精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年下学期九年级6月中考模拟数学试题

数学 一、选择题：（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 正十边形的每个内角等于（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接 ，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点F，连接并延长，交 于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知 ，过原点的直线与反比例函数的图象交于 、 两点，点 在第一象限，动点 在 轴的正半轴上，线段 交反比例函数图象于 、 两点， 为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，给出下面三个结论： ①； ②对任意 ，存在唯一的动点 ，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是_____． 10. 分解因式：_____________________． 11. 方程的解为______． 12. 当________， ________时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组 ， 的值即可）． 13. 如图， 内接于 ， ， 于点 ，若，则的长为_____． 14. 如图，在矩形 中，，点E为 延长线一点，且．连接 交边 于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 15. 某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为______人． 16. 某工厂生产一种产品，产品在出厂时已经按照规定数量装入三种型号的集装箱内封装．各型号的集装箱的装货数量、总重量和运输成本如下表： 型号 装货数量（件） 总重量（吨） 运输成本（元） A 10 4 15 B 12 5 18 C 14 6 20 工厂备货充足，已封装的每种型号的集装箱均有多个．现需向客户发货，客户要求每次至少收到50件产品．工厂安排一辆最大载重为23吨的货车承担发货任务，只发车一次． （1）若只装载型号A和B这两种集装箱，则为完成发货任务，该货车装载的集装箱总数为_________个； （2）在所有能完成发货任务的方案中，运输总成本最少为_________元． 三、解答题：（本题共68分） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 已知：，求代数式的值． 20. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 21. 在平面直角坐标系中，直线经过点和． （1）求和 的值； （2）当时，对于 的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，请直接写出 的取值范围． 22. 近期油价受国际形势影响而上涨，而我国电力价格基本稳定，居民日常出行驾驶燃油汽车的用车成本提升明显，新能源汽车中使用电力的纯电动汽车用车成本相对稳定，五一劳动节，小帆同学乘坐家人驾驶的一台纯电动汽车从家出发去外地游玩，去程时开空调，平均每百公里电耗，车辆自身电池容量为h，出发时满电状态，途中充电一次，补充电量．返程未充电，沿原路返回，因未开空调，平均每百公里电耗降至去程时的，车辆行驶至家时，电量余．求两地之间的距离为多少百公里？ 23. 校篮球队教练选出甲、乙、丙、丁四名队员参加定点投篮测试．对这四名队员最近10轮测试（每轮投10球，记录命中数）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．乙、丙两名队员10轮测试命中数的折线图： b．丁队员10轮测试命中数：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9 c．四名队员10轮测试命中数的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 8 7 8 中位数 8 7 m 8 方差 0.6 （1）表中 的值为_____，p的值为_____；表中q________0.6（填“”“”或“ ”）； （2）根据这10轮测试成绩，教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试命中数大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名队员按实力由强到弱依次为_____． 24. 如图，以线段 为直径作圆 ，点 ， 在圆上，且 为弧 的中点，过 作圆 的切线交 的延长线于 ，连接 ，连接 交 于 ，交 于 ． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量 （单位：），水温 （单位：）与时间 （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1 从开始加热至水量与时间对照表 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4.5 8 11.5 15 18.5 22 表 水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温 和加热时间 呈线性关系． （1）表中 的值为______； （2）根据表 中的数据，补充完成以下内容： 在图中补全水温与时间的函数图象； 当时，______； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源．等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要______分钟才能喝到不高于的水． 26. 在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． （1）用含 的式子分别表示 和； （2）是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形是中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 2. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，由数轴可知，进而由可得异号，即得，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，故错误； ∵， ∴异号， ∴，， ∵与的绝对值大小无法确定， ∴的符号无法确定，与 的大小无法判断，故错误； ∵， ∴， ∴，故 正确； 故选： ． 3. 正十边形的每个内角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形外角和为定值 的性质，结合正多边形各外角相等，先求出单个外角的度数，再利用内角与相邻外角互补求出内角度数. 【详解】解：∵任意多边形的外角和为 ，正十边形的10个外角相等， ∴正十边形每个外角的度数为， ∵内角与相邻外角的和为 ， ∴正十边形每个内角的度数为. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到小行星距离与月球远地点距离的倍数关系，计算乘积后整理为符合要求的科学记数法即可得到答案． 【详解】解：∵该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的倍，月球远地点距离约为米， 列式计算得：， 因此该小行星与地球的最近距离约为米． 6. 在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 2 3 4 2 5 6 3 5 7 4 6 7 共有6种等可能的结果，其中和为偶数的结果有2种， ∴； 故选B． 7. 如图，在 中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交 于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、 于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点F，连接并延长，交 于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，直线 为线段的垂直平分线，是 的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线 为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是 的平分线， ∴， ， ， 在 中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 8. 如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于 、 两点，点 在第一象限，动点 在 轴的正半轴上，线段 交反比例函数图象于 、两点， 为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点 ，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，利用角平分线及斜边中线的性质即可判断①；若四边形是平行四边形，则可推出四边形是平行四边形，进而得出，再结合函数的图象可判断②；由可知，确定 的最大值即可判断③． 利用面积关系及三角函数求最值判断. 【详解】解：①如图1，连接 ， 直线与反比例函数的图象都关于原点对称， 、 两点关于原点对称，即． ， 在中，， ， 平分 ， ， ， ， 故①符合题意； ② 如图2，连接 . 若四边形是平行四边形，则，． 由①已知, 四边形是平行四边形， ， 由①已知， . 动点 在 轴的正半轴上，且是线段 与反比例函数图象的交点， 点在点 的右侧，且由图象可知随着动点 向右运动， 的长度是由0开始逐渐增大的， 对任意，一定存在唯一的动点 ，满足，也就是满足四边形是平行四边形，故②符合题意； ③如图3，过点E作,垂足为 . 当时，把 与联立，得 解得或， 两点的坐标分别为、． .  ，  .  在中，． 当时， 取得最大值，最大值为． 故③不符合题意. 综上所述，符合题意的结论是①②. 二、填空题：（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得 ，进而即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 10. 分解因式：_____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法，先把原分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 12. 当________， ________时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组 ， 的值即可）． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当，时，得出，但，，即，即可得解． 【详解】解：当，时，，但，，即， 故当，时，可以说明“若，则”是假命题， 故答案为： ，（答案不唯一）． 13. 如图， 内接于 ，，于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得出，利用等边对等角以及三角形内角和定理求出，利用含角的直角三角形的性质求出半径，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与所对的弧为， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 14. 如图，在矩形 中，，点E为延长线一点，且．连接 交边 于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得 的长，利用勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴，，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为______人． 【答案】750 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体． 用全校的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：750． 16. 某工厂生产一种产品，产品在出厂时已经按照规定数量装入三种型号的集装箱内封装．各型号的集装箱的装货数量、总重量和运输成本如下表： 型号 装货数量（件） 总重量（吨） 运输成本（元） A 10 4 15 B 12 5 18 C 14 6 20 工厂备货充足，已封装的每种型号的集装箱均有多个．现需向客户发货，客户要求每次至少收到50件产品．工厂安排一辆最大载重为23吨的货车承担发货任务，只发车一次． （1）若只装载型号A和B这两种集装箱，则为完成发货任务，该货车装载的集装箱总数为_________个； （2）在所有能完成发货任务的方案中，运输总成本最少为_________元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设A、B型集装箱个数为正整数，根据发货件数要求和货车载重限制列出不等式，验证后得到集装箱总数． （2）设三种型号集装箱个数为非负整数，列出不等式，列举所有满足条件的方案，计算不同方案的运输总成本，得到最小成本． 【详解】（1）解：设装载型号A集装箱 个，型号B集装箱 个，为非负整数且不同时为0， 根据题意得··· 对 从小到大取值验证： 当时，不等式化为， 得， 取， 当时，不等式化为， 得， 取， 当时，不等式化为， 得， 取， 当时，，， 没有正整数 满足条件因此该货车装载的集装箱总数为 ； （2）解：设装载A、B、C三种型号集装箱分别为个， 为非负整数，满足， 总成本，求的最小值， 按 从大到小验证：时，已装件，载重吨，剩余载重最多 吨，还需至少 件，得到最小， 时，已装件，载重 吨，剩余载重最多 吨，还需至少 件， 当时，总件数， 总重量， 此时， 其余方案均大于73. 时，所有满足条件的方案中最小； 时，时；时，；最小， 同时不存在满足条件的方案使， 因此运输总成本最少为 元 三、解答题：（本题共68分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 19. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，再得出，然后根据分式混合运算法则，将化简为，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：为 的中点，， 四边形是平行四边形， 四边形 是菱形， ， 平行四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形， （1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形 的性质得即可推出四边形是矩形； （2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得，然后在直角三角形中，解直角三角形可以求出的长，从而得到 的长； 灵活运用上述性质解决问题是本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形 是菱形， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 21. 在平面直角坐标系中，直线经过点和． （1）求 和 的值； （2）当时，对于 的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得函数，由题意可得当时，，且，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数， ∵一次函数， ∴， 当时，如图， 此时，当时，对于 的每一个值，一次函数的值不横小于一次函数的值，故不符合题意，舍去， 当时，如图， 此时，当时，对于 的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，故符合题意， 当时，如图， 此时，当时，对于 的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，故符合题意， 当时，如图， 此时，当时，对于 的每一个值，一次函数的值横小于一次函数的值且大于，故不符合题意，舍去， 综上所述，． 22. 近期油价受国际形势影响而上涨，而我国电力价格基本稳定，居民日常出行驾驶燃油汽车的用车成本提升明显，新能源汽车中使用电力的纯电动汽车用车成本相对稳定，五一劳动节，小帆同学乘坐家人驾驶的一台纯电动汽车从家出发去外地游玩，去程时开空调，平均每百公里电耗，车辆自身电池容量为h，出发时满电状态，途中充电一次，补充电量．返程未充电，沿原路返回，因未开空调，平均每百公里电耗降至去程时的，车辆行驶至家时，电量余．求两地之间的距离为多少百公里？ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设两地之间的距离为 百公里，用 表示去和返回过程中的电耗，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：设两地之间的距离为 百公里，根据题意，得 ， 解得：， 答：两地之间的距离为 百公里． 23. 校篮球队教练选出甲、乙、丙、丁四名队员参加定点投篮测试．对这四名队员最近10轮测试（每轮投10球，记录命中数）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．乙、丙两名队员10轮测试命中数的折线图： b．丁队员10轮测试命中数：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9 c．四名队员10轮测试命中数的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 8 7 8 中位数 8 7 m 8 方差 0.6 （1）表中 的值为_____，p的值为_____；表中q________0.6（填“”“”或“”）； （2）根据这10轮测试成绩，教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试命中数大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名队员按实力由强到弱依次为_____． 【答案】（1） （2）甲、丁、乙、丙 【解析】 【分析】（1）根据中位数、平均数、方差的定义分别进行解答即可； （2）根据方差、平均数、测试命中数大于平均数的次数结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，乙队员10轮测试命中数为：， 丙队员10轮测试命中数为：，从小到大排列为 ∴丙的中位数，丙的平均数， 丁队员10轮测试命中数的方差为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：丙的平均数， 由表格可知，甲和丁的平均数相等，且最大，乙和丙的平均数相等， ∴甲和丁的实力强于乙和丙； ∵， ∴甲的方差小于丁的方差， ∴甲的实力强于丁的实力， 由题意可得，乙的方差， 丙的方差， ∴乙和丙的平均数都是 ，方差都是，方差和平均数均相等， ∵乙的测试命中数大于平均数的次数为3次，丙的测试命中数大于平均数的次数为2次， ∴乙实力强于丙的实力， 综上可知，这四名队员按实力由强到弱依次为：甲、丁、乙、丙， 故答案为：甲、丁、乙、丙． 24. 如图，以线段 为直径作圆 ，点 ，在圆上，且 为弧 的中点，过 作圆 的切线交的延长线于 ，连接 ，连接 交 于 ，交于 ． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）解：连接， ∵ 为直径作圆 ， ∴， ∴， ∵ 为弧 的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ 为 的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，，，再进一步证明即可． （2）连接 ，设，则，，证明，，可得，结合，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；连接 ， ∵， ∴设，则，， ∵ 为直径作圆 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，， ∵ 为弧 的中点， ∴，而， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴，， ∴． 25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量 （单位：），水温 （单位：）与时间 （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1 从开始加热至水量与时间对照表 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4.5 8 11.5 15 18.5 22 表 水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温 和加热时间 呈线性关系． （1）表中 的值为______； （2）根据表 中的数据，补充完成以下内容： 在图中补全水温与时间的函数图象； 当时，______； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源．等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要______分钟才能喝到不高于的水． 【答案】（1） （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用描点法画函数图象，用表格表示变量间的关系，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升 ，从而计算出每增加 分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）描点并连线即可； 当时间从分开始，设时间为 时，水温加热到． 在这个过程中每 分钟，水温升高，则每 分钟水温上升的温度， 据此列方程求出 ，再计算出剩下的时间，根据表 ，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）分别计算的水从加热到需要时间；以及计算水温从降到需要的时间，即可得解． 【小问1详解】 解：由表 可知，在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升 ， 在煮沸模式下，加热时间每增加 分钟，水温就上升， ， ． 故答案为： ； 【小问2详解】 解：补全水温与时间的函数图象如图所示： 当时间从分开始，设时间为 时，水温加热到． 在这个过程中每 分钟，水温升高，则每 分钟水温升高， 由此得， 解得， （分）， 根据表 的数据可知，经过 分后降到了， 当时，． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表 可知，的水从加热到需要：分， 由表 可知，水温从降到需要：（分）， （分）， 小明至少需要分钟才能喝到不高于的水． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． （1）用含 的式子分别表示 和 ； （2）是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求 的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 的取值范围是且． 【解析】 【分析】（ ）先将点 横坐标代入抛物线解析式，化简求出 用 表示的式子；再把含 的点 坐标代入直线解析式，通过移项、整理等式，推导出 与 的关系式； （ ），先分别把横坐标 代入抛物线、直线解析式，得到；根据时列出不等式并整理因式分解；结合时的条件，将问题转化为在此区间恒成立，再分和两种情况讨论，利用一次函数单调性求出 的取值范围，最后综合得到 的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； 【小问2详解】 解：由（ ）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当 时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上， 的取值范围是且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $