5~9题，每题4分] 5.(2025·江苏南通市检测)如图所示，等边三角形acd在光滑绝缘水平面内，O为三角形的中心。在三角形acd内(含边界)存在竖直向下的匀强磁场。在O点给带正电小球P一初速度，使其沿水平面射向各个方向，小球均不会离开磁场，此时小球的初速度最大为v1。现在O点，给该带正电小球P另一初速度，平行da射向ac边，小球刚好不离开磁场，此时小球的初速度为v2，则v1与v2之比为(　　) A.2∶3 B.4∶9 C.3∶4 D.1∶2 答案　C 解析　设三角形边长为a，小球速度最大时，圆心为O1，则运动半径R1满足2R1=tan 30° 现在O点，给该带正电小球P另一初速度，平行da射向ac边，小球刚好不离开磁场，圆心为O2，运动半径R2满足R2+=，根据qvB=m，解得v=∝R，可得==，故选C。 6.如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷=，忽略质子间的相互作用，则质子的速度不可能为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示， 所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系可知，质子运动半径为r=(n=1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，联立解得v==(n=1，2，3，…)，可知质子的速度不可能为，故选C。 7.(2024·江苏南京市、盐城市模拟)如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源(图中未画出)，在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。若所有的粒子都不能从大圆边界射出磁场，则下列说法正确的是(　　) A.粒子速度的最大值为 B.粒子速度的最大值为 C.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为(不考虑粒子再次进入磁场的情况) D.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为(不考虑粒子再次进入磁场的情况) 答案　C 解析　根据洛伦兹力提供向心力qvB=m 可得粒子的运动半径为r= 可知粒子速度最大时，运动半径最大，做出粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系有(2R-r)2=R2+r2，联立解得r=R，v=，故A、B错误；某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有tan ==，粒子做圆周运动的周期T=，解得其在磁场中运动的时间为t=·T=，故C正确，D错误。 8.(2024·江苏南京市三模)在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，两个相同的带电粒子①和②在P点垂直磁场射入，①的速度与x轴负方向成45°，②的速度与x轴正方向成45°，如图所示，二者均恰好垂直于y轴射出磁场，不计重力，不考虑带电粒子重力及带电粒子之间的作用力，根据上述信息可以判断的是(　　) A.带电粒子①在磁场中运动的半径大 B.带电粒子①在磁场中运动的过程中洛伦兹力的冲量大 C.带电粒子②在磁场中运动的轨迹短 D.两个粒子在磁场中运动的过程中速率相等 答案　D 解析　根据题意，作出两粒子的运动轨迹图，如图所示 由图可知，①粒子的运动轨迹短，②粒子的运动轨迹长，根据几何关系，两粒子做匀速圆周运动的半径相等，为r1=r2==OP，故A、C错误； 根据洛伦兹力提供向心力qvB=m 可得v= 两粒子做匀速圆周运动的半径相等，则两粒子射入磁场的速度大小相等，即两粒子在磁场中运动的过程中速率相等，设为v0，对①粒子，根据动量定理有=mΔv1=m·2v0sin =2mv0sin 对②粒子，根据动量定理有=mΔv2=m·2v0sin =2mv0sin > 故带电粒子①在磁场中运动的过程中洛伦兹力的冲量小，故B错误，D正确。 9.(2024·湖北卷·7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 答案　D 解析　在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿着径向射出的。根据圆的几何知识可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，则根据对称性可知时间最短的轨迹如图(a)所示，则最短时间为t=2T=，故C错误； 若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图(b)所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r=，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v=，故D正确。 10.(14分)(2024·江苏宿迁市一模)如图所示，在光滑绝缘的水平桌面(足够大)内建立xOy坐标系，在第Ⅰ、Ⅳ象限中存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m、电荷量为+q的带电小球(可视为质点)从坐标原点O沿与+x方向成45°角以某一速度射入第Ⅳ象限，与静止在P点的带电尘埃(质量远小于小球质量)相碰并粘在一起，此后恰好未穿出磁场。P点坐标为(L，L)，不计电荷间的相互作用力。求： (1)(5分)小球射入磁场的速度。 (2)(9分)尘埃的电荷量可能值。 答案　(1)　(2)见解析 解析　(1)设小球进入磁场中的速度大小为v0，其轨迹如图甲所示 根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m 根据几何关系可得2R=L 联立解得v0= (2)由于带电尘埃质量远小于小球质量，则小球与尘埃碰后速度、质量均不变，若尘埃带正电，设二者做匀速圆周运动的轨迹半径为r，尘埃的带电荷量为q1，如图乙所示 根据几何关系有r+rcos 45°=L (q1+q)v0B=m 联立可得尘埃的电荷量可能值为q1=q 若尘埃带负电，设二者做匀速圆周运动的轨迹半径为r'，尘埃的带电荷量为-q2，如图丙所示 根据几何关系有 r'-r'cos 45°=L (q2-q)v0B=m 联立可得q2=q，故尘埃的电荷量可能值为-q2=q。 学科网（北京）股份有限公司 $