江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟1

**基本信息** 高二数学期末模拟卷注重真实情境与核心素养融合，如区块链企业数据回归分析、传球训练概率模型等，覆盖排列组合、概率统计、立体几何等模块，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率、立体几何向量、二项式系数|结合随机事件概率、球与平面相切最值问题| |多选题|3/18|排列组合、概率独立性、二项式定理|以登山路线、小球放盒等情境考查概念辨析| |填空题|3/15|正态分布、立体几何外接球、条件概率|甲箱取球入乙箱的条件概率计算| |解答题|5/77|排列组合应用、二项式定理、概率模型、立体几何|区块链数据回归（时代性）、立体几何线面角探究（推理能力）|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若随机事件在一次试验中发生的概率为，用随机变量表示在一次试验中发生的次数，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 2．四面体中，的中点，靠近上的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，随机变量，则 的值为 （ ） A． B． C． D． 4．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为，已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为 （ ） A． B． C． D． 5．已知二项式的展开式则，各项系数的最大值为80，且最大值在第项取得，则的值为 （ ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加，若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有 （ ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 8．某试卷中1道选择题6个答案，其中只有一个是正确的，考试不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为，现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 （ ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数为 10．小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山，涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为则下列结论正确的是 （ ） A．“小明与父母爬山”与“小明选择甲路线”是为相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 11． 已知，则 （ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．某校共有2000名高三学生，一次数学测试成绩近似服从正态分布，随机抽取100名学生的成绩，计算得，若用样本均值和样本标准差估计，则估计该校成绩不低于86分的学生人数为 . 参考数据：若，则 13．在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，分别是直线上的动点，记直线所成的角为，当最小时， . 14．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___ ________，___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．从名运动员中选人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？写出计算过程，并用数字作答 甲、乙两人必须跑中间两棒； 若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； 若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒． 16．已知展开式的二项式系数和为128，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数. 17．某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练. （1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？ （2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？ 18．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列，现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 编号x 1 2 3 4 5 企业总数量y(单位：千个) 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 (1)根据表中数据判断，与(其中e=2.71828...为自然对数的底数)，哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可，不必说明理由) (2)根据(1)的结果，求y关于x的回归方程；(结果精确到小数点后第三位) 附：线性回归方程中，，. 参考数据：，，，，. (3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、5丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大? 19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若随机事件在一次试验中发生的概率为，用随机变量表示在一次试验中发生的次数，则的最小值为 （ A ） A． B． C． D． 2．四面体中，的中点，靠近上的三等分点，则（ C ） A． B． C． D． 3．已知，随机变量，则 的值为 （ B ） A． B． C． D． 4．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为，已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为 （ C ） A． B． C． D． 5．已知二项式的展开式则，各项系数的最大值为80，且最大值在第项取得，则的值为 （ B ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加，若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有 （ B ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为 （ D ） A. B. C. D. 【详解】平面,平面, 平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设点到平面的距离为，则 故直线到平面的距离为.故选：D. 8．某试卷中1道选择题6个答案，其中只有一个是正确的，考试不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为，现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 （ ABD ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数为 10．小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山，涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为则下列结论正确的是 （ BC ） A．“小明与父母爬山”与“小明选择甲路线”是为相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【详解】设“小明与父母一起爬山”为事件，“小明选择甲路线”为事件，“小明不和父母一起爬山”为事件，“小明选择乙路线”为事件，已知，则，，那么， 根据全概率公式； 根据条件概率公式，可得， 因为， 所以“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件；A错 对于B：小明与父母一起选择乙路线登山的概率为， 因为，所以；B正确； 对于C：根据全概率公式；C正确 对于D：先求，根据全概率公式， 再根据贝叶斯公式.D错 11． 已知，则 （ BCD ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 【详解】，展开式的各二项式系数的和为，所以A错； 令，得到，令，得到，，所以B对； 由二项式定理可得：，，所以，，， ，故C对；， ，，，，故D对.故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．某校共有2000名高三学生，一次数学测试成绩近似服从正态分布，随机抽取100名学生的成绩，计算得，若用样本均值和样本标准差估计，则估计该校成绩不低于86分的学生人数为 . 参考数据：若，则 13．在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，分别是直线上的动点，记直线所成的角为，当最小时， . 14．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___ ________，___________. 【详解】由题可知，，，，若从甲箱选中一个红球放到乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球，故；同理，，， ∴ .故答案为：；﹒ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．从名运动员中选人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？写出计算过程，并用数字作答 甲、乙两人必须跑中间两棒； 若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； 若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒． 15．解：甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种， 剩余两棒从余下的个人中选两人的排列有种， 故有种            若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒， 需要从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，有种， 另外个人选人跑剩余棒，有种， 故有 种                  若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒， 甲乙两人相邻两人的排列有种， 其余人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种， 故有种  16．已知展开式的二项式系数和为128，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数. 16．解：（1）由展开式的二项式系数和为128， 可得，即n=7， 由 ， 得=； （2）令，得， 令，得， 所以……=2； （3）由 因为能被6整除，被6整除后余数为3. 所以被6整除的余数为3 17．某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练. （1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？ （2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？ 17．解：（1）法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为； 再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）. 方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）； 若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种） 答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种. （2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为； 第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为， 故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：. ②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为， 第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为， 第三次传球，甲将球传给老师，其概率为， 这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为， 所以，前三次传球中满足题意的概率为：. 答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是. 18．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列，现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 编号x 1 2 3 4 5 企业总数量y(单位：千个) 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 (1)根据表中数据判断，与(其中e=2.71828...为自然对数的底数)，哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可，不必说明理由) (2)根据(1)的结果，求y关于x的回归方程；(结果精确到小数点后第三位) 附：线性回归方程中，，. 参考数据：，，，，. (3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、5丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大? 18．解：(1)根据表中数据可知增加的速度逐渐变快， 所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量； (2)对两边取自然对数，得，令，，，得， 由于，，，. 则， ∴z关于x的回归直线方程为，则y关于x的回归方程为； (3)对于首场比赛的选择有以下三种情况：A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C丙与乙先赛，由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为， 则甲公司获胜的概率分别是 由于 ∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大. 19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 19．解：（1）因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2）由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. （3）假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近四等分点. 3 学科网（北京）股份有限公司 $