精品解析：江苏南京市宁海中学2025-2026学年高二下学期6月期末测试数学试题

江苏南京市宁海中学2025-2026学年高二下学期6月期末测试数学试题 2026.6 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 240 5. 两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于（ ） A. B. C. D. 6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A. 甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B. 甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 8. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若正实数，满足，则的最大值是______． 13. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 14. 已知函数（）．对，恒成立，实数 的取值范围____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 16. 给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 17. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值； （3）若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 18. 已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知直线交于，两点，关于轴的对称点为 ，若直线和的斜率之商为，证明： 以下问题： （ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏南京市宁海中学2025-2026学年高二下学期6月期末测试数学试题 2026.6 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，又， 则. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则． 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 4. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】, 由题意可得，解得. 故展开式的通项为， 令，所以，所以， 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 5. 两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A邮箱的信件数为离散型随机变量，将的取值一一列出，计算出概率，利用均值的公式计算即可． 【详解】由题意可知，两封信随机投入A，B，C三个空邮箱共有种方法； 则；；； 故． 6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，求得最小值为，从而得到，即可求解. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又不等式有解，所以，解得或， 故选：D. 7. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A. 甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B. 甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，乙中放红球，则甲中也肯定是放红球，往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点，结合红球的数量与黑球数量相等进行分析． 【详解】由题意知，操作分为四种： ①两个红球，甲放红，乙放红； ②两个黑球，甲放黑，丙放黑； ③一红一黑，甲放红，乙放黑； ④一黑一红，甲放黑，丙放红； 设取出两个红球的次数为，两个黑球的次数为，一红一黑，甲放红的次数为， 一黑一红，甲放黑的次数为， 已知红球的数量与黑球数量相等，则，解得， 乙盒中红球数量来自情况①，数量为；丙盒中黑球的数量来自情况②，数量为， 由可得乙盒中红球与丙盒中黑球一样多． 8. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得（）.根据指数不等式，举例说明即可判断A；根据对数的运算性质和指数函数的图象与性质即可判断B；解一元二次不等式即可判断C；根据指数、对数的运算性质可得，结合导数研究函数的性质即可判断D. 【详解】由，得（），所以. A：若，则，得， 当时，，所以不一定成立，故A错误； B：若，则， 得，即，又，所以此不等式不成立，故B错误； C：当时，不等式成立， 当时，不等式成立，故C错误； D：若，则，即. 设，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增，且， 所以当时，，成立，故D正确. 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知得到，可对BCD作出判断，从B出发可得到，以此，可判断 【详解】，为锐角，，可得到，① ，得，②， 由①②，又，得， 则，B正确； ，C正确； 又，，，从而，D正确； 由B知，则有，， 又，，则，所以，则A错误. 故选： 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题意可构造函数在上单调递减，再利用赋值，借助单调性研究不等式即可得出BCD的判断，对于A则举反例判断即可. 【详解】由于，因为， 所以有， 即函数在上单调递减， 对于A，根据函数在上单调递减，不妨取，满足，此时，故A错误； 对于B，由，都有， 即 同向不等式可相加得：，故B正确； 对于C，由，可得， 即，故C正确； 对于D，不妨设任意的，都有， 即， ，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若正实数 ，满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数 ，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 13. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，化简得到，令，转化为直线与有两个交点，求解即可. 【详解】由题意可得，，所以等价于， 即在时，有两个不同的解，所以，令， 问题转化为直线与有两个交点时，的取值范围，所以， 令，解得，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此在处，取得最大值，所以， 当时，，当时，，所以. 14. 已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，等价变形恒成立的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则， 所以实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】（1）480 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解； （2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. 【小问2详解】 ①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件 表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 16. 给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）和 （2），， 【解析】 【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【小问1详解】 二项展开式的通项公式为： . 若选①，则由题得， ∴，即， 解得或(舍去)，∴. 若选②，则由题得，∴， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为， ，. 【小问2详解】 由（1）可得二项展开式的通项公式为： . 当即时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为: ，，. 17. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值与最小值； （3）若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【小问1详解】 函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． 【小问2详解】 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 18. 已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知直线交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 ，若直线和的斜率之商为，证明： 以下问题： （ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 【答案】（1），； （2）（ⅰ）设，，，显然的斜率不为零，否则有，，直线，此时， 而直线和的斜率之商为2，故矛盾，故设直线， 由，得， 依题意，，且， 所以，且，，，，， 因为直线和的斜率之商为2，所以， 因为点 在上，所以，即， 所以，即， 即，化简可得，解得：， 此时恒成立，所以，过定点； （ⅱ）由（ⅰ）知，，，，当，即时， ， 所以点均在的右支，如图， 此时， 所以是钝角，是钝角三角形； 当时，即或，， 所以分别在的两支，不妨设 在的右支，则，如图， 设，则， 所以，因为过点，所以, 所以是钝角，是钝角三角形.综上可知，是钝角三角形. 【解析】 【分析】（1）先设动点坐标，，再根据条件转化为坐标关系式，求曲线方程； （2）（ⅰ）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后，可得定点；（ⅱ）利用向量的数量积可判断三角形的形状. 【小问1详解】 设，， 由题意可知，，整理为，， 所以双曲线的方程为，； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，进而结合二次不等式的性质对分类讨论可得结果； （2）（ⅰ）令，即，结合直线与无交点，并利用（1）的结果得到的取值范围； （ⅱ）由（1）中方程有，，化简可得，利用导数讨论单调性可得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ）令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为． （ⅱ）由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $