期末考试能力提优卷（一）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 北师大版八年级下册期末数学能力提优卷，以足球联赛积分（第8题）、读本购买（第22题）等现实情境为载体，融合代数（不等式、因式分解）与几何（平行四边形、旋转）知识，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|不等式性质、中心对称图形、平行四边形性质|基础概念辨析，如第2题图形对称性判断| |填空题|6题|等腰三角形底角、分式化简、不等式组整数解|小综合应用，如第16题不等式组整数解分析| |解答题|9题|动态几何（23题等边三角形动点）、新定义（25题关联方程）、函数与几何综合（24题平行四边形探究）|分层设计，从基础计算（17题解方程）到创新探究（24题线段关系），培养推理与创新意识|

期末考试能力提优卷（一）2025-2026学年北师大版数学八年级下册 一、选择题 1．如果，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．五角星 D．圆 3．在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行四边形的对角线交于点，且，那么的长为（    ） A． B． C．3 D．4 7．下列各命题是真命题的是（ ） A．平行四边形对角线相等 B．平行四边形相邻的两个角相等 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 8．年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 二、填空题 11．若等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为______． 12．若，则的值为_______． 13．如果，那么的值为____________． 14．如图为一次函数和的图象，则关于的不等式的解集为_____． 15．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 16．关于的不等式组有且只有5个整数解，则常数的取值范围是______． 三、解答题 17．解方程、解不等式组 (1)． (2)． 18．先化简，再从，0，1，3四个数中选择一个合适的数代入求值． 19．（1）若，求的值； （2）分解因式：． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)把向上平移个单位长度得(A、B、C的对应点分别是、、，请画出； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，请画出（A、B、C的对应点分别是，，，并写出的坐标； (3)在（2）条件下，求边扫过的面积． 21．如图所示，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求的大小； (2)求证：． 22．“把读书当作一件大事来抓”是年全国教育工作会议的精神之一．为了更好的落实会议精神，某学校购进、两种读本，花费分别是元和元．已知读本的订购单价是读本的订购单价的倍，并且订购读本的数量比读本的数量多本． (1)求、两种读本的单价分别是多少元？ (2)该学校拟计划再订购这两种读本共本，其中读本订购数量不少于读本订购数量的倍，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 23．如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A D C B C B 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15．4 16． 三、解答题 17．【详解】（1）解： 方程两边同乘 得： 整理得 ， 解得 检验：当 时，， ∴原分式方程的解为 ， （2）解： 解不等式①得 解不等式②两边同乘得 去括号得 合并同类项得 系数化为得 ∴原不等式组的解集为． 18．【详解】解： ， 由分式有意义可知且且， 即且， 因此只能选取代入， 当时，原式． 19．【详解】解：（1）∵， ∴； （2）原式. 20．【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求作，的坐标； （3）如图， ，，， 边扫过的面积． 21．【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明： ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．【详解】（1）设读本的订购单价为元/本，则读本的订购单价为元/本，依题意，得 ．   解得 ． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 当时，(元)． 答：、两种读本的单价分别是元、元． （2）设读本订购本，总费用为元，则读本订购本，依题意，得 ≥． 解得 ≥． ．   ∵＞， ∴随的增大而增大， ∴当时，总费用最低，即． 答：该学校订购这两种读本的最低总费用为元． 23．【详解】（1）证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 24．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $