第1～4章综合能力评价 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习涵盖二次函数、概率、圆、相似三角形等知识点，通过基础、中档、拔高三层设计，实现从单一概念到复杂综合的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数顶点、概率计算、相似判定基础|选择题1-2、填空题11-12、解答题17-19，侧重概念理解与基本运算，培养运算能力| |中档|圆的性质、相似三角形应用、二次函数图象|选择题3-5、填空题13-14、解答题20-21，结合图形与推理，发展几何直观与推理意识| |拔高|动态几何、新定义问题、最值综合|选择题6-10、填空题15-16、解答题22-24，融入实际情境与复杂推理，提升创新意识与模型观念|

第1~4章综合能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.二次函数y=x2＋4x＋5的图象的顶点坐标为( ) A.(2，5) B.(－2，5) C.(2，1) D.(－2，1) 2.某班级计划举办手抄报展览，确定了“无人机”“人工智能”“机器人”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“人工智能”的概率是( ) A. 3.如图，P是☉O外一点，点A，B在☉O上，PA交☉O于点C，PB交☉O于点D。若=80°，∠P=28°，则∠CAD的度数为( ) A.10° B.12° C.14° D.20° 第3题图　 　　　第4题图　　　 　第5题图 4.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，下列四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的是( ) A.AD·BC=AB·BD B.AB2=AD·AC C.∠ABD=∠CBD D.AB·BC=AC·BD 5.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC，交BC于点F，，S△AED=4，则S四边形EFCD=( ) A.16 B.20 C.24 D.25 6.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1，0)，(5，0)，图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)。若当x1＜－1＜x2＜5＜x3时，均有y1＞y3＞y2，则下列说法中正确的是( ) A.a＜0 B.x=2时，y有最大值 C.y1y2y3＜0 D.|x1－2|＜|x3－2| 7.如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，∠C=45°。若AB=，AC=2，则EF的长为( ) A. B.1－－1 D. 8.已知函数y=x2＋x－1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是－，则m的取值范围是( ) A.m≥－2 B.－1≤m≤－ C.－2≤m≤－ D.m≤－ 9.如图，AB为☉O的直径，BC是弦，将绕着点A按逆时针方向旋转得到，点D恰好落在☉O上，与AB相交于点E。若OE=BE=2，则BC的长为( ) A.4 B.3 C.2 　　　 10.如图，在△ABC中，D是边BC上的点(不与点B，C重合)。过点D作DE∥AB，交AC于点E；过点D作DF∥AC，交AB于点F，N是线段BF上的点，BN=2NF；M是线段DE上的点，DM=2ME。若已知△CMN的面积，则一定能求出( ) A.△AFE的面积 B.△BDF的面积 C.△BCN的面积 D.△DCE的面积 　　 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率是  。  12.(3分)如图，等边三角形ABC的顶点A在☉O上，边AB，AC与☉O分别相交于点D，E，F是上的一点，且与点D，E不重合，连结DF，EF，则∠DFE的度数为　　°。  第12题图 第13题图 13.(3分)有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2＋bx(a≠0)来表示，已知OA=8米，在距离点O的2米处测得棚高BC为米。在横梁DE(DE∥OA)下方建一个门，门的高度为1.5 米，则横梁DE的长度是　　米。  14.(3分)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△DOE∶S△COA=1∶25，则S△BDE∶S△ADE=  　。  15.