第1章 二次函数　章末复习练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学三角函数单元复习卷，以真实情境与文化素材为载体，覆盖三角函数定义、解直角三角形及综合应用，梯度合理，适配单元知识巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|含30°角三角尺正弦值、Rt△中三角函数、计算器使用、楼梯地毯长度计算|结合生活工具（三角尺、楼梯），基础概念与实际应用结合| |填空题|6/18|水库堤坝坡度、人字梯高度、无人机测湖泊距离、《九章算术》弧田面积|融入科技（无人机）与文化传承，考查空间观念与数据意识| |解答题|8/72|信号杆高度测量、渔船航行最短距离、圆与三角函数综合、万绿湖两岛距离计算（正弦定理）|设置综合实践情境（测量、航行），培养推理能力与模型意识，贴合中考命题趋势|

第1章 二次函数 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.在一把含30°角的三角尺中，将较大的锐角标记为∠A，较小的锐角标记为∠B，则∠A的正弦值为( ) A. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。若AB=13，BC=5，则sin A的值为( ) A. 第2题图　　　 第3题图　　　 第4题图 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5。若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( ) A.5÷tan26= B.5÷sin26= C.5×cos26= D.5×tan26= 4.如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=5米。现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要( ) A. B.5tan α＋5 C. 5. 如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到点D处，使∠D=30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)( ) A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米 6.若关于x的一元二次方程x2－2x＋tan α=0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 7.如图，在△ABC中，CA=CB=4。若cos C=，则sin B的值为( ) A. 　　 8.如图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合成如图2所示的四边形OABC。若AB=BC=1，∠AOB=30°，则点B到OC的距离为( ) A. C.1 D.2 9.如图，小明去爬山，在山脚看山顶的仰角为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米，此时小明看山顶的仰角为60°，则山高为( ) A.(600－250)米 B.(600－250)米 C.(350＋350)米 D.500 米 　　 10.如图，已知△ABC内接于半径为1的☉O，∠BAC=θ(θ是锐角)，则△ABC面积的最大值为( ) A.cos θ(1＋cos θ) B.cos θ(1＋sin θ) C.sin θ(1＋sin θ) D.sin θ(1＋cos θ) 　　　 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶2(斜面坡度是指坡面的铅垂高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC=15 m，则迎水坡面AB的长度是　 m。  12.(3分)在Rt△ABC中，∠C=90°。若BC=15，tan A=，则AB= 　。  13.(3分)人字梯为现代家庭常用的工具。如图，若AB，AC的长都为2 m，当α=65°时，人字梯顶端离地面的高度约是　 　m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)。  14.(3分)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量。他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从点C测得点A的俯角为60°，测得点B的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为　 　m(结果保留根号)。  　　　 15.(3分)如图是由10个完全相同的正三角形构成的网格，则cos(α＋β)= 　。  　　　 16.(3分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差。在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为  　。  　　　 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)计算： (1)(4分)＋tan 30°； (2)(4分)2cos 45°·sin 45°－2sin 30°·tan 45°＋·tan 60°。 18.(8分)如图，在平面直角坐标系内有一点P(－2，5)，连结OP。求OP与x轴负半轴的夹角α的各个三角函数值。 　　 19.(8分)在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边。 (1)(4分)若a=3，∠A=30°，求∠B和b，c。 (2)(4分)若∠B=60°，b=3，求a，c与∠A。 20.(8分)小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度。在征得家长同意后，他们带着工具前往测量。测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m。已知DE=1.7 m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直。求信号杆AB的长度。(参考数据：sin 72.5°≈0.95，cos 72.5°≈0.30，tan 72.5°≈3.17) 　　 21.(8分)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向。 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的点C处。 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的点D处。 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气，请注意防范。 请根据以上信息，解答下列问题： (1)(4分)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离。 (2)(4分)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A。(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25) 22.(10分)【问题提出】 已知∠α，∠β都是锐角，tan α=，tan β=，求∠α＋∠β的度数。 【问题解决】 (1)(3分)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α＋∠β的度数(点A，B，C，D都在格点上)。 【问题拓展】 (2)(3分)已知∠α，∠β都是锐角，tan α=，tan β=，则∠α＋∠β=　°。  (3)(4分)已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tan α=，tan β=，∠α＋∠β=∠θ，求tan θ的值。 (注：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案) 23.(10分)如图，以△ABC的边AC为直径作☉O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB，交☉O于点E，连结AD，DE，∠B=∠ADE。 (1)(4分)求证：AC=BC。 (2)(6分)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长。 24.(12分)综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有。这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题。 【问题提出】 万绿湖是某省重要的生态屏障和饮用水水源地。某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离。由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究。 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度)。 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m，AC≈388.5 m。 【问题解决】 (1)(4分)请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离。(参考数据：sin 43°≈0.682，sin 51°≈0.777，sin 86°≈0.998) 【评价反思】 (2)(8分)设计其他方案计算A，B两岛间的距离。要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.在一把含30°角的三角尺中，将较大的锐角标记为∠A，较小的锐角标记为∠B，则∠A的正弦值为(　C　) A. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。若AB=13，BC=5，则sin A的值为(　D　) A. 第2题图　　　 第3题图　　　 第4题图 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5。若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(　D　) A.5÷tan26= B.5÷sin26= C.5×cos26= D.5×tan26= 4.如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=5米。现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要(　B　) A. B.5tan α＋5 C. 5. 如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到点D处，使∠D=30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　D　) A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米 【解析】 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴AC=AB=5米。 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠D=30°， ∴∠ABD=60°， ∴=tan∠ABD=tan 60°=， ∴AD=AB=5米， ∴CD=AD－AC=5－5≈1.732×5－5=3.66(米)。 6.若关于x的一元二次方程x2－2x＋tan α=0有两个相等的实数根，则锐角α等于(　C　) A.15° B.30° C.45° D.60° 【解析】 由题意，得b2－4ac=4－4tan α=0，解得tan α=1， ∴α=45°。 7.如图，在△ABC中，CA=CB=4。若cos C=，则sin B的值为(　D　) A. 　　　 第7题答图 【解析】 如答图，过点A作AD⊥BC，垂足为D。 在Rt△ACD中， ∵CD=CA·cos C=1，∴AD=。 在Rt△ABD中，∵BD=CB－CD=3， ∴AB==2， ∴sin B=。 8.如图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合成如图2所示的四边形OABC。若AB=BC=1，∠AOB=30°，则点B到OC的距离为(　B　) A. C.1 D.2 【解析】 如答图，过点B作BH⊥OC于点H。 第8题答图 ∵∠AOB=30°，∠A=90°，∴OB==2。 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC=。 ∵∠CBO=∠BHC=90°， ∴∠CBH=∠BOC， ∴cos∠BOC=cos∠CBH， ∴，即，∴BH=。 9.如图，小明去爬山，在山脚看山顶的仰角为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米，此时小明看山顶的仰角为60°，则山高为(　B　) A.(600－250)米 B.(600－250)米 C.(350＋350)米 D.500 米 　　　 第9题答图 【解析】 如答图所示标注字母，易知四边形BFCE是矩形。 ∵BE∶AE=5∶12，∴可设BE=5k米，AE=12k米。 ∵AB=1 300米， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＋BE2=AB2， 即(12k)2＋(5k)2=1 3002，解得k=100(负值舍去)， ∴AE=1 200米，BE=500米。 设BF=EC=x米。 ∵∠DBF=60°，∴易知DF=BF·tan 60°=x米。 ∵∠DAC=30°，∴∠ADC=60°， ∴AC=CD·tan 60°=CD， ∴1 200＋x=(500＋x)，解得x=600－250， ∴DF=x=(600－750)米， ∴CD=DF＋CF=(600－250)米， ∴山高CD为(600－250)米。 10.如图，已知△ABC内接于半径为1的☉O，∠BAC=θ(θ是锐角)，则△ABC面积的最大值为(　D　) A.cos θ(1＋cos θ) B.cos θ(1＋sin θ) C.sin θ(1＋sin θ) D.sin θ(1＋cos θ) 　　　 第10题答图 【解析】 如答图，连结OA，OB，OC，过点O 作OD⊥BC于点D。 ∵OB=OC，OD⊥BC， ∴BD=CD，∠BOD=∠COD=∠BOC=∠BAC=θ， ∴BC=2BD=2OB·sin∠BOD=2sin θ， OD=OB·cos∠BOD=cos θ。 易知当点A位于DO的延长线上时，到BC的距离最大，则△ABC的面积最大， 此时S△ABC=BC·AD =BC(AO＋OD)=sin θ(1＋cos θ)。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶2(斜面坡度是指坡面的铅垂高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC=15 m，则迎水坡面AB的长度是　15　m。  12.(3分)在Rt△ABC中，∠C=90°。若BC=15，tan A=，则AB=　17　。  13.(3分)人字梯为现代家庭常用的工具。如图，若AB，AC的长都为2 m，当α=65°时，人字梯顶端离地面的高度约是　1.8　m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)。  14.(3分)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量。他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从点C测得点A的俯角为60°，测得点B的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为　120　m(结果保留根号)。  　　　 第14题答图 【解析】 如答图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，并标注点E，F。 由题意，得EF∥AB，∴∠FCA=∠CAB=60°，∠ECB=∠CBA=30°。 在Rt△ACD中，CD=90 m，∴AD==30(m)。 在Rt△BCD中，BD==90(m)， ∴AB=AD＋BD=120(m)，∴湖泊两端A，B的距离为120 m。 15.(3分)如图是由10个完全相同的正三角形构成的网格，则cos(α＋β)= 　。  　　　 第15题答图 【解析】 如答图所示标注字母，连结BC。 ∵网格由10个完全相同的正三角形构成， ∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠CEB=120°，∴△ADE≌△CEB，∴∠EBC=α。 ∵∠BEC=120°，BE=CE， ∴∠BCE=(180°－120°)÷2=30°，∴∠ACB=∠ACE＋∠BCE=60°＋30°=90°。 设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=a， ∴在Rt△ACB中，AB=a，∴cos∠ABC=。 又∵∠ABC=∠ABE＋∠CBE=α＋β，∴cos(α＋β)=。 16.(3分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差。在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为  　。  　　　 第16题答图 【解析】 如答图，设OH交AB于点H，交圆弧于点C，∴AB=8，HC=2。 设OA=x，∴OC=x，∴OH=x－2。 ∵OH⊥AB，OC为半径，∴AH=BH=AB=4。 在Rt△OAH中，由勾股定理，得AH2＋OH2=OA2， ∴42＋(x－2)2=x2，解得x=5，∴OA=5，∴cos∠OAB=。 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)计算： (1)(4分)＋tan 30°； (2)(4分)2cos 45°·sin 45°－2sin 30°·tan 45°＋·tan 60°。 解：(1)原式=。 (2)原式=2×－2××1＋=1－1＋3=3。 18.(8分)如图，在平面直角坐标系内有一点P(－2，5)，连结OP。求OP与x轴负半轴的夹角α的各个三角函数值。 　　　 第18题答图 解：如答图，过点P作PA⊥x轴于点A，则OA=2，PA=5。 ∵OP=， ∴sin α=，cos α=，tan α=。 19.(8分)在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边。 (1)(4分)若a=3，∠A=30°，求∠B和b，c。 (2)(4分)若∠B=60°，b=3，求a，c与∠A。 解：(1)∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°，sin A=， ∴c=6，∴b==3。 (2)同(1)可得∠A=30°，a=，c=2。 20.(8分)小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度。在征得家长同意后，他们带着工具前往测量。测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m。已知DE=1.7 m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直。求信号杆AB的长度。(参考数据：sin 72.5°≈0.95，cos 72.5°≈0.30，tan 72.5°≈3.17) 　　　 第20题答图 解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如答图所示。 ∵AB，DE均与水平线FC垂直， ∴DE∥AC， ∴∠DBH=∠BDE=72.5°。 ∵DH⊥AC， ∴∠DHI=90°。 在Rt△DBH中，BD=22 m，sin 72.5°=， 则HD=BD·sin 72.5°≈22×0.95=20.9(m)。 在Rt△DBH中，BD=22 m，cos 72.5°=， 则BH=BD·cos 72.5°≈22×0.30=6.6(m)。 ∵EI⊥AC，DH⊥AC，DE∥AC， ∴∠EDH=∠DHI=∠HIE=90°， ∴四边形EDHI是矩形， ∴EI=HD=20.9 m。 ∵∠AEI=45°，∠AIE=90°， ∴∠EAI=45°， ∴AI=EI=20.9 m， ∴AB=AI＋IH－BH=20.9＋1.7－6.6=16(m)。 答：信号杆AB的长度为16 m。 21.(8分)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向。 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的点C处。 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的点D处。 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气，请注意防范。 请根据以上信息，解答下列问题： (1)(4分)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离。 (2)(4分)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A。(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25) 解：(1)如答图，过点B作BE⊥AC于点E。 第21题答图 设BE=x海里，由题意，得∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10×=5(海里)， ∴∠C=90°－∠EBC=37°，ED=x海里， ∴EC=ED＋DC=(x＋5)海里。 在Rt△BCE中，EC=≈x， ∴x=x＋5，解得x=15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里。 (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15海里， ∴AE=BE·tan 14°≈15×0.25=3.75(海里)， ∴AC=AE＋DE＋DC=15＋3.75＋5=23.75(海里)， 23.75÷10=2.375(时)=142.5分， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A。 22.(10分)【问题提出】 已知∠α，∠β都是锐角，tan α=，tan β=，求∠α＋∠β的度数。 【问题解决】 (1)(3分)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α＋∠β的度数(点A，B，C，D都在格点上)。 【问题拓展】 (2)(3分)已知∠α，∠β都是锐角，tan α=，tan β=，则∠α＋∠β=　90　°。  (3)(4分)已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tan α=，tan β=，∠α＋∠β=∠θ，求tan θ的值。 (注：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案) 解：(1)如答图1，连结BC。 ∵AB=BC=，AC=， ∴AB2＋BC2=AC2， ∴∠ABC=90°，∴∠BAC=45°， ∴∠α＋∠β=45°。 第22题答图1 第22题答图2 (2)如答图2，画出∠BAD和∠CAD，连结BC。 由题意，得∠α=∠BAD，∠β=∠DAC。 易知△ABC是等腰直角三角形， ∴∠α＋∠β=90°。 (3)如答图2，画出∠EDH和∠HDF。 ∵∠α=∠GDH，∠β=∠HDF，∠DGF=90°， ∴在Rt△DGF中，tan θ=tan(α＋β)=。 23.(10分)如图，以△ABC的边AC为直径作☉O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB，交☉O于点E，连结AD，DE，∠B=∠ADE。 (1)(4分)求证：AC=BC。 (2)(6分)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长。 解：(1)∵∠ADE=∠ACE，∠ADE=∠B， ∴∠B=∠ACE。 ∵CE∥AB， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠B=∠BAC，∴AC=BC。 (2)如答图，连结AE。 第23题答图 ∵∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴。 ∵AC为☉O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴tan B==2， ∴AD=2BD。 ∵CD=3， ∴AC=BC=BD＋CD=BD＋3。 ∵AD2＋CD2=AC2， ∴(2BD)2＋32=(BD＋3)2， 解得BD=2或BD=0(舍去)， ∴AD=2BD=4，AB==2，BC=2＋3=5。 ∵， ∴， ∴DE=2。 24.(12分)综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有。这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题。 【问题提出】 万绿湖是某省重要的生态屏障和饮用水水源地。某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离。由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究。 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度)。 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m，AC≈388.5 m。 【问题解决】 (1)(4分)请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离。(参考数据：sin 43°≈0.682，sin 51°≈0.777，sin 86°≈0.998) 【评价反思】 (2)(8分)设计其他方案计算A，B两岛间的距离。要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识。 解：(1)∵∠A≈43°，∠B≈51°，∴∠C=180°－∠A－∠B≈180°－43°－51°=86°。 ∵，BC≈341 m， ∴AB=≈=499(m)。 答：A，B两岛间的距离为499 m。 (2)工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度)。 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=a(m)，AC=b(m)。 计算过程：如答图，过点A作AD⊥BC，则∠ADC=∠ADB=90°。 第24题答图 ∵在Rt△ACD中，sin C=，cos C=， ∴AD=bsin C(m)，CD=bcos C(m)， ∴BD=BC－CD=(a－bcos C)m。 ∵在Rt△ABD 中，AD2＋BD2=AB2，∴AB= m。 答：A，B两岛间的距离为m。 学科网（北京）股份有限公司 $