第2章 简单事件发生的概率 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学圆的单元复习卷，满分120分，含选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分），覆盖圆的切线、圆心距等核心知识，注重基础与综合应用，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|切线性质、圆心距、圆与三角形综合|基础概念辨析，如第2题切线命题判断| |填空题|6/18|切线距离、内切圆角度、切线长计算|几何直观应用，如14题最短切线长求解| |解答题|8/72|切线证明、文化情境（司南）、相似应用|综合推理与创新，如18题司南文化融合，24题多知识点综合|

第2章 简单事件发生的概率 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.已知☉O的半径是5，直线l与☉O相交，圆心O到直线l的距离可能是(　A　) A.4 B.5 C.6 D.10 2.有下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径。其中正确的是(　A　) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 3.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E。若∠E=40°，则∠D的度数为(　B　) A.20° B.25° C.28° D.30° 　　　 第3题答图 【解析】 如答图，连结OC。 由切线的性质，得∠OCE=90°， ∴∠COE=180°－∠OCE－∠E=50°。 ∵， ∴∠D=∠COB=25°。 4.如图，AB是☉O的切线，A为切点，连结OA，点C在☉O上，OC⊥OA，连结BC并延长，交☉O于点D，连结OD。若∠B=65°，则∠DOC的度数为(　B　) A.45° B.50° C.65° D.75° 【解析】 ∵AB是☉O的切线，A为切点， ∴OA⊥AB。 又∵OC⊥OA， ∴AB∥OC， ∴∠OCD=∠B=65°。 又∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=65°， ∴∠DOC=180°－65°－65°=50°。 　第4题图 　第5题图 5.如图，线段AB 经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D。若AC=BD=4，∠A=45°，则的长为(　B　) A.π B.2π C.2π D.4π 【解析】 如答图，连结CO，DO。 第5题答图 ∵AC，BD分别与☉O相切于点C，D，∴∠ACO=∠BDO=90°， ∴∠AOC=∠A=45°，∴CO=AC=4。 ∵AC=BD，CO=DO，∴△ACO≌△BDO(SAS)， ∴∠DOB=∠AOC=45°，∴∠DOC=180°－∠DOB－∠AOC=90°，∴=2π。 6.如图，△ABC的内心为I，连结AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是(　A　) A.DI=DB B.DI＞DB C.DI＜DB D.不确定 　　　 第6题答图 【解析】 如答图，连结BI。 ∵△ABC的内心为I，∴∠CAD=∠BAD，∠CBI=∠ABI。 又∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CBD=∠BAD， ∴∠BID=∠BAD＋∠ABI=∠CBD＋∠CBI=∠DBI， ∴DI=DB。 7.如图，在平面直角坐标系中，已知☉M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别相交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离为(　D　) A.10 B.8 C.4 D.2 　　　 第7题答图 【解析】 如答图，过点M作MD⊥y轴于点D，连结MA，MO。 ∵☉M与x轴相切于点A(8，0)，∴MA⊥OA，OA=8， ∴∠OAM=∠AOD=∠ODM=90°，∴四边形OAMD是矩形。 ∵点B(0，4)，C(0，16)，∴OB=4，OC=16， ∴易知BD=CD=BC=6，∴AM=OD=OB＋BD=10， ∴在Rt△OMA中，OM==2。 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E。若AB=15，BC=17，则AD的长为(　D　) A.8 B.8.5 C.5 D.9 　　　 第8题答图 【解析】 如答图，连结BE，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°。 ∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB=15，BC=17， ∴AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED， ∴∠BAD=∠BEC=90°，∴CE=8。 ∵AD∥BC，∴∠ADH=∠CHD=90°。 ∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形， ∴BH=AD，DH=AB=15，∴CH=BC－BH=17－AD。 ∵DH2＋CH2=CD2，且CD=CE＋ED=8＋AD， ∴152＋(17－AD)2=(8＋AD)2，解得AD=9。 9.如图，△OAB的边AB与☉O相切于点C，OB交☉O于点D，延长AO交☉O于点E，连结DE。若DE∥OC，OE=5，DE=6，则AB的长为(　B　) A.15 B. D.12 　　　 第9题答图 【解析】 ∵DE∥OC， ∴∠AOC=∠E，∠BOC=∠ODE。 ∵OE=OD， ∴∠E=∠ODE，∴∠AOC=∠BOC。 ∵AB与☉O相切于点C，∴OC⊥AB， ∴易证△AOC≌△BOC(ASA)，∴AC=BC。 如答图，过点O作OH⊥DE于点H， ∴∠EHO=90°，EH=DE=3， ∴OH= ==4。 ∵∠OHE=∠ACO=90°，∠E=∠AOC， ∴△AOC∽△OEH， ∴，∴， ∴AC=，∴AB=2AC=。 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作☉O，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD。有下列结论：①CD=BD；②DE为☉O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE·AC。其中所有正确的结论是(　D　) A.① B.①② C.②③ D.①②③④ 　　　 第10题答图 【解析】 ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC。 又∵AB=AC，∴BD=CD，①正确。 如答图，连结OD。 易知D为BC的中点，O为AC的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB。 又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE为☉O的切线，②正确。 ∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD。 又∵∠DEA=∠CDA=90°，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AE·AC，③④正确。 综上所述，正确的是①②③④。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)在同一平面内，半径为4的☉P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足的条件是　d＞4　。  12.(3分)如图，☉O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，连结DE，DF。若∠A=80°，则∠EDF=　50　°。  13.(3分)如图，AB是☉O的切线，B为切点，若AO=2AC=4，则阴影部分的面积为  π－　(结果保留π)。  　　　 第13题答图 【解析】 如答图，连结OB。 ∵AB是☉O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°。 ∵AO=2AC=4，∴OC＋AC=2AC=4，∴OC=AC=2，∴OB=2。 在Rt△OAB中，cos∠AOB=，∴∠AOB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°。 过点C作CH⊥OB于点H，∴∠OCH=30°，∴OH=OC=1，∴CH=， ∴S阴影=S扇形BOC－S△OBC=×2×π－。 14.(3分)如图，已知☉O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ与☉O相切于点Q，则PQ的长最短为　2　。  【解析】 ∵PQ与☉O相切于点Q， ∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2－OQ2。 ∵OQ=1，∴PQ2=OP2－1，即PQ=， ∴当OP的长最短时，PQ的长最短。 ∵点O到直线l的距离为3，∴OP的长最短为3， ∴PQ的长最短为=2。 15.(3分)如图，PA，PB，DE分别与☉O相切于点A，B，C，点D，E分别在线段PA，PB上。若PA=8 cm，则△PDE的周长为　16　cm；连结OD，OE，若∠P=40°，则∠DOE的度数为　70　°。  　　　 第15题答图 【解析】 ∵PA，PB，DE是☉O的切线， ∴DA=DC，EC=EB，PA=PB， ∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE=PA＋PB=2PA=16 cm 。 如答图，连结OA，OB，OC， 由题意，得∠AOB=180°－∠P=140°， ∴易知∠DOE=∠COD＋∠COE=(∠AOC＋∠BOC)=×140°=70°。 16.(3分)如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A。D是边BC上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为  或　。  　　　 第16题答图 【解析】 如答图，连结OA，过点A作AE⊥BC于点E。 ∵AC是☉O的切线，∴∠CAO=90°。 设AO=BO=x，则CO=BC－BO=4－x。 在Rt△ACO中，AO2＋AC2=CO2， 即x2＋22=(4－x)2，解得x=，即AO=，∴CO=。 易得AO·AC=CO·AE，∴AE=。 当△ACD为直角三角形时，分两种情况讨论： ①若∠CAD=90°，则点D与点O重合，此时AD=AO=； ②若∠ADC=90°，则点D与点E重合，此时AD=AE=。 综上所述，AD的长为或。 三、 解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，CD是☉O的切线，C是切点，连结AC。已知∠D=2∠A。 (1)(4分)求∠D的度数。 (2)(4分)若CD=2，求BD的长。 　　　 第17题答图 解：(1)如答图，连结OC。 ∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠COD=∠A＋∠OCA=2∠A。 又∵∠D=2∠A，∴∠COD=∠D。 ∵CD与☉O相切于点C，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，∴∠D=45°。 (2)由(1)得，△OCD是等腰直角三角形，∴OB=OC=CD=2， ∴OD==2，∴BD=OD－OB=2－2。 18.(8分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器。其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖。如图1，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20。根据八个方位将圆形八等分(图2中点A~H)，过点E作☉O的切线，与AG的延长线相交于点M，连结EG。求： (1)(4分)∠AEG的度数。 (2)(4分)线段MG的长。 解：(1)∵，∴AG=EG。 ∵AE是☉O的直径，∴∠AGE=90°， ∴∠GEA=∠GAE=45°。 (2)∵EM与☉O相切于点E，∴∠AEM=90°。 ∵∠EAG=45°，∴∠M=90°－∠EAG=45°，∴AE=ME=20。 ∵∠AGE=90°，∴∠EGM=180°－∠AGE=90°， ∴在Rt△EMG中，MG=EM·cos 45°=20×=10， ∴线段MG的长为10。 19.(8分)如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是直径，D是☉O上的一个点，且BD=BC。 (1)(4分)求证：∠A=∠BCD。 (2)(4分)E是DB延长线上的一点，连结CE，若CB恰好平分∠DCE。求证：CE是☉O的切线。 证明：(1)∵BD=BC，∴∠D=∠BCD。 ∵∠A=∠D，∴∠A=∠BCD。 (2)∵☉O是△ABC的外接圆，AC是直径， ∴∠ABC=90°，∴∠A＋∠ACB=90°。 ∵CB平分∠DCE，∴∠BCD=∠BCE。 ∵∠A=∠BCD，∴∠A=∠BCE， ∴∠BCE＋∠ACB=90°，即∠ACE=90°。 又∵OC是半径，∴CE是☉O的切线。 20.(8分)已知在△AOB中，∠ABO=30°，AB为☉O的弦，直线MN与☉O相切于点C。 (1)(4分)如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的度数。 (2)(4分)如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA=3，求线段OF的长。 解：(1)∵OA=OB， ∴∠A=∠ABO=30°，∴∠AOB=180°－2∠ABO=120°。 ∵直线MN与☉O相切于点C，CE为☉O的直径，∴∠ECM=90°。 ∵AB∥MN，∴∠CDB=∠ECM=90°， ∴∠BOE=90°－∠ABO=60°，∴∠BCE=∠BOE=30°。 (2)如答图，连结OC。 第20题答图 同(1)，得∠COB=90°。 ∵CG⊥AB，∴∠FGB=90°。 又∵∠ABO=30°，∴∠BFG=90°－∠ABO=60°，∴∠CFO=∠BFG=60°。 在Rt△COF中，tan∠CFO=，OC=OA=3， ∴OF=。 21.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，连结CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E。 (1)(4分)求证：CD是☉O的切线。 (2)(4分)若B是AD的中点，且BE=3，求☉O的半径。 　　　 第21题答图 解：(1)如答图，连结OC。 ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A＋∠ABC=90°。 ∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB。 又∵∠BCD=∠A，∴∠BCD＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC⊥CD。 又∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线。 (2)∵B是AD的中点，∴BD=AB=2OC。 ∵OB=OC，∴OD=OB＋BD=3OC，∴。 ∵BE⊥AD，∴∠DBE=90°。 又∵∠OCD=90°，∴sin D=，∴DE=3BE=9。 在Rt△DBE中，BD==6，∴OC=3，即☉O半径为3。 22.(10分)如图，AB是☉O的直径，C为AB延长线上的一点，E为☉O上一点，连结CE。过点A作AD⊥CE，垂足为D，AD交☉O于点F，E为的中点。 (1)(3分)求证：CD是☉O的切线。 (2)(3分)求证：△CEB∽△CAE。 (3)(4分)若☉O的半径为1，CE=2，求AE的长。 　　　 第22题答图 解：(1)如答图，连结OE，BF。 ∵AB是☉O的直径，∴BF⊥AD。 ∵E为的中点，∴，∴OE⊥BF，∴OE∥AD。 ∵AD⊥CD，∴OE⊥CD。 又∵OE是☉O的半径，∴CD是☉O的切线。 (2)∵CD是☉O的切线，∴∠CEO=90°，∴∠CEB＋∠BEO=90°。 ∵AB是☉O的直径，∴∠AEB=90°， ∴∠BEO＋∠AEO=90°，∴∠CEB=∠OEA。 ∵OE=OA，∴∠AEO=∠OAE，∴∠BEC=∠CAE。 又∵∠C=∠C，∴△CEB∽△CAE。 (3)∵☉O的半径为1，∴AB=2。 ∵△CEB∽△CAE，∴，∴，∴BC=2(负值舍去)，∴。 设BE=x，AE=2x。 ∵AE2＋BE2=AB2，∴4x2＋2x2=4，解得x=(负值舍去)，∴AE=。 23.(10分)如图，锐角三角形ABC内接于☉O，CD平分∠ACB，交AB于点E，交☉O于点F，AF平分∠BAD，连结AO并延长交CD于点P。 (1)(3分)若∠OAB=20°，请写出∠ACB，∠DAF的度数。 (2)(3分)求证：AD是☉O的切线。 (3)(4分)若AO平分∠CAB，CP∶PE=3∶2，求sin D的值。 　　　 第23题答图1　　 　第23题答图2 解：(1)如答图1，连结OB，OF，则OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=20°， ∴∠BOA=180°－∠OAB－∠OBA=180°－20°－20°=140°，∴∠ACB=∠BOA=70°。 ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=35°，∴∠AOF=2∠ACD=70°。 又∵OA=OF，∴∠OAF==55°，∴∠BAF=∠OAF－∠OAB=35°。 又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=35°。 (2)如答图2，连结OB。 ∵∠ACB=2∠BCF，∠BAD=2∠BAF，∠BCF=∠BAF，∴∠ACB=∠BAD。 ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴2∠OAB＋∠AOB=180°。 ∵∠AOB=2∠ACB=2∠BAD，∴2∠OAB＋2∠BAD=180°， ∴∠OAB＋∠BAD=90°，∴∠OAD=90°，即OA⊥OD。 又∵OA为☉O的半径，∴AD是☉O的切线。 (3)∵CD平分∠ACB，AF平分∠BAD，AO平分∠CAB， 由(2)可知，∠FCB=∠FAB=∠ACF， ∴∠CAP＋∠ACF=∠PAB＋∠FAB，∴∠FPA=∠FAP，∴FA=FP。 又∵AD是☉O的切线，∠PAD=90°，∴∠DAF=∠FDA，∴FA=FD=FP。 ∵CP∶PE=3∶2，∴设CP=3t，PE=2t，EF=x，∴FA=FP=x＋2t。 ∵∠FAB=∠ACF，∠AFE=∠CFA，∴△AEF∽△CAF，∴， ∴AF2=CF·EF=x(x＋5t)=(x＋2t)2，解得x=4t， ∴EF=4t，AF=PF=DF=6t，CF=9t，CD=15t。 ∵∠D=∠DAF=∠FAB=∠FCB=∠ACF，∴△ADF∽△CDA，∴， ∴AD2=DF·DC=6t×15t=90t2，∴AP2=DP2－AD2=(12t)2－90t2=54t2， ∴AP=3t，∴sin D=。 24.(12分)如图，在☉O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H。 (1)(4分)求证：AD∥HC。 (2)(4分)若=2，求tan∠FAG的值。 (3)(4分)连结BC交AD于点N，若☉O的半径为5，AH=，求△ANB的周长。 　　　 第24题答图1　　 　第24题答图2 解：(1)∵C，D是的三等分点，∴。 由CE是☉O的直径可得CE⊥AD。 ∵HC是☉O的切线，∴HC⊥CE，∴AD∥HC。 (2)如答图1，连结OA。 ∵，∴∠BAD=∠CAD。 由CE⊥AD，易证△CAG≌△FAG，∴CG=FG。 设CG=a，则FG=a。 又∵=2，∴OG=2a，∴AO=CO=3a。 在Rt△AOG中，由勾股定理，得AO2=AG2＋OG2， ∴(3a)2=AG2＋(2a)2，∴AG=a，∴tan∠FAG=。 (3)如答图2，连结AO，CD，易知CD=AC。 ∵AD∥HC，FG=GC，∴AH=AF。 ∵∠HCF=90°，∴AC=AH=AF=。 设CG=x，则FG=x，OG=5－x。 由勾股定理，得AG2=AO2－OG2=AC2－CG2， 即25－(5－x)2=10－x2，解得x=1， ∴AG=3，∴AD=6。 ∵，∴∠DAC=∠BCD。 又∵∠CDN=∠ADC，∴△CND∽△ACD， ∴，∴ND=，∴AN=AD－DN=。 ∵∠BAD=∠DAC，∠ABN=∠ADC，∴△ANB∽△ACD， ∴C△ANB=C△ACD×=(6＋2)×。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 简单事件发生的概率 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.已知☉O的半径是5，直线l与☉O相交，圆心O到直线l的距离可能是( ) A.4 B.5 C.6 D.10 2.有下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径。其中正确的是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 3.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E。若∠E=40°，则∠D的度数为( ) A.20° B.25° C.28° D.30° 　　　 4.如图，AB是☉O的切线，A为切点，连结OA，点C在☉O上，OC⊥OA，连结BC并延长，交☉O于点D，连结OD。若∠B=65°，则∠DOC的度数为( ) A.45° B.50° C.65° D.75° 　第4题图 　第5题图 5.如图，线段AB 经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D。若AC=BD=4，∠A=45°，则的长为( ) A.π B.2π C.2π D.4π 6.如图，△ABC的内心为I，连结AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是( ) A.DI=DB B.DI＞DB C.DI＜DB D.不确定 　　　 7.如图，在平面直角坐标系中，已知☉M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别相交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离为( ) A.10 B.8 C.4 D.2 　　　 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E。若AB=15，BC=17，则AD的长为( ) A.8 B.8.5 C.5 D.9 　　　 【解析】 如答图，连结BE，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°。 ∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB=15，BC=17， ∴AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED， ∴∠BAD=∠BEC=90°，∴CE=8。 ∵AD∥BC，∴∠ADH=∠CHD=90°。 ∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形， ∴BH=AD，DH=AB=15，∴CH=BC－BH=17－AD。 ∵DH2＋CH2=CD2，且CD=CE＋ED=8＋AD， ∴152＋(17－AD)2=(8＋AD)2，解得AD=9。 9.如图，△OAB的边AB与☉O相切于点C，OB交☉O于点D，延长AO交☉O于点E，连结DE。若DE∥OC，OE=5，DE=6，则AB的长为( ) A.15 B. D.12 　　　 【解析】 ∵DE∥OC， ∴∠AOC=∠E，∠BOC=∠ODE。 ∵OE=OD， ∴∠E=∠ODE，∴∠AOC=∠BOC。 ∵AB与☉O相切于点C，∴OC⊥AB， ∴易证△AOC≌△BOC(ASA)，∴AC=BC。 如答图，过点O作OH⊥DE于点H， ∴∠EHO=90°，EH=DE=3， ∴OH= ==4。 ∵∠OHE=∠ACO=90°，∠E=∠AOC， ∴△AOC∽△OEH， ∴，∴， ∴AC=，∴AB=2AC=。 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作☉O，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD。有下列结论：①CD=BD；②DE为☉O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE·AC。其中所有正确的结论是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③④ 　　　 【解析】 ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC。 又∵AB=AC，∴BD=CD，①正确。 如答图，连结OD。 易知D为BC的中点，O为AC的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB。 又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE为☉O的切线，②正确。 ∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD。 又∵∠DEA=∠CDA=90°，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AE·AC，③④正确。 综上所述，正确的是①②③④。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)在同一平面内，半径为4的☉P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足的条件是 。  12.(3分)如图，☉O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，连结DE，DF。若∠A=80°，则∠EDF= °。  13.(3分)如图，AB是☉O的切线，B为切点，若AO=2AC=4，则阴影部分的面积为 (结果保留π)。  　　　 【解析】 如答图，连结OB。 ∵AB是☉O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°。 ∵AO=2AC=4，∴OC＋AC=2AC=4，∴OC=AC=2，∴OB=2。 在Rt△OAB中，cos∠AOB=，∴∠AOB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°。 过点C作CH⊥OB于点H，∴∠OCH=30°，∴OH=OC=1，∴CH=， ∴S阴影=S扇形BOC－S△OBC=×2×π－。 14.(3分)如图，已知☉O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ与☉O相切于点Q，则PQ的长最短为 。  【解析】 ∵PQ与☉O相切于点Q， ∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2－OQ2。 ∵OQ=1，∴PQ2=OP2－1，即PQ=， ∴当OP的长最短时，PQ的长最短。 ∵点O到直线l的距离为3，∴OP的长最短为3， ∴PQ的长最短为=2。 15.(3分)如图，PA，PB，DE分别与☉O相切于点A，B，C，点D，E分别在线段PA，PB上。若PA=8 cm，则△PDE的周长为 cm；连结OD，OE，若∠P=40°，则∠DOE的度数为 °。  　　　 【解析】 ∵PA，PB，DE是☉O的切线， ∴DA=DC，EC=EB，PA=PB， ∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE=PA＋PB=2PA=16 cm 。 如答图，连结OA，OB，OC， 由题意，得∠AOB=180°－∠P=140°， ∴易知∠DOE=∠COD＋∠COE=(∠AOC＋∠BOC)=×140°=70°。 16.(3分)如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A。D是边BC上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 。  　　　 【解析】 如答图，连结OA，过点A作AE⊥BC于点E。 ∵AC是☉O的切线，∴∠CAO=90°。 设AO=BO=x，则CO=BC－BO=4－x。 在Rt△ACO中，AO2＋AC2=CO2， 即x2＋22=(4－x)2，解得x=，即AO=，∴CO=。 易得AO·AC=CO·AE，∴AE=。 当△ACD为直角三角形时，分两种情况讨论： ①若∠CAD=90°，则点D与点O重合，此时AD=AO=； ②若∠ADC=90°，则点D与点E重合，此时AD=AE=。 综上所述，AD的长为或。 三、 解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，CD是☉O的切线，C是切点，连结AC。已知∠D=2∠A。 (1)(4分)求∠D的度数。 (2)(4分)若CD=2，求BD的长。 　　　 18.(8分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器。其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖。如图1，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20。根据八个方位将圆形八等分(图2中点A~H)，过点E作☉O的切线，与AG的延长线相交于点M，连结EG。求： (1)(4分)∠AEG的度数。 (2)(4分)线段MG的长。 19.(8分)如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是直径，D是☉O上的一个点，且BD=BC。 (1)(4分)求证：∠A=∠BCD。 (2)(4分)E是DB延长线上的一点，连结CE，若CB恰好平分∠DCE。求证：CE是☉O的切线。 20.(8分)已知在△AOB中，∠ABO=30°，AB为☉O的弦，直线MN与☉O相切于点C。 (1)(4分)如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的度数。 (2)(4分)如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA=3，求线段OF的长。 21.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，连结CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E。 (1)(4分)求证：CD是☉O的切线。 (2)(4分)若B是AD的中点，且BE=3，求☉O的半径。 　　　 22.(10分)如图，AB是☉O的直径，C为AB延长线上的一点，E为☉O上一点，连结CE。过点A作AD⊥CE，垂足为D，AD交☉O于点F，E为的中点。 (1)(3分)求证：CD是☉O的切线。 (2)(3分)求证：△CEB∽△CAE。 (3)(4分)若☉O的半径为1，CE=2，求AE的长。 　　　 23.(10分)如图，锐角三角形ABC内接于☉O，CD平分∠ACB，交AB于点E，交☉O于点F，AF平分∠BAD，连结AO并延长交CD于点P。 (1)(3分)若∠OAB=20°，请写出∠ACB，∠DAF的度数。 (2)(3分)求证：AD是☉O的切线。 (3)(4分)若AO平分∠CAB，CP∶PE=3∶2，求sin D的值。 　　　 　　 　 24.(12分)如图，在☉O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H。 (1)(4分)求证：AD∥HC。 (2)(4分)若=2，求tan∠FAG的值。 (3)(4分)连结BC交AD于点N，若☉O的半径为5，AH=，求△ANB的周长。 　　　 　　 　 学科网（北京）股份有限公司 $