(3分)如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是　 。  　　　 16.(3分)如图，☉O的直径AB为8，弦CD经过OA的中点P，则PC2＋PD2的最小值为　 。  　　 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形。 (1)(4分)在图2中画一个与图1中△ABC相似的三角形DEF。 (2)(4分)在图3中，以O为位似中心，画一个三角形A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2∶1。 18.(8分)有一个转盘如图所示。 (1)(3分)转盘自由转动一次，指针落在黄色区域的概率为  　。  (2)(5分)转盘自由转动两次，请用列表或画树状图的方法求出指针一次落在黄色区域，另一次落在红色区域的概率。 19.(8分)综合与实践：制定商品定价策略。 【素材】某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目。已知每条手链的成本为5元，初始定价为10元时，预计每天可售出30条。若定价每提高1元，销量会减少2条，每降低1元，销量增加2条，为最大化收益，班级需制定科学定价策略。 【问题解决】任务1：(1)(2分)设手链定价为x元(x＞5)，则销量为　　条(用含x的代数式表示)。  任务2：(2)①(3分)若班级希望每天利润为128元，那么手链的定价应为多少元？ ②(3分)当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值。 20.(8分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结DE。有以下四个条件：①∠AED=∠B；②∠BDE＋∠C=180°；③AD·AB=AE·AC；④。 (1)(4分)请你从中任选一个条件，使得△ABC∽△AED，并说明理由(注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分)。 (2)(4分)在(1)的前提下，若E为AC的中点，AE=2AD=6，求线段AB的长。 21.(8分)如图，在△ABC中，F是AB的中点，DF∥AC，交BC于点D，G为BD上一点，连结AG，交DF于点E。 (1)(4分)求证：。 (2)(4分)若BG=GD，AC=9，求DE的长。 22.(10分)新定义：在平面直角坐标系中，若A(x，y)是函数图象上任意一点，则其纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”。函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”。 例如：已知点A(1，3)在函数y=2x＋1的图象上，则点A(1，3)的“纵横值”为y－x=3－1=2； 函数y=2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x=2x＋1－x=x＋1，当3≤x≤6时，x＋1可取最大值6＋1=7，所以函数y=2x＋1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7。 根据以上信息，解答下列问题： (1)(4分)①(2分)点B(－6，2)的“纵横值”为　　。  ②(2分)求函数y=－5x(2≤x≤4)的“最优纵横值”。 (2)(3分)若二次函数y=－x2＋bx＋c的顶点在直线x=上，且“最优纵横值”为5，求c的值。 (3)(3分)若二次函数y=－x2＋(2b＋1)x－b2＋3，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为2，求b的值。 23.(10分)有一块直角三角形木板，它的一条直角边BC的长为2 m，面积为1.5 m2。 (1)(5分)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大。 (2)(5分)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个矩形桌面。请分别求出图3、图4中矩形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值。 24.(12分)如图，已知△ABC内接于☉O，AB=AC，过圆心O作OD⊥AC，交AC于点D，交☉O于点E，射线AE交BC的延长线于点F。 (1)(4分)求证：∠ACB=2∠CAF。 (2)(4分)若OA=5，AB=6，求EF的长。 (3)(4分)若直线OD与直线BC相交于点G，且BG=CF，求∠ABC的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1~4章综合能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.二次函数y=x2＋4x＋5的图象的顶点坐标为(　D　) A.(2，5) B.(－2，5) C.(2，1) D.(－2，1) 2.某班级计划举办手抄报展览，确定了“无人机”“人工智能”“机器人”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“人工智能”的概率是(　C　) A. 3.如图，P是☉O外一点，点A，B在☉O上，PA交☉O于点C，PB交☉O于点D。若=80°，∠P=28°，则∠CAD的度数为(　B　) A.10° B.12° C.14° D.20° 第3题图　 　　　第4题图　　　 　第5题图 4.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，下列四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的是(　B　) A.AD·BC=AB·BD B.AB2=AD·AC C.∠ABD=∠CBD D.AB·BC=AC·BD 5.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC，交BC于点F，，S△AED=4，则S四边形EFCD=(　B　) A.16 B.20 C.24 D.25 【解析】 ∵DE∥BC，EF∥AC， ∴∠AED=∠B，∠BEF=∠A，四边形EFCD是平行四边形，， ∴△AED∽△EBF， ∴， ∴S△EBF=25，∴S▱EFCD=S△EBF×2=20。 6.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1，0)，(5，0)，图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)。若当x1＜－1＜x2＜5＜x3时，均有y1＞y3＞y2，则下列说法中正确的是(　C　) A.a＜0 B.x=2时，y有最大值 C.y1y2y3＜0 D.|x1－2|＜|x3－2| 【解析】 由题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x==2， ∴a＞0，当x=2时，y有最小值， 且y1＞0，y2＜0，y3＞0，A，B错误， ∴y1y2y3＜0，C正确。 ∵y1＞y3，∴(x1，y1)到对称轴的距离大于点(x3，y3)到对称轴的距离， 即|x1－2|＞|x3－2|，D错误。 7.如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，∠C=45°。若AB=，AC=2，则EF的长为(　B　) A. B.1－－1 D. 【解析】 由已知易得AD=CD=，∠EBC=45°，∴FD=BD==1， ∴AF=AD－FD=－1，BF=。 易证△BFD∽△AFE，∴，即，∴EF=1－。 8.已知函数y=x2＋x－1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是－，则m的取值范围是(　C　) A.m≥－2 B.－1≤m≤－ C.－2≤m≤－ D.m≤－ 【解析】 ∵函数y=x2＋x－1的对称轴为直线x=－， ∴当x=－时，y有最小值，此时y=－1=－。 ∵函数y=x2＋x－1在m≤x≤1上的最小值是－，∴m≤－。 ∵当x=1时，y=1＋1－1=1，对称轴为直线x=－， ∴当x=－－1－－=－2时，y=1。 ∵函数y=x2＋x－1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤－，∴－2≤m≤－。 9.如图，AB为☉O的直径，BC是弦，将绕着点A按逆时针方向旋转得到，点D恰好落在☉O上，与AB相交于点E。若OE=BE=2，则BC的长为(　C　) A.4 B.3 C.2 　　　 第9题答图 【解析】 连结CD，交AB于点F，连结AC，DE，OC，BD，如答图所示。 ∵OE=BE=2，∴OB=OE＋BE=4，∴OC=4。 由旋转的性质可知，∴AC=AD。 ∵AB是☉O的直径，∴CD⊥AB，∴BC=BD，∠CAB=∠DAB。 ∵所在的圆与☉O是等圆，∠CAB=∠DAB， ∴，∴BC=DE，∴BD=DE。 又∵CD⊥AB，∴BF=EF=BE=1， ∴OF=OB－BF=4－1=3。 在Rt△OCF中，由勾股定理得CF=。 在Rt△BCF中，由勾股定理得BC==2。 10.如图，在△ABC中，D是边BC上的点(不与点B，C重合)。过点D作DE∥AB，交AC于点E；过点D作DF∥AC，交AB于点F，N是线段BF上的点，BN=2NF；M是线段DE上的点，DM=2ME。若已知△CMN的面积，则一定能求出(　D　) A.△AFE的面积 B.△BDF的面积 C.△BCN的面积 D.△DCE的面积 　　　 第10题答图 【解析】 如答图，连结DN。 ∵DE∥AB，∴∠CDE=∠CBA。 ∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BCA，∴△BDF∽△DCE，∴。 ∵BN=2NF，DM=2ME，∴，∴， ∴△BDN∽△DCM，∴∠BDN=∠DCM， ∴DN∥CM，∴S△CMN=S△CMD。 ∵DM=2ME，∴S△CDE=S△CMD=S△CMN， ∴若已知△CMN的面积，则一定能求出△DCE的面积。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率是  　。  12.(3分)如图，等边三角形ABC的顶点A在☉O上，边AB，AC与☉O分别相交于点D，E，F是上的一点，且与点D，E不重合，连结DF，EF，则∠DFE的度数为　120　°。  第12题图 第13题图 13.(3分)有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2＋bx(a≠0)来表示，已知OA=8米，在距离点O的2米处测得棚高BC为米。在横梁DE(DE∥OA)下方建一个门，门的高度为1.5 米，则横梁DE的长度是　4　米。  【解析】 由题意得，抛物线经过点，(8，0)，故解得 故抛物线的表达式为y=－x2＋x。 当y=1.5时，1.5=－x2＋x， 解得x1=4＋2，x2=4－2， 故DE=x1－x2=4＋2－(4－2)=4(米)， 则横梁DE的长度是4米。 14.(3分)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△DOE∶S△COA=1∶25，则S△BDE∶S△ADE=  　。  【解析】 ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， ∴=2=，∴。 ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴，∴。 15.(3分)如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是　2＋2　。  　　　 第15题答图 【解析】 如答图，连结BE，交AC于O。 ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CBA=∠BAE=(5－2)×180°÷5=108°，BC=AB=AE， ∴∠BCA=∠BAC=∠ABE=∠AEB=(180°－108°)÷2=36°， ∴∠CBO=∠ABC－∠ABE=108°－36°=72°， ∴∠BOC=180°－∠CBO－∠BCA=180°－72°－36°=72°， ∴∠CBO=∠BOC=72°， ∴CO=BC=4。 ∵∠BAO=∠CAB，∠ABO=36°=∠BCA， ∴△ABO∽△ACB， ∴，即， ∴AC=2＋2或AC=2－2(舍去)， ∴AC=2＋2。 16.(3分)如图，☉O的直径AB为8，弦CD经过OA的中点P，则PC2＋PD2的最小值为　24　。  　　　 第16题答图 【解析】 如答图，过点O作OE⊥CD于点E，连结OC，则CE=DE。 ∵P为OA的中点，AB=8，∴OP=2，OC=4。 ∵DP=DE－PE=CE－PE，PC=CE＋PE， ∴PC2＋PD2=(CE＋PE)2＋(CE－PE)2=2CE2＋2PE2=2(OC2－OE2)＋2(OP2－OE2) =2OC2＋2OP2－4OE2=2×42＋2×22－4OE2=40－4OE2。 当OE的值最大时，PC2＋PD2有最小值。 ∵OE≤OP，∴当点E位于点P的位置时，OE取最大值2。 当OE=2时，PC2＋PD2=40－4×22=24。 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形。 (1)(4分)在图2中画一个与图1中△ABC相似的三角形DEF。 (2)(4分)在图3中，以O为位似中心，画一个三角形A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2∶1。 解：(1)如答图1，△DFE为所作。 第17题答图 (2)如答图2，△A1B1C1为所作。 18.(8分)有一个转盘如图所示。 (1)(3分)转盘自由转动一次，指针落在黄色区域的概率为  　。  (2)(5分)转盘自由转动两次，请用列表或画树状图的方法求出指针一次落在黄色区域，另一次落在红色区域的概率。 解：(2)画树状图如答图。 第18题答图 共有9种等可能的结果，其中指针一次落在黄色区域，另一次落在红色区域的结果有4种， 则指针一次落在黄色区域，另一次落在红色区域的概率P=。 19.(8分)综合与实践：制定商品定价策略。 【素材】某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目。已知每条手链的成本为5元，初始定价为10元时，预计每天可售出30条。若定价每提高1元，销量会减少2条，每降低1元，销量增加2条，为最大化收益，班级需制定科学定价策略。 【问题解决】任务1：(1)(2分)设手链定价为x元(x＞5)，则销量为　(50－2x)　条(用含x的代数式表示)。  任务2：(2)①(3分)若班级希望每天利润为128元，那么手链的定价应为多少元？ ②(3分)当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值。 解：(1)∵手链定价为x元(x＞5)，且定价每提高1元，销量会减少2条，每降低1元，销量增加2条， ∴①当提价销售时，销量为：30－2(x－10)=(50－2x)条； ②当降价销售时，销量为30＋2(10－x)=(50－2x)条。 综上所述，设手链定价为x元(x＞5)，则销量为(50－2x)条。 (2)①由题意，得(x－5)(50－2x)=128， ∴x2－30x＋189=0，解得x1=9，x2=21。 答：若要每天获利128元，手链的定价应为9元或21元。 ②由题意可得，利润w=(x－5)(50－2x)=－2x2＋60x－250=－2(x－15)2＋200， ∴当手链定价为15元时利润最大，最大值为200元。 20.(8分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结DE。有以下四个条件：①∠AED=∠B；②∠BDE＋∠C=180°；③AD·AB=AE·AC；④。 (1)(4分)请你从中任选一个条件，使得△ABC∽△AED，并说明理由(注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分)。 (2)(4分)在(1)的前提下，若E为AC的中点，AE=2AD=6，求线段AB的长。 解：(1)选条件②∠BDE＋∠C=180°。理由如下： ∵∠BDE＋∠C=180°，∠BDE＋∠ADE=180°，∴∠C=∠ADE。 ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AED。(答案不唯一，也可选择①或③) (2)∵AE=2AD=6，∴AD=3。∵E为AC的中点，∴AC=2AE=12。 ∵△ABC∽△AED，∴， ∴AD·AB=AE·AC，∴3AB=6×12，∴AB=24，∴线段AB的长为24。 21.(8分)如图，在△ABC中，F是AB的中点，DF∥AC，交BC于点D，G为BD上一点，连结AG，交DF于点E。 (1)(4分)求证：。 (2)(4分)若BG=GD，AC=9，求DE的长。 解：(1)∵DF∥AC，∴。 ∵F是AB的中点，∴BF=FA，∴BD=CD，∴。 (2)∵BG=GD，BD=CD，∴。 ∵DF∥AC，∴△EGD∽△AGC，∴。 又∵AC=9，∴DE=3。 22.(10分)新定义：在平面直角坐标系中，若A(x，y)是函数图象上任意一点，则其纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”。函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”。 例如：已知点A(1，3)在函数y=2x＋1的图象上，则点A(1，3)的“纵横值”为y－x=3－1=2； 函数y=2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x=2x＋1－x=x＋1，当3≤x≤6时，x＋1可取最大值6＋1=7，所以函数y=2x＋1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7。 根据以上信息，解答下列问题： (1)(4分)①(2分)点B(－6，2)的“纵横值”为　8　。  ②(2分)求函数y=－5x(2≤x≤4)的“最优纵横值”。 (2)(3分)若二次函数y=－x2＋bx＋c的顶点在直线x=上，且“最优纵横值”为5，求c的值。 (3)(3分)若二次函数y=－x2＋(2b＋1)x－b2＋3，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为2，求b的值。 解：(1)②y－x=－5x－x=－6x。 ∵2≤x≤4，∴－24≤y≤－12，∴函数y=－5x(2≤x≤4)的“最优纵横值”为－12。 (2)∵抛物线的顶点在直线x=上，∴，∴b=3， ∴y=－x2＋3x＋c，∴y－x=－x2＋2x＋c=－(x－1)2＋c＋1。 ∵“最优纵横值”为5，∴c＋1=5，解得c=4。 (3)∵y－x=－x2＋2bx－b2＋3=－(x－b)2＋3， ∴当x=b时，y－x有最大值3。 而二次函数的“最优纵横值”为2，∴b＞4或b＜－1。 若b＞4，则当x=4时的“纵横值”为“最优纵横值”， ∴－(4－b)2＋3=2，解得b=5或b=3(舍去)； 若b＜－1，同理可得－(－1－b)2＋3=2，解得b=0(舍去)或b=－2。 综上所述，b的值为5或－2。 23.(10分)有一块直角三角形木板，它的一条直角边BC的长为2 m，面积为1.5 m2。 (1)(5分)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大。 (2)(5分)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个矩形桌面。请分别求出图3、图4中矩形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值。 解：(1)∵BC=2 m，面积为1.5 m2，∴AC==1.5(m)， ∴AB==2.5(m)。 设正方形的边长为 x (m)， 在图1中，∵四边形CDEF是正方形， ∴DE∥CF，DE=CD=x(m)，AD=(1.5－x)m。 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB， ∴，即，解得x=。 在图2中，∵四边形GDEF是正方形， ∴DE∥GF，∴△DEC∽△ABC， ∴，∴， ∴DC=x(m)，∴AD=AC－DC=m。 ∵∠A=∠A，∠AGD=∠C=90°， ∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得x=。 ∵，∴图1的正方形面积较大。 (2)在图3中，四边形CDEF是矩形， ∵DE∥CF，∴△ADE∽△ACB， ∴易得，则AD=x(m)， ∴DC=AC－AD= m， ∴矩形的面积y=DE·DC=x·=－(x－1)2＋。 ∵－＜0，∴当x=1时，矩形的面积有最大值 m2。 在图4中，∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC， ∴易得，∴DC=x(m)， ∴DA=AC－DC=m。 ∵∠A=∠A，∠AGD=∠C=90°， ∴△ADG∽△ABC，∴， ∴DG=DA=m， ∴矩形的面积y=DE·DG=x·=－。 ∵－＜0，∴当x=时，长方形的面积有最大值 m2。 24.(12分)如图，已知△ABC内接于☉O，AB=AC，过圆心O作OD⊥AC，交AC于点D，交☉O于点E，射线AE交BC的延长线于点F。 (1)(4分)求证：∠ACB=2∠CAF。 (2)(4分)若OA=5，AB=6，求EF的长。 (3)(4分)若直线OD与直线BC相交于点G，且BG=CF，求∠ABC的度数。 解：(1)如答图1，连结OC。 ∵OE⊥AC， ∴， ∴∠AOE=∠COE， ∴∠B=∠AOC=∠COE=2∠CAF。 ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠ACB=2∠CAF。 第24题答图1 (2)如答图1，连结EC，设OA交BC于点H。 ∵OE⊥AC， ∴AD=CD=AC=3， ∴OD==4， ∴DE=OE－OD=OA－OD=1， ∴EC=。 ∵AB=AC， ∴AO⊥BC， ∴BH=CH。 由面积法，得AC·OD=AO·CH， 6×4=5CH， ∴CH=， ∴BC=。 由(1)，得∠ACB=2∠CAF， 而∠ACB=∠CAF＋∠F， ∴∠CAF=∠F，∴AC=CF=6， ∴BF=BC＋CF=。 ∵四边形ABCE内接于☉O， ∴∠B=180°－∠AEC=∠CEF。 又∵∠F=∠F， ∴△FCE∽△FAB。 ∴， ∴EF=。 (3)依题意有以下两种情况： ①当点G在线段BC上时，连结AG，如答图2所示： 第24题答图2 设∠ABC=α， ∴∠ACB=∠ABC=α。 ∵OD⊥AC，AD=CD， ∴OD是线段AB的垂直平分线， ∴AG=CG，∴∠GAC=∠ACB=α， ∴∠BGA=∠GAC＋∠ACB=2α。 由(2)可知CF=AC， 又∵BG=CF，AB=AC，∴BG=AB， ∴∠BAG=∠BGA=2α。 在△BAG中，∠BAG＋∠BGA＋∠ABC=180°， ∴2α＋2α＋α=180°，解得α=36°， ∴∠ABC=36°； ②当点G在CB的延长线上时，连结AG，如答图3所示。 第24题答图3 设∠BGA=β， ∵BG=CF=AC=AB， ∴∠BAG=∠BGA=β， ∴∠ABC=∠BAG＋∠BGA=2β， ∴∠ACB=∠ABC=2β。 ∵OD是线段AC的垂直平分线， ∴GA=GC，∴∠GAC=∠ACB=2β。 在△GAC中，∠GAC＋∠ACB＋∠BGA=180°， ∴2β＋2β＋β=180°，解得β=36°， ∴∠ABC=2β=72°。 综上所述，∠ABC的度数为36°或72°。 学科网（北京）股份有限公司 $