2025-2026学年人教版八年级数学下册期末测试题

**基本信息** 人教版八年级下期期末测试题，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过微电子技术、编程竞赛、台风路径等真实情境，设计从基础到综合的梯度问题，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|分式概念、平行四边形性质、科学记数法、规律探究|第4题图形规律培养观察能力，第8题函数图像分析行程问题| |填空题|6/24|分式意义、正多边形内角、矩形性质、方程组解|第16题不等式组与分式方程综合，考查运算能力| |解答题|9/86|尺规作图、统计分析、方程应用、动点函数、几何综合|18题结合菱形判定作角平分线，22题台风路径解直角三角形应用，25题等边三角形旋转综合，体现推理与创新|

人教版2025-2026学年八年级下期期末测试题（解析版） 满分150分，共120分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．下列式子为分式的是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义， 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，判断即可． 【详解】选项A：，分母为字母，符合分式定义， 选项B：，分母是常数，不含字母，不是分式， 选项C：，分母为数字，不含字母，不是分式， 选项D：是整数，不属于分式． 故选A ． 2．在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. 3．微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：∵的第一个非零数字是9，其前面有7个零（包括小数点前的零）， ∴，， ∴． 故选：D． 4．将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（   ） A．31 B．36 C．41 D．46 【答案】D 【分析】本题考查图形规律探索，解题的关键是求得前面几个数据，正确找出规律，然后求解．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，代入即可求解． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为， 第②个图案中“●”的个数为， 第③个图案中“●”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“●”的个数为（个）， 因此第⑨个图案中“●”的个数为（个）． 故选：D． 5．估计的值应在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，将原式化简为，通过估算的取值范围，确定整体值的区间即可． 【详解】解：， 又，，且， ， ， 故选：C． 6．下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据初中函数的定义判断分析即可． 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数． 故选项A、B、D中的关系式，y是x的函数； 对选项，， 当时，可得，即或， ∵此时x取一个确定值，y有两个不同的值与之对应，不符合函数的定义， ∴不是的函数，故选项C符合题意． 7．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题，不符合题意； B．四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线相等的条件，因此原命题是假命题，符合题意； D．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； 8．早上9点，甲车从地出发去地，20分钟后，乙车从地出发去地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（    ） A．两地相距240千米 B．乙车平均速度是90千米/小时 C．乙车在12:00到达地 D．甲车与乙车在早上10点相遇 【答案】D 【分析】根据题意和图像中的数据，可以计算出各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图像可知， 两地相距240千米，故A选项不符合题意； 乙车的平均速度为：（千米/小时），故B选项不符合题意； 乙车到达地的时刻为：，故C选项不符合题意； 设甲车出发小时后两车相遇，则， ， 解得：， （分钟）， 即甲车与乙车在早上10点48分相遇，故D选项不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，与交于点，为的中点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到两个等腰三角形，再通过角度转化建立关系即可求解． 【详解】解：连接，如图． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，， 在中，是斜边的中点，， 同理： ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，在中，，而， ∴， ∴， ∵， ∴. 10．已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】当时，整式，再结合，且，确定、、的取值组合，即可判断①；根据，且（且为整数），确定，，…，，的取值组合，即可判断②；由，得出，且，再结合，得出或，分别求解即可判断③． 【详解】解：当时，整式， ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，， ∴或或，共种，即满足条件的整式有3个，故①错误； ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数， ∴当时，，整式，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，，整式，有个， 当时，，整式，有1个， ∴所有满足条件的整式有个，故②正确； ∵， ∴，且， ∵， ∴或， 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，，此时整式， 当时，，此时为正整数，其和至少为，故无合适的解，故不符合题意； 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，或，此时整式或， 当时，，， 解得：，，此时整式， ∴所有满足条件的整式的和为 ，故③错误； 综上所述，正确的有②，共个． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．要使分式有意义，x需满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件解答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，熟记条件是解题的关键． 12．已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 13．如图，在矩形中，O为对角线的中点，连接．若，则的长度为______． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，O为对角线的中点， ， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：或． 14．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题关键．根据点的纵坐标为，代入得出的值，即可得到点的坐标，即可得答案． 【详解】解∵一次函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为： 15．如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，可证明是等边三角形，得到，证明是等腰直角三角形，推出，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 【答案】 【分析】先将每个不等式的解计算出来，根据有解且至多4个偶数解求得，则．解出分式方程的解为，由为整数，且，确定整数的所有可能取值，并求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式有解，且至多个偶数解， ∴，     解得， 分式方程， 两边同乘以，得， 解得， ∵为整数，且， 又∵， ∴符合条件的所有整数为，，，，和为． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质将每个二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式将原式展开并化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图．例如，作一个给定角的平分线．作法： （1）以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）分别以点，为圆心，（或）为半径作弧，两弧相交于点（非点），连接，，则四边形为菱形； （3）作射线，则射线就是的平分线． 根据以上作法步骤完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）和证明： 证明：由尺规作图可得 ． 四边形为菱形． 由 可得， 射线是的平分线． 【答案】作图见解析， ，菱形的每一条对角线平分一组对角 【详解】解：如图即为所求； 证明：由尺规作图可得． 四边形为菱形． 由菱形的每一条对角线平分一组对角可得，射线是的平分线 四、解答题（每小题10分，共70分） 19．学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是： A．    B．    C．    D． 下面给出了部分信息： 其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89 九年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96 八年级选手成绩扇形统计图 八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 91.76 九年级 85.2 86 b 59.66 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）； (3)若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 【答案】(1)；88；40 (2) 解：八年级的成绩更好，理由：两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均大于九年级； (3)62人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数作出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数； 九年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得，故， 故答案为：；88；40； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有62人． 20．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2400元购进种图书和用2880元购进种图书的本数相同． (1)A，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本种图书的利润为3元，每本种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1500元，则至多购进种图书多少本？ 【答案】(1)种图书每本30元，种图书每本36元 (2)至多购进A种图书50本 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）先设A种图书每本进价为x元，则B种图书每本进价为元，再根据题意列方程求解即可； （2）先设购进A种图书m本，则购进B种图书本，再根据“销售完后所获利润不少于1500元”列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A种图书每本进价为x元，则B种图书每本进价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 答：A种图书每本的进价为30元，B种图书每本的进价为36元． （2）解：设购进A种图书m本，则购进B种图书本， 由题意得，， 解得，． 答：至多购进A种图书50本． 21．如图1，在Rt中，，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿运动到点C后停止．连接PC，设点P的运动时间为，的面积为y．    (1)直接写出y关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识． （1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴ （2）如图即为为所求，    当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小， （3）如图，当，直线与（2）中的函数图象有两个交点 22．台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，台风中心位于海平面的处南偏东方向的点处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到位于点正南方向上200海里的点处．（参考数据：，，） (1)填空：______度； (2)求之间的距离；（结果保留根号） (3)若此次台风影响区域的半径为190海里，且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响地，请通过计算说明．（结果保留整数） 【答案】(1)30 (2)海里 (3)台风不会影响地，理由见解析 【分析】（1）根据方向角的定义即可得到度； （2）过点C作于点F，分别求出海里；海里即可求出； （3）过点作于点，求出的长与190进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点B作南北方向的辅助线， ∵B在A的南偏东， ∴， ∵台风沿北偏西移动，即方向， ∴， ∴； （2）解：过点C作于点F，如图， ∵B在A的南偏东， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又海里， 由勾股定理得，且， ∴， ∴； 在中，， ∴（海里）， ∴ （海里）， ∴（海里）； （3）解：过点作于点， 在中，， ∴ （海里）， ∵， ∴台风不会影响地． 23．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，．点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得； （2）根据矩形的性质及勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴． 24．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与的图象交于点．已知． (1)求的值； (2)点为线段上一点，连接，和四边形的面积分别记为，．在线段上有两动点（点在点的上方），且，过点作轴于点，连接．当时，求的最小值； (3)如图，将沿射线方向平移得到，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)，； (2)的最小值为； (3)的横坐标为或或或． 【分析】（1）先求出一次函数的图象与轴、轴的坐标，结合题意求出、，再代入一次函数即可求解； （2）先根据一次函数、与坐标轴的交点，设点，分别求出，，根据即可求出点坐标，再作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、，当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值，∴推出点与点重合，点与点重合，点与点重合，然后根据垂直平分线性质与平行的性质，推出轴，即可求出点、坐标，证明为等腰直角三角形，即可求出坐标，的最小值即可求解； （3）先根据题意，求所在直线的解析式：上，设，分别求出，分类讨论：情况一：，情况二：，情况三：，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点， ∴当时，，当时，，即、， ∴， ∵， ∴，即， ∵在一次函数上， ∴，解得：，即， ∵、在一次函数上， ∴，解得：， ∴在一次函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即， ∵由（1）得，，， ∴， ∴， ∵点为线段上一点，即点在一次函数上， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即， 如图，作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、， ∵点关于一次函数的对称点， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值， ∴点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵由（1）得一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∵点在一次函数上， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：设一次函数与一次函数平行，且经过点， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴点在上，设， ∵由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，进行分类讨论： 情况一：如图，， ∴， ∴，解得：， 情况二：如图，， ∴， ∴， 解得：，； 情况三：如图，， ∴， ∴， 解得：，(舍)； 综上，的横坐标为或或或． 25．如图，为等边三角形，平分交于点，，分别为线段，上的点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)如图1，若于点F，，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点，在运动过程中满足，将绕点顺时针旋转至，连接，，当取最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据得出，，进而求得，再在中，根据勾股定理，即可求解． （2）以为边在其右侧作等边三角形，连接，证明，即可得证． （3）在上截取，连接，交于点，连接，证明得出四边形是平行四边形，则，即在过点且平行于的直线上运动，再证明，得出，证明得出，则，当时，取得最小值，过点作于点，设，则，勾股定理解直角三角形分别求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 在中，； （2）证明：如图，以为边在其右侧作等边三角形，连接， ∴ 设 ∵为等边三角形，平分， ∴，则 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 在中， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上截取，连接，交于点，连接 ∵是等边三角形， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴，则，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴， ∴ ∵为等边三角形，平分， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ∴，即在过点且平行于的直线上运动， 延长至，使得，连接，设与交于点，则，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 当时，取得最小值， 设，则， ∵，，则 ∴ ∴，， 过点作于点， ∴， ∴ 在中， ∴． 第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年八年级下期期末测试题 满分150分，共120分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．下列式子为分式的是（   ） A． B． C． D．1 2．在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（   ） A．31 B．36 C．41 D．46 5．估计的值应在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 6．下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 7．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 8．早上9点，甲车从地出发去地，20分钟后，乙车从地出发去地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（    ） A．两地相距240千米 B．乙车平均速度是90千米/小时 C．乙车在12:00到达地 D．甲车与乙车在早上10点相遇 9．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，与交于点，为的中点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．要使分式有意义，x需满足的条件是______． 12．已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 13．如图，在矩形中，O为对角线的中点，连接．若，则的长度为______． 14．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 15．如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 16．若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17．计算： (1)； (2)． 18．利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图．例如，作一个给定角的平分线．作法： （1）以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）分别以点，为圆心，（或）为半径作弧，两弧相交于点（非点），连接，，则四边形为菱形； （3）作射线，则射线就是的平分线． 根据以上作法步骤完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）和证明： 证明：由尺规作图可得 ． 四边形为菱形． 由 可得， 射线是的平分线． 19．学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是：八年级选手成绩扇形统计图 A．    B．    C．    D． 下面给出了部分信息： 其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89 九年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96 八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 91.76 九年级 85.2 86 b 59.66 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）； (3)若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 20．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2400元购进种图书和用2880元购进种图书的本数相同． (1)A，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本种图书的利润为3元，每本种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1500元，则至多购进种图书多少本？ 21．如图1，在Rt中，，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿运动到点C后停止．连接PC，设点P的运动时间为，的面积为y． (1)直接写出y关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 22．台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，台风中心位于海平面的处南偏东方向的点处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到位于点正南方向上200海里的点处．（参考数据：，，） (1)填空：______度； (2)求之间的距离；（结果保留根号） (3)若此次台风影响区域的半径为190海里，且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响地，请通过计算说明．（结果保留整数） 23．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，．点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与的图象交于点．已知． (1)求的值； (2)点为线段上一点，连接，和四边形的面积分别记为，．在线段上有两动点（点在点的上方），且，过点作轴于点，连接．当时，求的最小值； (3)如图，将沿射线方向平移得到，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的横坐标． 25．如图，为等边三角形，平分交于点，，分别为线段，上的点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)如图1，若于点F，，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点，在运动过程中满足，将绕点顺时针旋转至，连接，，当取最小值时，请直接写出此时的值． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $