山东省高密市第一中学2025-2026学年高二卓越班下学期6月检测数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，以概率统计、函数导数等为载体，通过数学文化竞赛（题17）、数字排列（题19）等情境，考查抽象能力、数据意识与逻辑推理，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|随机变量、方差、导数应用|题2结合数据插入考查方差最小化，体现数学思维| |多选|3/15|条件概率、函数性质|题9以三台车床加工为情境，考查全概率公式，培养数据观念| |填空|3/15|二项式定理、回归方程|题13通过观测数据建立回归模型，强化数学语言表达| |解答|5/50|分层抽样、函数单调性、数字排列|题17结合数学文化竞赛统计分析，题19探究数字排列中的计数与概率，突出应用意识与创新思维|

卓越高二6月检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设随机变量，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2．在一组数据1，2，4，5，8中插入一个数后，该组数据的方差为，则的下列取值中，使得最小的是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．下列结论中正确的是（    ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 4．已知定义在上的可导函数满足，不等式的解集为，则= A．1 B．2 C．3 D．4 5．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 6．若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则数据、、、、、、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 7．若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C．2 D．3 8．利用“”可得到许多与n（且）有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”（，2，3），则（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D．| 11．已知是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（    ） A．当时， B．当时， C． D． 三、填空题 12．的展开式的常数项是________（用数字作答） 13．已知随机变量，的五组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数的值为______． 14．已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______． 四、解答题 15．设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．已知函数(其中常数). （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，且，求证：. 17．为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 18．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)函数． （ⅰ）当时，讨论函数在区间上的零点个数； （ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19．将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 卓越高二6月检测数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C B A C C ABC BD 题号 11 答案 BD 12．240 13． 14． 15．【详解】（1）根据二项式定理可得，，解得； （2）由（1）知，，令得 再令得所以； （3）在式子中， 令可得 16．【详解】（1）， 记，， ①当，即时，，故，所以在单调递增． ②当，即当时，有两个实根，， 注意到，（1）且对称轴，故，， 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减． （2）有两个极值点，且，为的极大值点 由（1）知，，又， 设 单调递增， 即 17．【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，解得，. （2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人，根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . .   列出的分布列： 可得. （3）已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 18．【详解】（1）当时，，则，， 令，则，所以在上单调递减，又， 所以当时，，当时，， 即当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（ⅰ）由题可得， 令，则， 当时，在上恒成立，所以在上单调递减， 又，， 当时，，此时函数在上无零点； 当时，，此时函数在上有且仅有一个零点. （ii）当时，可化为，即， 令，设函数，，则， 当，即时，函数在上单调递增， 所以，即且不恒为零， 所以函数在上单调递增，所以， 即不等式在上恒成立； 当，即时，在上，函数单调递减， 故，即，所以函数在区间上单调递减， 故存在使得，不合题意； 综上，实数的取值范围为. 19．【详解】（1）当时，有，即这个数字共有195个数字， 其中数字0的个数有12个，所以恰好取得0的概率； （2）当，这个数由n个1位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数，个四位数组成，； 综上，. （3）当时，； 当时，；当时，， 所以， 同理， 所以，则， 当，则， 当，， 当，， 当，， 由关于单调递增， 当，最大值为， 又，所以时最大值为. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $