第13讲 带电粒子在匀强磁场中的运动（培优·预习讲义）新高二物理人教版

第13讲 带电粒子在匀强磁场中的运动（培优讲义） 课标要点 1.理解带电粒子在匀强磁场中的运动规律。 2.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径公式和周期公式及应用。 1.会找带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径。 2.会处理带电粒子在有界磁场中运动的问题。 方法指导 考点01 带电粒子在匀强磁场中运动的半径和周期 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．洛伦兹力总是与粒子的运动方向 ，只改变粒子速度的 ，不改变粒子速度的 。洛伦兹力对粒子起到了 的作用。 2．沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做 运动。 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．半径公式：一个电荷量为q的粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v运动，洛伦兹力提供向心力，则 ＝m，可解得圆周运动的半径r＝ 。 2．周期公式：匀速圆周运动的周期T＝ ，将上述半径公式代入，可得T＝ 。 【深化点拨】 1．分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，要紧抓洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m。 2．半径公式的理解 (1)成立条件：v⊥B。 (2)粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动时，由半径公式r＝知，r与m、q、v有关。 (3)同一粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动时，由r＝知，r与v成正比。 3．周期公式的理解：两公式T＝和T＝都可以计算带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，可灵活选用。当粒子垂直进入同一匀强磁场中时，粒子速度越大，粒子做圆周运动的轨迹半径越大，但周期相同，即周期与带电粒子运动速度无关，与半径大小无关，而与带电粒子的比荷成反比。 带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中时 (1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动； (2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动； (3)当v与B既不垂直也不平行时，带电粒子做螺旋运动。 【典例01】质量1.67×10-27 kg、电荷量1.6×10-19 C的带电粒子，以5×105 m/s的初速度沿与磁场垂直的方向射入磁感应强度为0.2 T的匀强磁场。则（　　） A．电子将做匀速直线运动 B．电子所受的磁场作用大小为8×10-14N C．电子做匀速圆周运动，周期为1.64×10-7 s D．电子做匀速圆周运动，轨道半径为2.61×10-2 m 【变式1-1】1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，用以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片。下图为安德森在云室内拍下的正电子的径迹，下列判断正确的是（　　） A．正电子从上向下穿过铅板 B．磁场的方向垂直纸面向外 C．磁场力对正电子做正功 D．正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变小 【变式1-2】用如图所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状，现将这一现象简化成如图所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度沿与x轴正方向成角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为，则下列说法错误的是（　　） A．匀强磁场的方向为沿x轴正方向 B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距将增大 C．若仅增大电子入射的初速度v₀，则直径D增大，螺距也将增大 D．若仅增大角（），则直径D增大，而螺距将减小 考点02 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 【深化点拨】 1．轨迹圆心的确定——解题关键 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上 已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)圆心一定在弦的中垂线上 已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 2．轨道半径的确定 方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨道半径r＝； 方法二(由几何关系求)：一般由数学知识通过计算来确定，解直角三角形是最常用的方法。 3．运动时间的确定 方法一(由圆心角求)：t＝·T； 方法二(由弧长求)：t＝。 4．要正确地识别或作出图像必须注意“4点、6线、3角” 4点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点。 6线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线。 3角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图丙所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ。 角度01 带电粒子在直线边界磁场中的运动 【解题指导】 如图甲、乙、丙所示，带电粒子进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，带电粒子的速度方向与边界夹角大小相等。 【典例02】如图所示，y轴右方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，带电粒子甲、乙从y轴上的E点同时射入磁场，粒子甲速度方向垂直于轴，粒子乙速度方向与轴正方向的夹角为，两粒子恰好同时到达轴上点。不计粒子的重力，粒子甲、乙的速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，虚线MN的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，P、Q是MN上的两点。一带负电的粒子第一次以速度大小为、方向垂直MN从P点进入匀强磁场，从Q点射出磁场；第二次以速度大小为、方向与MN成30°角从P点再次进入匀强磁场，也恰好从Q点射出磁场。不计粒子重力，则等于（　　） A． B． C． D． 角度02 带电粒子在条形、四分之一坐标平面等边界磁场中的运动 【解题指导】 1．带电粒子在条形边界磁场中运动的常见情况 2．带电粒子在四分之一坐标平面边界磁场中运动的常见情况 【典例03】如图所示，有宽度为d的匀强磁场，磁感应强度为B．电子以速度v从M点射入，从N点射出，速度方向与水平方向夹角，求电子： (1)运动轨迹的半径r； (2)比荷； (3)穿越磁场的时间t。 【变式3-1】如图所示，矩形ACDE的AC边长为，AE边长为l，矩形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一不计重力的带电粒子从A点沿AC方向进入磁场，初速度大小为，恰好从D点离开磁场。已知带电粒子质量为m，带电量大小为q，则： (1)判断带电粒子的电性；求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)求带电粒子在磁场中运动时间。 【变式3-2】如图所示的坐标系的第一象限内，有垂直于坐标平面方向向里的匀强磁场，磁感应强度为B，x轴上有A、B两点，且O、A两点距离与A、B两点距离相等都为L，y轴上的C点与O点距离也为L，现有甲、乙两粒子自A点分别以不同的速率垂直于x轴方向射入第一象限，其中甲粒子会经过B点，乙粒子会经过C点，已知两个粒子的质量均为m，所带电荷量的绝对值都为q，不计两粒子所受的重力与粒子间的相互作用力。求： (1)甲、乙两粒子的速率之比； (2)甲粒子从A点到B点所用的时间。 角度03 带电粒子在圆形边界磁场中的运动 【解题指导】 1．若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)。 证明：如图甲，因为OA＝OB，O1A＝O1B，所以△O1OA≌△O1OB，所以∠OBO1＝90°，vB沿OB方向。 2．若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ。 证明：如图乙，因为OM＝ON，O1M＝O1N，所以△O1OM≌△O1ON，则∠ONO1＝∠OMO1，又因为∠O1MO2＝90°，∠O1NO2＝90°，所以∠ONO2＝∠OMO2＝θ。 【典例04】如图所示，一个半径为的圆形匀强磁场区中，磁感线方向垂直纸面向外，一个带电粒子，以速度沿半径方向从点射入磁场，从点离开磁场。若，则（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动轨迹半径为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．增大速度，粒子在磁场中的运动时间增长 【变式4-1】如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的点沿直径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转。不计重力，则为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】2023年10月26日，中国神舟十七号航天员乘组顺利进入中国空间站，进行为期6个月的驻留并进行大量的科学实验。由于高能宇宙射线对航天员的辐射具有非常大的危害。下图为某种磁防护方案截面图。在航天器内建立同心圆柱体形屏蔽磁场。设同心圆小圆半径为，大圆半径为，轴向足够长。设定区内为匀强磁场，磁场方向与轴平行，设定区外和防护区内无磁场。若一个质量为，带电荷量为的粒子在平行于圆柱横截面的平面内，以速度沿指向圆心方向入射，恰好打不到防护区内部。（不计粒子重力）求： （1）磁感应强度的大小是多少？ （2）粒子在设定区内的运动时间是多少？ 考点03 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 【深化点拨】 1．常见临界问题 (1)恰好穿出(不穿出)有界磁场的速度、轨迹半径等。 (2)在磁场中运动的最长时间、最短时间。 2．解题思路 (1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动轨迹圆。 (2)结合磁场边界找出临界条件。 (3)根据几何关系、运动规律求解。 3．常见的临界条件 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的临界条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。 (3)当速度大小v变化时，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。 处理临界极值问题的常见方法 (1)动态放缩法：当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射方向所在直线为切线，入射点为切点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件。如图1所示为粒子进入矩形边界磁场的情景。 (2)定圆旋转法：当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。如图2所示为粒子进入单边有界磁场时的情景。 (3)定圆平移法：速度大小和方向相同的一排相同粒子垂直直线边界进入匀强磁场，各粒子的轨迹圆弧可以由一个粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图3所示)。 【典例05】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【变式5-2】（多选）如图所示，xOy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为B。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为v，质量为m、电荷量为q的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度B应满足 B．若磁感应强度大小为，粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 考点04 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 【深化点拨】 1．电性、磁场方向等不确定引起的多解 (1)带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图甲，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。 (2)磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。 如图乙，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。 2．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解。 　 3．运动的周期性形成多解 由于磁场周期性变化、粒子反复与挡板碰撞等，从而使运动具有周期性导致多解。如图丁，粒子从两磁场分界线射出有多种可能。 求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性重复的多解问题，应寻找通项式；若可能出现几种解，应注意每种解出现的条件。 【典例06】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在区域，磁感应强度的大小为；区域，磁感应强度的大小为（常数）。一质量为m、电荷量为的带电粒子以速度从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，不计粒子重力，粒子第一次经y轴上的C点（图中未画出）进入第二象限。 (1)求粒子从开始计时到运动至C点的时间； (2)求粒子速度再次变为x轴正向时与O点间的距离d； (3)若，求粒子从开始计时到第二次运动至C点的时间。 【变式6-2】（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程只能为或 C．粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角只能为45° D．粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比可能为1:3 【例1】（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【变式1-1】如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．粒子b的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最短 D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 【变式1-2】（多选）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，大量比荷为的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，粒子在磁场中运动的最长时间为，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨迹半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【变式1-3】（多选）类似光学中的折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“折射”。一束质量为m、电荷量为e、速度为的质子束从Ⅰ区P点以“入射角”θ射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其在Ⅲ区出射方向与“法线”夹角为“折射角”α如图所示，“折射率”。不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。下列说法正确的是（　　） A．若想“折射角”α大于“入射角”θ，则Ⅱ区可以设置为磁场方向垂直纸面向里的匀强磁场 B．若Ⅱ区为方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度不变，增大“入射角”θ，“折射角”α也增大 C．若Ⅱ区为竖直向下的匀强电场，可以实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） D．若Ⅱ区为匀强电场，“折射角”α小于“入射角”θ，仅增大电场强度，则“折射率”n增大 【例2】（2026·云南·高考真题）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 【变式2-1】在物理学的研究中，应用“气泡室”、“云室”等装置可以显示带电粒子的径迹，如图甲所示是粒子通过气泡室的照片，带电粒子的径迹呈曲线是由于在磁场中受到洛伦兹力的作用，根据照片可以分析粒子的动量、能量及带电情况等。图乙是图甲中截选出来的某个带电粒子的轨迹，轨迹与纸面共面，A点的速度水平向右，B点的速度垂直A点的速度向下，若磁场的方向垂直纸面向里，大小为B，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子在气泡室受到的阻力总是跟速度方向相反，则关于粒子的电性和A到B的时间t，说法正确的是（　　） A．粒子带正电，条件不足，时间不可计算 B．粒子带正电，粒子从A到B时间 C．粒子带负电，条件不足，时间不可计算 D．粒子带负电，粒子从A到B时间 【变式2-2】受控核聚变（托卡马克装置）中常用磁镜装置约束带电粒子，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应产生氦和中子。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。 (1)若粒子以速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小； (2)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为的匀强磁场，如图丙所示。位于两线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子，若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角，求该粒子做螺旋线运动的螺距； (3)在（2）的条件下，求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比； 【变式2-3】（多选）图（a）是洛伦兹力演示仪，其简化模型如图（b）所示。玻璃泡以O点为圆心，励磁线圈能在玻璃泡内产生垂直于纸面向里的匀强磁场，圆心O正下方M处固定一电子枪，能水平向左射出速率为（未知）的电子，当磁感应强度大小为时，电子以O为圆心做圆周运动；若只把匀强磁场的方向反向，电子会打到玻璃泡边缘的N点，与的夹角为，的长度为。已知电子质量为，电荷量为，电子的重力不计，不考虑出射电子间的相互作用。下列说法正确的有（　　） A．电子的速率 B．电子做圆周运动的周期 C．玻璃泡的半径为 D．电子从M点到N点的时间为 【例3】（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 【变式3-1】在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，水平直线下方、上方的磁感应强度大小分别为、，且，一带正电的粒子P静止在直线下方与距离为d的位置。某时刻，粒子P爆炸分裂为带正电的粒子A和不带电的粒子B，已知粒子A的质量为m，电荷量为，以大小为的速度开始水平向右运动，一段时间后与粒子B相遇。不计粒子重力，磁场区域足够大。则（　　） A．粒子B的质量为 B．粒子B的速度大小为 C．两粒子相遇前，粒子A运动的时间为 D．两粒子相遇前，粒子B通过的距离为 【变式3-3】如图所示，在直角坐标系中，在轴上方，的范围内存在垂直于纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ，在的范围内存在垂直于纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ，区域Ⅰ、Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小相同。有一质量为、电荷量为的带正电粒子从原点以初速度沿轴射入，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求Ⅰ、Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若区域Ⅰ内匀强磁场的磁感应强度大小变为原来的，区域Ⅱ内匀强磁场保持不变，求粒子在磁场中运动的时间； (3)若区域Ⅰ内的磁场磁感应强度大小随均匀增大，即满足，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ，求值。 【例4】（多选）（2025·甘肃·高考真题）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【变式4-1】（多选）如图所示，纸面内存在以O为圆心的圆形磁场区域：内层磁场半径为2a，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；外层磁场的内半径为2a、外半径为3a，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。粒子源位于内、外磁场交界处的P点，且，向纸面内各个方向发射质量为m、电荷量为+q、速率均为v的带电粒子，粒子所受重力不计。已知粒子在内层磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为2a，在外层磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为a，不考虑内外圆交界处磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子在内层磁场中运动的最长时间为 B．粒子从P点发射后，若先进入内层磁场，则出内层磁场时的方向均与PO方向垂直 C．粒子从P点沿与PO成斜向右上的方向发射，在内层磁场中运动的圆心角为 D．若粒子依次经过内层磁场、外层磁场，调整粒子从点发射的方向，粒子可以沿外层磁场的外边界的切线方向射出磁场 【变式4-2】（多选）如图所示为扇形聚焦回旋加速器的部分原理图。将半径为R的圆形区域分成个扇形区域，相互间隔的n个圆心角相同的区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，另外n个圆心角相同的区域内没有磁场，其中有磁场区域的圆心角等于无磁场区域圆心角的一半。一群速度大小不同，质量为m，电荷量为q的同种带电粒子，依次经过2n个扇形区域在闭合轨道上做周期性运动。不考虑粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．粒子在n个磁场区域运动的时间为 B．粒子在n个无磁场区域运动的时间为 C．粒子的运动周期与n无关 D．粒子运动最大半径为 【变式4-3】托卡马克装置是采用磁场约束等离子体以实现受控核聚变的设备。如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直圆面的匀强磁场，在圆心O处向平面内发射不同速度的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为，其中速度大小为的粒子恰好被约束在磁场区域内。不计重力及粒子间相互作用。求： (1)磁感应强度的大小B； (2)速度大小为粒子的运动周期T。 1．高能粒子对撞是研究物质本质、推动科技发展的重要手段。如图，在竖直向下的匀强磁场中，同一水平面内，电荷量为、动量大小为的粒子从点水平射出，电荷量为、动量大小为的粒子从点反方向射出，两粒子运动到点时，发生正碰并结合为一个新粒子。不计粒子重力及相对论效应，则新粒子的运动轨迹（虚线）可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场区域I，磁感应强度大小为，下方存在垂直纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。一带正电粒子从虚线上的点垂直向上射入磁场区域，粒子经过两磁场区域偏转，从点出发后第一次和第二次分别到达虚线上的点（图中未画出）。已知，不计带电粒子的重力。带电粒子从点运动至点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．点位于点右侧 B．点与点重合 C．粒子在两磁场区域运动的时间之比 D．粒子在两磁场区域运动的路程之比 4．如图所示，纸面内固定的两平行长直导线、中通有大小相同、方向相反的电流，位于纸面内两导线间处（靠近）的粒子源沿平行于方向发射一速度为的带正电粒子。已知通有电流为的长直导线，在距离导线为处产生的磁场的磁感应强度为，为常量。不计粒子重力，图中虚线到、的距离相等。则粒子在导线间的运动轨迹可能正确的是（　　） A．B．C． D． 5．如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率沿PO射入，与筒壁碰撞2次后刚好从小孔射出，若此带电粒子以速率（大小未知）沿PO射入，与筒壁碰撞3次后刚好从小孔射出，每次碰撞均为弹性碰撞且电荷量保持不变，不计粒子重力，圆筒的半径R和的大小为（　　） A．； B．； C．； D．； 6．（多选）如图所示，两边界OA、OB相互垂直，在OA上方、OB右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），P点处有一粒子源，可向纸面内任意方向发射速度大小为的带电粒子。已知P点与OA、OB间的距离分别为9cm、8cm，磁感应强度大小。带电粒子质量，电荷量，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．OB边界上有粒子射出的部分长度为12cm B．OA边界上有粒子射出的部分长度为 C．如果减小带电粒子的速度大小，可以使粒子从O点射出 D．如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变 7．（多选）如图所示，纸面内存在一圆心为、半径为的圆形区域，右侧紧邻顶角为的直角三角形区域，，两个区域的切点为，为圆边界的最低点，且、、在同一水平线上，两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，圆边界下方有一群质量为，带电量为的粒子，均匀分布在以为中点，宽为的区域内，以速度竖直向上射入圆形区域。不考虑粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．所有粒子均从点离开圆形磁场 B．三角形区域内，粒子运动的最短时间为 C．粒子在三角形区域能到达的最高点与点的竖直距离小于 D．三角形区域内，有粒子经过的区域面积为 8．（多选）图甲为一底面半径为R的足够长且竖直放置的圆柱体系统。O点有一电子源，向空间各个方向发射速度大小恒定、质量为m、电量为e的电子，系统内有大小可调、方向沿中心轴向下的匀强磁场，其横截面及轴截面示意图如图乙所示。当磁感应强度大小为时，恰好没有电子落到柱体壁上。已知电子碰到柱体壁会被吸收并电中和，R、、m、e均为已知量，忽略磁场的边界效应，不计电子的重力及相互作用力。若磁感应强度大小变为，则（　　） A．垂直中心轴发射的电子落到柱体壁上的时间为 B．垂直中心轴发射的电子落到柱体壁上的时间为 C．柱体壁上落有电子的区域面积为 D．柱体壁上落有电子的区域面积为 9．（多选）如图所示，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心为O，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的P处有一粒子源，在纸面内的PO两侧与PO夹角均为30°的范围内均匀发射速率相同的粒子。沿PO方向射入的粒子，从N点射出，∠PON＝90°，已知发射的粒子质量为m、电荷量为q（q＞0），不计粒子重力及粒子之间的相互作用。求： (1)粒子的发射速率； (2)沿右侧最大发射角入射的粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形磁场边界上有粒子打到的弧长。 10．如图所示坐标系，在范围内有垂直纸面向内、磁感应强度大小为的匀强磁场。在处有一块足够大的接地金属板，若有粒子打到板上立即被吸收。原点处有一粒子源，可以沿着轴正方向发射重力不计的质量为电荷量为的粒子，速度大小可调节。 (1)若粒子能打到金属板上，求的范围； (2)若粒子速度为时，从磁场右边界点射出， ①现撤去磁场，同时在范围内加上平行于纸面的匀强电场，使得粒子仍从点射出，且速度大小、方向与从磁场中射出时相同，求所施加电场强度的大小； ②设粒子流形成的等效电流大小为，求金属板受到水平方向的作用力大小； (3)设粒子打到金属板时的纵坐标为，当时，试证明与成反比。（可能用到的近似：若） 11．如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 12．某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 (1)求离子速度v的大小 (2)c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s； (3)探测到三束离子时探测板与边界的最大距离； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 带电粒子在匀强磁场中的运动（培优讲义） 课标要点 1.理解带电粒子在匀强磁场中的运动规律。 2.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径公式和周期公式及应用。 1.会找带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径。 2.会处理带电粒子在有界磁场中运动的问题。 方法指导 考点01 带电粒子在匀强磁场中运动的半径和周期 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。 2．沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．半径公式：一个电荷量为q的粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v运动，洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m，可解得圆周运动的半径r＝。 2．周期公式：匀速圆周运动的周期T＝，将上述半径公式代入，可得T＝。 【深化点拨】 1．分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，要紧抓洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m。 2．半径公式的理解 (1)成立条件：v⊥B。 (2)粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动时，由半径公式r＝知，r与m、q、v有关。 (3)同一粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动时，由r＝知，r与v成正比。 3．周期公式的理解：两公式T＝和T＝都可以计算带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，可灵活选用。当粒子垂直进入同一匀强磁场中时，粒子速度越大，粒子做圆周运动的轨迹半径越大，但周期相同，即周期与带电粒子运动速度无关，与半径大小无关，而与带电粒子的比荷成反比。 带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中时 (1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动； (2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动； (3)当v与B既不垂直也不平行时，带电粒子做螺旋运动。 【典例01】质量1.67×10-27 kg、电荷量1.6×10-19 C的带电粒子，以5×105 m/s的初速度沿与磁场垂直的方向射入磁感应强度为0.2 T的匀强磁场。则（　　） A．电子将做匀速直线运动 B．电子所受的磁场作用大小为8×10-14N C．电子做匀速圆周运动，周期为1.64×10-7 s D．电子做匀速圆周运动，轨道半径为2.61×10-2 m 【答案】D 【详解】A．电子在磁场中受洛伦兹力提供向心力，将做匀速圆周运动，故A错误； B．电子所受的磁场作用大小为 1.6×10-14N 故B错误； CD．电子做匀速圆周运动，受洛伦兹力提供向心力有 解得 2.61×10-2 m 周期为 =3.28×10-7 s 故C错误，D正确； 故选D。 【变式1-1】1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，用以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片。下图为安德森在云室内拍下的正电子的径迹，下列判断正确的是（　　） A．正电子从上向下穿过铅板 B．磁场的方向垂直纸面向外 C．磁场力对正电子做正功 D．正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变小 【答案】A 【详解】A．由图可知，正电子在上方磁场中运动的半径大于在下方磁场中运动的半径，根据可知，则在上方磁场中的速度较大，则正电子从上向下穿过铅板，A正确； B．根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向里，B错误； C．因磁场力的方向与速度方向始终垂直，则磁场力对正电子不做功，C错误；     D．根据可知，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期不变，D错误。 故选A。 【变式1-2】用如图所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状，现将这一现象简化成如图所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度沿与x轴正方向成角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为，则下列说法错误的是（　　） A．匀强磁场的方向为沿x轴正方向 B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距将增大 C．若仅增大电子入射的初速度v₀，则直径D增大，螺距也将增大 D．若仅增大角（），则直径D增大，而螺距将减小 【答案】B 【详解】A．将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x方向速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且 沿y轴方向速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A正确不符合题意； BCD．根据洛伦兹力提供向心力及圆周运动知识又 且 解得 所以 所以若仅增大磁感应强度B，则D、均减小；若仅增大，则D、皆增大；若仅增大α角(α<90°)，则D增大，∆x将减小，故B错误符合题意，CD正确不符合题意； 故选B。 考点02 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 【深化点拨】 1．轨迹圆心的确定——解题关键 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上 已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)圆心一定在弦的中垂线上 已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 2．轨道半径的确定 方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨道半径r＝； 方法二(由几何关系求)：一般由数学知识通过计算来确定，解直角三角形是最常用的方法。 3．运动时间的确定 方法一(由圆心角求)：t＝·T； 方法二(由弧长求)：t＝。 4．要正确地识别或作出图像必须注意“4点、6线、3角” 4点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点。 6线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线。 3角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图丙所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ。 角度01 带电粒子在直线边界磁场中的运动 【解题指导】 如图甲、乙、丙所示，带电粒子进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，带电粒子的速度方向与边界夹角大小相等。 【典例02】如图所示，y轴右方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，带电粒子甲、乙从y轴上的E点同时射入磁场，粒子甲速度方向垂直于轴，粒子乙速度方向与轴正方向的夹角为，两粒子恰好同时到达轴上点。不计粒子的重力，粒子甲、乙的速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 设，由几何关系可知，， 两粒子在磁场中运动时间相同，速度之比等于运动的路程之比 故选A。 【变式2-1】如图所示，虚线MN的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，P、Q是MN上的两点。一带负电的粒子第一次以速度大小为、方向垂直MN从P点进入匀强磁场，从Q点射出磁场；第二次以速度大小为、方向与MN成30°角从P点再次进入匀强磁场，也恰好从Q点射出磁场。不计粒子重力，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出粒子两次运动的轨迹如图所示 设PQ间距为L，根据几何关系，可知粒子第一次进入磁场做匀速圆周运动的半径为 第二次的半径为 根据牛顿第二定律有 解得 可知 故选B。 角度02 带电粒子在条形、四分之一坐标平面等边界磁场中的运动 【解题指导】 1．带电粒子在条形边界磁场中运动的常见情况 2．带电粒子在四分之一坐标平面边界磁场中运动的常见情况 【典例03】如图所示，有宽度为d的匀强磁场，磁感应强度为B．电子以速度v从M点射入，从N点射出，速度方向与水平方向夹角，求电子： (1)运动轨迹的半径r； (2)比荷； (3)穿越磁场的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子轨迹如图所示 电子做圆周运动扫过的圆心角为，几何关系可知 （2）电子在磁场中运动时有 联立解得 （3）电子穿越磁场的时间 联立解得 【变式3-1】如图所示，矩形ACDE的AC边长为，AE边长为l，矩形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一不计重力的带电粒子从A点沿AC方向进入磁场，初速度大小为，恰好从D点离开磁场。已知带电粒子质量为m，带电量大小为q，则： (1)判断带电粒子的电性；求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)求带电粒子在磁场中运动时间。 【答案】(1)带负电， (2) 【详解】（1）根据左手定则可知，带电粒子带负电。粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得轨道半径为R＝2l 由洛伦兹力提供向心力可得 解得匀强磁场的磁感应强度的大小为 （2）由几何关系得，圆心角等于60°，所以 【变式3-2】如图所示的坐标系的第一象限内，有垂直于坐标平面方向向里的匀强磁场，磁感应强度为B，x轴上有A、B两点，且O、A两点距离与A、B两点距离相等都为L，y轴上的C点与O点距离也为L，现有甲、乙两粒子自A点分别以不同的速率垂直于x轴方向射入第一象限，其中甲粒子会经过B点，乙粒子会经过C点，已知两个粒子的质量均为m，所带电荷量的绝对值都为q，不计两粒子所受的重力与粒子间的相互作用力。求： (1)甲、乙两粒子的速率之比； (2)甲粒子从A点到B点所用的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示 由图可知， 根据洛伦兹力提供向心力有 得 故 （2）由得 故甲粒子从A点到B点所用的时间 角度03 带电粒子在圆形边界磁场中的运动 【解题指导】 1．若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)。 证明：如图甲，因为OA＝OB，O1A＝O1B，所以△O1OA≌△O1OB，所以∠OBO1＝90°，vB沿OB方向。 2．若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ。 证明：如图乙，因为OM＝ON，O1M＝O1N，所以△O1OM≌△O1ON，则∠ONO1＝∠OMO1，又因为∠O1MO2＝90°，∠O1NO2＝90°，所以∠ONO2＝∠OMO2＝θ。 【典例04】如图所示，一个半径为的圆形匀强磁场区中，磁感线方向垂直纸面向外，一个带电粒子，以速度沿半径方向从点射入磁场，从点离开磁场。若，则（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动轨迹半径为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．增大速度，粒子在磁场中的运动时间增长 【答案】C 【详解】A．由题知带电粒子进入磁场后顺时针偏转，在M点所受洛伦兹力方向为垂直速度方向向下，根据左手定则可判断粒子带正电，故A错误； BC．带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，根据几何关系有 解得 粒子在磁场中运动的时间为，B错误，C正确； D．增大速度，根据可知，粒子在磁场中的运动的轨道半径变大，在磁场中运动的弧长变小，则时间减小，D错误。 故选C。 【变式4-1】如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的点沿直径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转。不计重力，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，粒子两次射入磁场的运动轨迹如图所示 设磁场的圆形区域半径为r，由几何关系可知，两次轨迹圆的半径分别为， 由洛伦兹力提供向心力可知 则粒子的速度 则粒子两次的入射速度之比为 故选B。 【变式4-2】2023年10月26日，中国神舟十七号航天员乘组顺利进入中国空间站，进行为期6个月的驻留并进行大量的科学实验。由于高能宇宙射线对航天员的辐射具有非常大的危害。下图为某种磁防护方案截面图。在航天器内建立同心圆柱体形屏蔽磁场。设同心圆小圆半径为，大圆半径为，轴向足够长。设定区内为匀强磁场，磁场方向与轴平行，设定区外和防护区内无磁场。若一个质量为，带电荷量为的粒子在平行于圆柱横截面的平面内，以速度沿指向圆心方向入射，恰好打不到防护区内部。（不计粒子重力）求： （1）磁感应强度的大小是多少？ （2）粒子在设定区内的运动时间是多少？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设带电粒子的轨迹半径为，由几何关系得 解得 根据牛顿第二定律 解得 （2）带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为 ， 周期 所求时间为 考点03 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 【深化点拨】 1．常见临界问题 (1)恰好穿出(不穿出)有界磁场的速度、轨迹半径等。 (2)在磁场中运动的最长时间、最短时间。 2．解题思路 (1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动轨迹圆。 (2)结合磁场边界找出临界条件。 (3)根据几何关系、运动规律求解。 3．常见的临界条件 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的临界条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。 (3)当速度大小v变化时，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。 处理临界极值问题的常见方法 (1)动态放缩法：当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射方向所在直线为切线，入射点为切点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件。如图1所示为粒子进入矩形边界磁场的情景。 (2)定圆旋转法：当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。如图2所示为粒子进入单边有界磁场时的情景。 (3)定圆平移法：速度大小和方向相同的一排相同粒子垂直直线边界进入匀强磁场，各粒子的轨迹圆弧可以由一个粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图3所示)。 【典例05】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何关系可知 已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为 故选C。 【变式5-1】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】A 【详解】AB．粒子进入磁场向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示 由几何关系可得 则粒子的入射速度，故A正确，B错误； C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为，故C错误； D．与bc边相切恰从bc边射出粒子的对应的圆心角最大为 从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为，故D错误。 故选A。 【变式5-2】（多选）如图所示，xOy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为B。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为v，质量为m、电荷量为q的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度B应满足 B．若磁感应强度大小为，粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 【答案】BC 【详解】A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，则 由洛伦兹力提供向心力， 解得，故A错误； B．已知，根据 可得，则所有粒子不从上边界飞出， 当粒子速度沿x轴正方向发射时，粒子在磁场中的圆心角为 粒子在磁场中的运动时间最长，且，故B正确； C．若磁感应强度大小为，则所有粒子运动的区域如图中阴影部分所示 则该部分的面积，故C正确； D．若磁感应强度大小为，则粒子在磁场中运动的半径 粒子能够从上边界射出的范围如图所示，由几何关系可得该范围的宽度 ，故D错误。 故选BC。 考点04 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 【深化点拨】 1．电性、磁场方向等不确定引起的多解 (1)带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图甲，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。 (2)磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。 如图乙，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。 2．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解。 　 3．运动的周期性形成多解 由于磁场周期性变化、粒子反复与挡板碰撞等，从而使运动具有周期性导致多解。如图丁，粒子从两磁场分界线射出有多种可能。 求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性重复的多解问题，应寻找通项式；若可能出现几种解，应注意每种解出现的条件。 【典例06】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 【变式6-1】如图，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在区域，磁感应强度的大小为；区域，磁感应强度的大小为（常数）。一质量为m、电荷量为的带电粒子以速度从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，不计粒子重力，粒子第一次经y轴上的C点（图中未画出）进入第二象限。 (1)求粒子从开始计时到运动至C点的时间； (2)求粒子速度再次变为x轴正向时与O点间的距离d； (3)若，求粒子从开始计时到第二次运动至C点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中圆周运动周期为 从开始计时到运动至C点的运动轨迹为一个半圆，所以该时间为 （2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得粒子在磁场中运动半径分别为， 粒子在磁场中运动轨迹如图所示 粒子在磁场区域运动半个周期，在磁场区域运动半个周期；粒子速度再次变为x轴正向时与O点间的距离 解得 （3）若，在磁场区域周期为 则 分析可知，粒子只能从左向右第二次穿过C点，必满足 解得 此时轨迹如图所示 则时间为 解得 【变式6-2】（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程只能为或 C．粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角只能为45° D．粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比可能为1:3 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得 令粒子运动轨迹对应的圆心角之和为，则粒子运动时间 由于粒子以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，可知，当粒子在第二象限做匀速圆周运动直接到达O点后到达Q点轨迹对应圆心角最小，作出轨迹如图所示 根据几何关系可知，最小圆心角 解得粒子运动的最短时间为，故A错误； B．结合上述，根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第二象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 若粒子始终从第三象限到达O点，作出该种情景最简单的轨迹，如图所示 根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第三象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 综合上述可知，粒子运动的总路程只能为或，故B正确； C．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴负向的夹角为45°，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角为45°，故C错误； D．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:1，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角的，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:3，故D正确。 故选BD。 【例1】（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【答案】A 【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 设正方形abcd的边长为l，则，， 则有t1 < t2 = t3 故选A。 【变式1-1】如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．粒子b的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最短 D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大 【答案】B 【详解】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，说明其受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电，故A错误； B．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由可得轨道半径。由于三个粒子的质量和电荷量大小相等，所在磁场相同，由图可知，粒子的轨迹半径最大，则粒子的速度最大，根据动能公式可知，粒子的动能最大，故B正确； C．根据粒子在磁场中运动的周期，可知三个粒子运动周期相同。粒子在磁场中运动时间，其中为轨迹对应的圆心角。由图可知，粒子完成了半个圆周运动，其余两粒子、均未完成半个圆周就射出边界，因此粒子在磁场中运动的时间最长，故C错误； D．粒子在磁场中运动时受到的向心力即为洛伦兹力，由对B选项的分析可知，粒子的轨迹半径最小，说明其速度最小，因此粒子在磁场中运动时受到的向心力最小，故D错误。 故选B。 【变式1-2】（多选）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，大量比荷为的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，粒子在磁场中运动的最长时间为，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨迹半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】BCD 【详解】A．粒子刚好从BC边垂直打出，设该过程扫过的圆心角为，由 几何关系可知，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的最长时间轨迹所对的圆心角为，则有 解得 画出该粒子的运动轨迹，如下图 由几何知识得 解得，故B正确； C．由 联立解得，故C正确； D．由几何知识得扫过的面积为，故D正确。 故选BCD。 【变式1-3】（多选）类似光学中的折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“折射”。一束质量为m、电荷量为e、速度为的质子束从Ⅰ区P点以“入射角”θ射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其在Ⅲ区出射方向与“法线”夹角为“折射角”α如图所示，“折射率”。不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。下列说法正确的是（　　） A．若想“折射角”α大于“入射角”θ，则Ⅱ区可以设置为磁场方向垂直纸面向里的匀强磁场 B．若Ⅱ区为方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度不变，增大“入射角”θ，“折射角”α也增大 C．若Ⅱ区为竖直向下的匀强电场，可以实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） D．若Ⅱ区为匀强电场，“折射角”α小于“入射角”θ，仅增大电场强度，则“折射率”n增大 【答案】ABD 【详解】A．若想“折射角”α大于“入射角”θ，质子受力方向在沿入射速度方向的左侧，若Ⅱ区设置为磁场，根据左手定则可以判断，磁场方向垂直纸面向里，A正确； B．若Ⅱ区为方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度不变，则质子做匀速圆周运动的半径不变，设Ⅱ区宽度为，则有 化简可得 故增大“入射角”θ，“折射角”α也增大，B正确； C．若Ⅱ区为竖直向下的匀强电场，则质子受到竖直向下的电场力，必然穿过Ⅱ区进入Ⅲ区，不会发生“全反射”，C错误； D．若Ⅱ区为匀强电场，“折射角”α小于“入射角”θ，可以判断质子所受的电场力方向在沿入射速度方向的右侧，增大电场强度，质子所受的电场力大小增大，“折射角”α减小，根据可知，“折射率”n增大，D正确。 故选 ABD。 【例2】（2026·云南·高考真题）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 【答案】(1)，垂直纸面向里 (2) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 可得 根据几何关系可得 联立可得 根据左手定则可知磁感应强度方向垂直纸面向里。 （2）根据结合可得 电子从S点第一次到达P点转过的圆心角为，电子从S点第一次到达P点所用的时间 联立可得 【变式2-1】在物理学的研究中，应用“气泡室”、“云室”等装置可以显示带电粒子的径迹，如图甲所示是粒子通过气泡室的照片，带电粒子的径迹呈曲线是由于在磁场中受到洛伦兹力的作用，根据照片可以分析粒子的动量、能量及带电情况等。图乙是图甲中截选出来的某个带电粒子的轨迹，轨迹与纸面共面，A点的速度水平向右，B点的速度垂直A点的速度向下，若磁场的方向垂直纸面向里，大小为B，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子在气泡室受到的阻力总是跟速度方向相反，则关于粒子的电性和A到B的时间t，说法正确的是（　　） A．粒子带正电，条件不足，时间不可计算 B．粒子带正电，粒子从A到B时间 C．粒子带负电，条件不足，时间不可计算 D．粒子带负电，粒子从A到B时间 【答案】B 【详解】根据左手定则可得，粒子的电性为正电；根据 可得 根据 故选B。 【变式2-2】受控核聚变（托卡马克装置）中常用磁镜装置约束带电粒子，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应产生氦和中子。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。 (1)若粒子以速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小； (2)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为的匀强磁场，如图丙所示。位于两线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子，若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角，求该粒子做螺旋线运动的螺距； (3)在（2）的条件下，求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设极向场线圈产生的磁场大小为B，由洛伦兹力提供向心力 解得 （2）带电粒子与x轴成θ角射入环向磁场，粒子沿螺旋线运动。设粒子垂直轴向做圆周运动的周期为T，则 设粒子沿轴向做匀速运动的速度，则螺距 解得 （3）粒子垂直轴向做匀速圆周运动，设粒子刚好碰到室壁的角度为θ，由洛伦兹提供向心力 又半径为 根据速度的分解，有 可得 粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比 解得 【变式2-3】（多选）图（a）是洛伦兹力演示仪，其简化模型如图（b）所示。玻璃泡以O点为圆心，励磁线圈能在玻璃泡内产生垂直于纸面向里的匀强磁场，圆心O正下方M处固定一电子枪，能水平向左射出速率为（未知）的电子，当磁感应强度大小为时，电子以O为圆心做圆周运动；若只把匀强磁场的方向反向，电子会打到玻璃泡边缘的N点，与的夹角为，的长度为。已知电子质量为，电荷量为，电子的重力不计，不考虑出射电子间的相互作用。下列说法正确的有（　　） A．电子的速率 B．电子做圆周运动的周期 C．玻璃泡的半径为 D．电子从M点到N点的时间为 【答案】AD 【详解】A．当磁场垂直纸面向里时，电子以O为圆心做匀速圆周运动，轨道半径为d，由洛伦兹力提供向心力有 解得，故A正确； B．电子做圆周运动的周期 联立解得，故B错误； C．磁场反向后，电子轨迹圆半径r=d，电子轨迹如图 几何关系可知，故C错误； D．几何关系可知 则电子从M点到N点的时间为，故D正确。 故选AD。 【例3】（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （2）粒子在左侧磁场运动，设从MN射出时速度方向与MN的夹角为θ，由于O到的距离，结合，根据几何关系可知； 粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动，所以粒子从PQ进入右侧磁场时与PQ的夹角；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有 解得 根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距 （3）由图可知粒子在左边磁场运动的时间 粒子在右边磁场运动的时间 根据对称性可知粒子在MN左侧进出磁场的距离 所以粒子从MN到PQ过程中运动的距离为 粒子在MN和PQ之间运动的时间 综上可知粒子完成完整运动回到O点的周期为 【变式3-1】在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知 解得 粒子运动的轨迹如图所示，粒子在abd区域内偏转了，可知其圆心为b点，其运动的轨迹半径为2L，设粒子在bcd区域内运动的半径为r。 由几何关系可知 解得 故选D。 【变式3-2】如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，水平直线下方、上方的磁感应强度大小分别为、，且，一带正电的粒子P静止在直线下方与距离为d的位置。某时刻，粒子P爆炸分裂为带正电的粒子A和不带电的粒子B，已知粒子A的质量为m，电荷量为，以大小为的速度开始水平向右运动，一段时间后与粒子B相遇。不计粒子重力，磁场区域足够大。则（　　） A．粒子B的质量为 B．粒子B的速度大小为 C．两粒子相遇前，粒子A运动的时间为 D．两粒子相遇前，粒子B通过的距离为 【答案】B 【详解】ABC．粒子A获得水平向右的速度，在磁场中做匀速圆周运动，根据 可得 根据 可得 粒子B获得水平向左的速度，在水平方向做匀速直线运动，若粒子A、B相遇，则两者的运动轨迹如图所示。 相遇前粒子A运动的总时间为 根据速度公式， 根据动量守恒， 得到，故AC错误、B正确； D．根据图可得，相遇前粒子B通过的距离为，故D错误。 故选 B。 【变式3-3】如图所示，在直角坐标系中，在轴上方，的范围内存在垂直于纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ，在的范围内存在垂直于纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ，区域Ⅰ、Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小相同。有一质量为、电荷量为的带正电粒子从原点以初速度沿轴射入，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求Ⅰ、Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)若区域Ⅰ内匀强磁场的磁感应强度大小变为原来的，区域Ⅱ内匀强磁场保持不变，求粒子在磁场中运动的时间； (3)若区域Ⅰ内的磁场磁感应强度大小随均匀增大，即满足，粒子恰好不能进入磁场区域Ⅱ，求值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设Ⅰ、Ⅱ区域匀强磁场磁感应强度大小为B，粒子恰不进入磁场区域Ⅱ，则粒子在磁场区域Ⅰ中轨道半径 根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子在磁场区域Ⅰ中，轨道半径为 根据牛顿第二定律 解得 如图，由几何关系得，即 粒子在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的周期 粒子在磁场区域Ⅰ中运动的时间为，则 解得 在磁场区域Ⅱ中，粒子做圆周运动的半径为 设粒子射出磁场区域Ⅱ时的半径与上边界的夹角为，由几何关系得 粒子在磁场区域Ⅱ中做圆周运动的周期 在磁场区域Ⅱ中运动时间 粒子在磁场中运动的总时间 解得 （3） 粒子恰不进入磁场区域Ⅱ中，即当粒子运动至时，速度方向为水平向右，速度大小仍为 在x轴方向应用动量定理 其中 由题意知，所以为图像的面积，即 解得 【例4】（多选）（2025·甘肃·高考真题）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】BD 【详解】由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点， 根据a粒子的速度大小为 可得 设外圆半径等于,由几何关系得 则 A错误； B．由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间 a粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间 匀速直线运动的时间 故a粒子返回A点所用的最短时间为 B正确； C．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C错误； D．由几何关系得 洛伦兹力提供向心力有 联立解得 D正确。 故选BD。 【变式4-1】（多选）如图所示，纸面内存在以O为圆心的圆形磁场区域：内层磁场半径为2a，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；外层磁场的内半径为2a、外半径为3a，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。粒子源位于内、外磁场交界处的P点，且，向纸面内各个方向发射质量为m、电荷量为+q、速率均为v的带电粒子，粒子所受重力不计。已知粒子在内层磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为2a，在外层磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为a，不考虑内外圆交界处磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子在内层磁场中运动的最长时间为 B．粒子从P点发射后，若先进入内层磁场，则出内层磁场时的方向均与PO方向垂直 C．粒子从P点沿与PO成斜向右上的方向发射，在内层磁场中运动的圆心角为 D．若粒子依次经过内层磁场、外层磁场，调整粒子从点发射的方向，粒子可以沿外层磁场的外边界的切线方向射出磁场 【答案】BD 【详解】A．粒子在内层磁场的运动的轨迹圆半径等于内层圆形区域半径，满足磁发散的规律，故内层磁场中粒子轨迹圆心角最大值为，粒子运动的最长时间为，故A错误； B．粒子从点发射后，先进入内层磁场，内层磁场的半径与粒子在内层磁场中运动的轨迹半径均为，由磁发散可知，出内层磁场的速度方向均与连线垂直，故B正确； C．粒子沿与成斜向右上的方向发射时，由磁发散的规律可知，无论角度如何，都是垂直于连线竖直向上从内层磁场射出，故运动的圆心角是，故C错误； D．粒子从点沿某方向发射，必从内层磁场边界以竖直向上速度射出；在外层磁场中，粒子所受洛伦兹力向右，粒子向右偏转，因此调整发射方向可改变射出点位置，使粒子可以沿外层磁场的外边界的切线方向射出磁场，故D正确。 故选BD。 【变式4-2】（多选）如图所示为扇形聚焦回旋加速器的部分原理图。将半径为R的圆形区域分成个扇形区域，相互间隔的n个圆心角相同的区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，另外n个圆心角相同的区域内没有磁场，其中有磁场区域的圆心角等于无磁场区域圆心角的一半。一群速度大小不同，质量为m，电荷量为q的同种带电粒子，依次经过2n个扇形区域在闭合轨道上做周期性运动。不考虑粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．粒子在n个磁场区域运动的时间为 B．粒子在n个无磁场区域运动的时间为 C．粒子的运动周期与n无关 D．粒子运动最大半径为 【答案】ABD 【详解】A．粒子在磁场中 由于粒子做周期性运动，根据对称性可将粒子一个周期内在磁场中的运动连成一个完整的圆 所以粒子在n个磁场中运动的时间为，故A正确。 B．由图易知 则 又， 粒子在无磁场区域运动时间，故B正确。 C．粒子运动周期，与n有关，故C错误。 D．当粒子在磁场中运动轨迹与圆形区域相切时，半径最大，由 可得，故D正确。 故选ABD。 【变式4-3】托卡马克装置是采用磁场约束等离子体以实现受控核聚变的设备。如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直圆面的匀强磁场，在圆心O处向平面内发射不同速度的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为，其中速度大小为的粒子恰好被约束在磁场区域内。不计重力及粒子间相互作用。求： (1)磁感应强度的大小B； (2)速度大小为粒子的运动周期T。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）速度为​的粒子恰好被约束在磁场中，说明粒子运动轨迹的最大半径满足：恰好不射出磁场时，轨迹直径等于磁场区域半径，即 得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： 代入 整理得： （2）带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关，周期公式为： 将代入公式，整理得： 1．高能粒子对撞是研究物质本质、推动科技发展的重要手段。如图，在竖直向下的匀强磁场中，同一水平面内，电荷量为、动量大小为的粒子从点水平射出，电荷量为、动量大小为的粒子从点反方向射出，两粒子运动到点时，发生正碰并结合为一个新粒子。不计粒子重力及相对论效应，则新粒子的运动轨迹（虚线）可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两粒子发生正碰，动量守恒，碰撞后新粒子的动量为，电荷量变为，新粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，则有 解新粒子的半径为 同理，碰撞前，粒子做匀速圆周运动的半径为 粒子做匀速圆周运动的半径为 所以碰撞后的新粒子做匀速圆周运动的半径比碰撞前粒子的半径都小，结合左手定则，故A符合题意。 故选A。 2．如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得 故选C。 3．如图所示，水平虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场区域I，磁感应强度大小为，下方存在垂直纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。一带正电粒子从虚线上的点垂直向上射入磁场区域，粒子经过两磁场区域偏转，从点出发后第一次和第二次分别到达虚线上的点（图中未画出）。已知，不计带电粒子的重力。带电粒子从点运动至点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．点位于点右侧 B．点与点重合 C．粒子在两磁场区域运动的时间之比 D．粒子在两磁场区域运动的路程之比 【答案】D 【详解】AB．根据左手定则可知，粒子在两磁场中均向左偏转，故点在点左侧，故AB错误； CD．带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有 解得 其中 则两半径之比 路程之比 时间之比，故C错误，D正确。 故选D。 4．如图所示，纸面内固定的两平行长直导线、中通有大小相同、方向相反的电流，位于纸面内两导线间处（靠近）的粒子源沿平行于方向发射一速度为的带正电粒子。已知通有电流为的长直导线，在距离导线为处产生的磁场的磁感应强度为，为常量。不计粒子重力，图中虚线到、的距离相等。则粒子在导线间的运动轨迹可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】根据安培定则可知，两导线中的电流在导线间任一点产生的磁场方向均相同，设两导线间的距离为，距离导线为处磁场的磁感应强度 当时，最小，带电粒子在磁场中运动过程中，速度大小不变，由，解得轨迹的曲率半径 即在虚线附近曲率半径较大，靠近导线处曲率半径较小，可能正确的是C。 故选C。 5．如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率沿PO射入，与筒壁碰撞2次后刚好从小孔射出，若此带电粒子以速率（大小未知）沿PO射入，与筒壁碰撞3次后刚好从小孔射出，每次碰撞均为弹性碰撞且电荷量保持不变，不计粒子重力，圆筒的半径R和的大小为（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【详解】由题意可知粒子经过2次碰撞从小孔P射出磁场的圆心组成的三角形应为以筒壁为内接圆的正三角形。如图所示 由几何关系，粒子圆周运动半径 设带电粒子的电荷量为q，质量为m，磁场的磁感应强度为B，则洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 若粒子经过3次碰撞从小孔P射出磁场的圆心组成的图形应为以筒壁为内接圆的正方形。粒子圆周运动半径 洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 故选D。 6．（多选）如图所示，两边界OA、OB相互垂直，在OA上方、OB右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），P点处有一粒子源，可向纸面内任意方向发射速度大小为的带电粒子。已知P点与OA、OB间的距离分别为9cm、8cm，磁感应强度大小。带电粒子质量，电荷量，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．OB边界上有粒子射出的部分长度为12cm B．OA边界上有粒子射出的部分长度为 C．如果减小带电粒子的速度大小，可以使粒子从O点射出 D．如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图甲所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故A错误； B．作出OA边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图乙所示 根据几何关系可知，OA边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故B正确； C．结合上述图甲与图乙可知，如果减小带电粒子的速度大小，粒子轨道半径减小，粒子从可以使粒子从O点射出OA、OB上射出部分长度减小，但粒子不可能从O点射出，故C错误； D．如果将磁场改为垂直纸面向里，作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图丙所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 解得 即如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变，故D正确。 故选BD。 7．（多选）如图所示，纸面内存在一圆心为、半径为的圆形区域，右侧紧邻顶角为的直角三角形区域，，两个区域的切点为，为圆边界的最低点，且、、在同一水平线上，两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，圆边界下方有一群质量为，带电量为的粒子，均匀分布在以为中点，宽为的区域内，以速度竖直向上射入圆形区域。不考虑粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．所有粒子均从点离开圆形磁场 B．三角形区域内，粒子运动的最短时间为 C．粒子在三角形区域能到达的最高点与点的竖直距离小于 D．三角形区域内，有粒子经过的区域面积为 【答案】ABD 【详解】A．由 可得 因此所有粒子射入圆形磁场后都将从点进入三角形区域，A正确； B．如图甲，在三角形区域，从点射出的粒子用时最短，由几何关系知此粒子轨迹圆圆心角为，由 可知，B正确； C．如图乙，从最右端射入的粒子在三角形区域能到达的高度最高，其轨迹恰好与边相切，最大高度为，C错误； D．如图丁，阴影部分为有粒子经过的区域，其面积为，D正确。 故选ABD。 8．（多选）图甲为一底面半径为R的足够长且竖直放置的圆柱体系统。O点有一电子源，向空间各个方向发射速度大小恒定、质量为m、电量为e的电子，系统内有大小可调、方向沿中心轴向下的匀强磁场，其横截面及轴截面示意图如图乙所示。当磁感应强度大小为时，恰好没有电子落到柱体壁上。已知电子碰到柱体壁会被吸收并电中和，R、、m、e均为已知量，忽略磁场的边界效应，不计电子的重力及相互作用力。若磁感应强度大小变为，则（　　） A．垂直中心轴发射的电子落到柱体壁上的时间为 B．垂直中心轴发射的电子落到柱体壁上的时间为 C．柱体壁上落有电子的区域面积为 D．柱体壁上落有电子的区域面积为 【答案】AC 【详解】AB．根据洛伦兹力提供向心力有 又 联立得， 当磁感应强度大小为时，恰好没有电子落到柱体壁上，即垂直于中心轴射出的电子的运动轨迹与圆柱面相切，如图所示 该电子圆周运动的半径为 周期为 若磁感应强度大小变为，则圆周运动的半径 周期 该电子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，该电子在磁场中圆周运动的圆心角为，垂直中心轴发射的电子落到柱体壁上的时间为，故A正确，B错误； CD．设磁感应强度大小为时，与中心轴成角射出的电子的运动轨迹恰好与圆柱面相切，则有 又 解得 即 该电子到达圆柱面上所用时间为 该电子到达圆柱面上时沿平行于中心轴方向的位移大小为 根据对称性可知，柱体壁上落有电子的区域展开后是一个长为、宽为的矩形，其面积为，故C正确，D错误。 故选AC。 9．（多选）如图所示，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心为O，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的P处有一粒子源，在纸面内的PO两侧与PO夹角均为30°的范围内均匀发射速率相同的粒子。沿PO方向射入的粒子，从N点射出，∠PON＝90°，已知发射的粒子质量为m、电荷量为q（q＞0），不计粒子重力及粒子之间的相互作用。求： (1)粒子的发射速率； (2)沿右侧最大发射角入射的粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形磁场边界上有粒子打到的弧长。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）几何关系可得带电粒子运动半径为R 由 得 （2）由几何关系得，粒子在磁场中偏转圆心角 带电粒子在磁场内运动周期 得粒子运动时间 （3）由磁发散特点知，沿右侧最大发射角入射的粒子，出射时速度偏向角为 出射点位置为M， 沿左侧最大发射角入射的粒子，出射时速度偏向角为 出射点位置为Q， 则有粒子打到的弧长 10．如图所示坐标系，在范围内有垂直纸面向内、磁感应强度大小为的匀强磁场。在处有一块足够大的接地金属板，若有粒子打到板上立即被吸收。原点处有一粒子源，可以沿着轴正方向发射重力不计的质量为电荷量为的粒子，速度大小可调节。 (1)若粒子能打到金属板上，求的范围； (2)若粒子速度为时，从磁场右边界点射出， ①现撤去磁场，同时在范围内加上平行于纸面的匀强电场，使得粒子仍从点射出，且速度大小、方向与从磁场中射出时相同，求所施加电场强度的大小； ②设粒子流形成的等效电流大小为，求金属板受到水平方向的作用力大小； (3)设粒子打到金属板时的纵坐标为，当时，试证明与成反比。（可能用到的近似：若） 【答案】(1) (2)①；② (3)见解析 【详解】（1）由题意，根据放缩圆模型，可知粒子半径 结合， 可得若粒子能打到金属板上 （2）①若粒子速度为时，粒子运动半径 粒子离开磁场的点坐标为 由对称性知，电场方向与轴正方向成，指向左上，又有 得 ②电流 作用力 其中为单位时间内通过的粒子数，得 （3）如图所示，可得 由几何知识得， 联立可得与成反比。 11．如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）沿方向入射的粒子恰好经过点，则轨迹圆半径 由牛顿第二定律得 解得比荷 （2）由图可知，粒子从点沿偏右射入在磁场中运动时间最长，在第一象限没有磁场区域运动的位移也最大，故总时间最长。 磁场中运动为三分之一周长， 第一象限没有磁场区域运动的位移 时间 粒子在第一象限内运动的最长时间为 （3）由可知，所有粒子从磁场区域离开时，速度方向均垂直于轴，如图所示 设磁场区域上有粒子离开的最低点为，最高点为，根据几何关系可知，点与圆心重合，右侧轨迹经过点，则有 有粒子经过区域为虚线阴影部分，灰色阴影部分面积相等，则有粒子经过磁场区域的面积 12．某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 (1)求离子速度v的大小 (2)c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s； (3)探测到三束离子时探测板与边界的最大距离； 【答案】(1) (2)0.8R (3) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）设c束离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界HG边的Q点射出，根据几何关系可得OH=0.6R c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离 （3）a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O'，从磁场边界HG边射出时距离H点的距离为x,由几何关系可得：HO'=aH-R=0.6R， 即a、c束中的离子从同一点Q射出，如图所示； 离开磁场的速度分别与竖直方向的夹角为β、α，由几何关系可得：α=β，探测到三束离子，则c束中离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界HG的距离最大，根据几何关系可得： 解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $