精品解析：山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高二下学期第二学段模块（期末）考试数学试题

泰山国际学校2023-2024学年第二学期第二学段模块考试 高二数学试题 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解一元一次不等式和一元二次不等式，再求两集合的并集即得. 【详解】由可得，，即， 又由可得，，即， 则. 故选：A. 2. 已知等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，则斜边所在直线的斜率为（ ） A. 或2 B. 或3 C. 或4 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】设直角边AC所在直线的倾斜角是，则斜边的倾斜角是或，利用三角函数求倾斜角的正切值，即可求得直线的斜率. 【详解】解：因为等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，所以AC所在直线的斜率为，即， 设直线AC的倾斜角为，则， 因为斜边与直角边的倾斜角相差45°，则斜边的倾斜角为或， 所以， ， 所以斜边所在直线的斜率为或4． 故选：C． 3. 已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 5. 已知函数，则“有极值”是（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点的定义求出的范围，验证充分性和必要性即可. 【详解】定义域为,由得， 令，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增，又因为， 所以当时，有极值； 当时，令解得，所以在上小于0，在上大于0， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为当时，， 有极值则， 令，则，， 再令，则，解得， 所以在单调递增，在单调递减，又， 所以当时，，即，解得， 综上有极值，则或或， 所以有极值是的必要不充分条件， 故选：B. 6. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数即可. 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 7. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 68 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】用排除法，先求出把5人分到四个小学的方法数，减去小学去了甲，乙，丙中一个或两个的方法即可得． 【详解】先把5人分到四个小学，排除小学安排了甲，乙，丙的情况（分为小学只去1人是甲，乙，丙中的一个，B小学去了2人，其中1人是甲，乙，丙中的一个，或2人都是甲，乙，丙中的一个），因此方法数为： , 故选：B． 8. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 故选：A. 二、多项选择题 9. 在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（ ） A. E与曲线有4个公共点 B. P点不可能在圆外 C. 满足且的点P有5个 D. P到x轴的最大距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】联立方程与即可判断A；利用基本不等式即可判断B；结合B选项即可判断C；由得，设，，则关于m的方程有非负实根，设，利用导数即可判断D. 【详解】联立方程与，解得或， 所以E与曲线有2个公共点，A错误； 由，得， 当且仅当时，取等号，故B正确； 由B知，故满足且的点P仅有与，共有3个，故C错误； 由得，设，， 则关于m的方程有非负实根， 设，，显然在上单调递增， 由，得，则，解得，即， 所以，且等号可取到，D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式得出是判断BC的关键. 10. 已知函数，则（ ） A. 的对称轴为 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1，最小值为 D. 在上单调递减，在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A，验算是否成立即可；对于B，由即可判断；对于CD，借助函数单调性，只需求出函数在上的最大值和最小值验算即可判断CD. 【详解】作出函数的图象如图中实线所示． 对于，由图可知，函数的图象关于直线对称， 对任意的， ， 所以函数的对称轴为，A正确； 对于，对任意的， 结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误； 对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为， 要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为， 所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误； 对于，由C选项可知，函数上单调递减，在上单调递增，正确， 故选：AD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求出函数在上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 由，知， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围. 【详解】当时，， 由于为对称轴为开口向下的二次函数， ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 可得在上单调递减，在上单调递增，， 在上值域为，在上的值域为， 在上的值域为， ， 故当， 在上的值域为， 当时，为增函数，在上的值域为， ，解得，故的范围是； 当时，为单调递减函数，在上的值域为， ，解得故的范围是， 综上可知故的范围是. 13. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数单调性、正弦函数单调性得出关于不等式组，从而，进一步结合，又可得到关于的不等式组，结合即可得解. 【详解】由题意，所以在单调递增， 若在区间上单调递增，则在上单调递增， 所以，其中，解得， 从而等号不能同时成立，解得， 又，所以只能或， 即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在得出后还要结合题意得，，由此即可顺利得解. 四、双空题 14. 设是定义在上周期为2的函数，当时，则（1）______，（2）若，，则______， 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】由是定义在上周期为2的函数，先求出，从而可求出的值；由已知可知，而，，所以可得，然后对分奇数和偶数分别求解的值 【详解】解：因为是定义在上周期为2的函数， 所以， 所以， 当时，， 所以时，由，，可得， 所以当为偶数时，， 所以， ， 所以2， 当为奇数时，， ， 所以，， 所以 2， 综上，2， 故答案为：1，2 五、解答题 15. 已知函数的最小正周期为，且图象关于点对称，把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数． （1）求函数和的解析式； （2）若方程在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由函数对称性、周期性列式求解参数即可得出，利用平移伸缩变换法则可得； （2）通过换元法得出在上有解，进一步分离参数即可得解. 【小问1详解】 由，得， 由的图象关于点对称，则，即， 又由，则， 故， 由于的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数， 故. 【小问2详解】 由（1）知，把，代入方程，得， 即方程在上有解， 令，则， 上述方程转化为在上有解， 进一步转化为在上有解， 令，则在上单调递增， 故，也即是. 16 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 【答案】空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 【解析】 【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台,建立三元一次方程组,则总产值．由于每周冰箱至少生产60台,即,所以.又生产空调器、彩电、冰箱共360台,故有台,即可求得,具体的x,y,z的值． 【详解】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有 总产值 ,而, , 即. 故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 17. 已知函数（，）且图象的相邻两条对称轴间的距离为，. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再求出，最后根据求出和单调减区间； （2）先求出，再求出或，将问题转化为图像交点问题，在根据三角函数的对称性求解. 【小问1详解】 由题意可得：， ∵图象的相邻两条对称轴间的距离为， ∴的最小正周期为，即可得， 又，，所以，故， 令，解得 所以函数的递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象， ∵，则或， 画出的图象如图所示： 令，，解得， ， 即图像在轴右边前两个取最大值的对称轴为和，则，， ∴方程在内所有根的和为. 18. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）当时，，且； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【小问1详解】 依题意，函数定义域是R， ， 即，成立， 所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数. 【小问2详解】 因，是上的P级周期函数，则，即， 而当时，，当时，，， 当时，，则， 当时，，则， …… 当时，，则， 并且有：当时，，当时，，当时，，……， 当时，， 因是上的严格增函数，则有，解得， 所以当时，，且. 【小问3详解】 假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数， 即，恒有成立，则，恒有成立， 即，恒有成立，当时，，则，， 于是得，，要使恒成立，则有， 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即， 当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解， 所以存在，符合题意，其中满足. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰山国际学校2023-2024学年第二学期第二学段模块考试 高二数学试题 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，则斜边所在直线的斜率为（ ） A. 或2 B. 或3 C. 或4 D. 或5 3. 已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（    ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“有极值”是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. -1 7. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 68 D. 80 8. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（ ） A. E与曲线有4个公共点 B. P点不可能在圆外 C. 满足且的点P有5个 D. P到x轴的最大距离为 10. 已知函数，则（ ） A. 对称轴为 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1，最小值为 D. 在上单调递减，在上单调递增 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 三、填空题 12. 定义在上函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为__________. 13. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是___________． 四、双空题 14. 设是定义在上周期为2的函数，当时，则（1）______，（2）若，，则______， 五、解答题 15. 已知函数的最小正周期为，且图象关于点对称，把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数． （1）求函数和的解析式； （2）若方程在上有解，求实数k取值范围． 16. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 17. 已知函数（，）且图象的相邻两条对称轴间的距离为，. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 18. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$