精品解析：2023年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第2试试卷

2023年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第2试） 一、填空题（每题5分，共60分） 1. 若＋x＝1.5，则x＝（ ）。 【答案】## 【解析】 【分析】根据标志性的“142857”循环节，可以将化为，约分后为，再进行计算。 【详解】原方程可化为：＋x＝1.5，解得x＝。 2. 同一款遥控飞机，网上售价为300元，比星星玩具店的售价低20%，则这款遥控飞机在星星玩具店的售价是（ ）元。 【答案】375 【解析】 【分析】把星星玩具店的售价看作单位 “1”，可得等量关系式：星星玩具店的售价 × （1 － 20%） ＝ 网上售价。已知网上售价为 300 元，要求作为单位 “1” 的星星玩具店售价，需用除法计算，即网上售价 ÷ （1 － 20%） ＝ 星星玩具店的售价。 【详解】 （元） 3. 如图所示的老式自行车，前轮的半径是后轮半径的2倍。当前轮转10圈时，后轮转（ ）圈。 【答案】20 【解析】 【分析】车轮转一圈的路程等于车轮的周长。根据圆的周长公式“2×圆周率×半径”可知圆的周长与半径成正比，所以行驶路程相同，周长和转的圈数成反比。 【详解】前轮半径是后轮半径的2倍，所以前轮周长是后轮周长的2倍。 路程相等，周长越大圈数越少，圈数比为前轮：后轮＝1∶2。 前轮转10圈，后轮转圈数： 10×2＝20（圈） 4. 有两组数，第一组数的平均数是15，第二组数的平均数是21，如果这两组数中所有数的平均数是20，那么，第一组数的个数与第二组数的个数的比是（ ）。 【答案】1∶5 【解析】 【分析】利用平均数十字交叉法，通过两组平均数和总平均数，直接求个数比。平均数差值的反比，就是两组数的个数比。 【详解】第一组平均数15，第二组平均数21，全体平均数20。 第一组与总平均数的差：20－15＝5； 第二组与总平均数的差：21－20＝1； 个数比为差值反比： 第一组个数：第二组个数＝1∶5。 5. A、B、C三个分数，它们的分子和分母都是自然数。并且分子的比是3：2：1，分母的比是2：3：4，三个分数的和是，则A-B-C=________。 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，已知分子的比与分母的比，可以把它们看成份数比，设A、B、C三个分数分别为 、、，根据条件“ 三个分数的和是 ”列方程，然后求出y与x的值，代入三个分数式子中，求出三个分数，然后相减即可解答。 【详解】设A、B、C三个分数分别为 、、。 则++= 即++=， = ， 即29y=29，y=1；12x=60，x=5。 所以A=，B= ，C=， 所以A-B-C=--=。 故答案为：。 6. 如图，将长方形ABCD沿线段DE翻折，得到六边形EBCFGD。若∠GDF＝20°，则∠AED＝（ ）°。 【答案】35 【解析】 【分析】将长方形ABCD沿线段DE翻折，∠ADE＝∠GDE；则∠ADG＝∠ADE＋∠GDE＝2∠ADE＝∠ADE＋∠GDF＝90°＋20°＝110°，则可以得出∠ADE＝55°。 最后根据直角三角形除了直角其他两个内角和为90°，得出∠AED的度数。 【详解】依据分析： 90°＋20°＝110° 110°÷2＝55° 90－55＝35° 则∠AED＝35°。 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，DF＝2FC。若阴影部分的面积是10，求平行四边形ABCD的面积。 【答案】24 【解析】 【分析】连接AC，将平行四边形分为两个三角形，利用等高模型，将底边上的比转化为面积比，最终得到阴影部分面积与平行四边形的面积关系。 设平行四边形 的面积为 ，连接 ，将其分为面积相等的两个三角形和，各为。点 是中点，的面积为面积的，即。 ，即，的面积为面积的，即。阴影部分为与的面积和。 【详解】连接AC，平行四边形对角线平分面积，。 是中点，与等底同高，面积相等，。 ，则。 在中，与 等高，底边，， ，平行四边形的面积。 8. 如图，直角 的斜边，以点 为中心，将 顺时针旋转，点分别到达点，则 边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是（ ）。（ 取3） 【答案】75 【解析】 【分析】根据题意，直角 顺时针旋转了120°，则∠ABE＝120°；∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°。 直角 的面积与直角 的面积相等。 阴影部分的面积＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积＋直角 的面积－直角 的面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 ＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 扇形的面积＝πr2× 【详解】阴影部分面积：3×102×－3×52× ＝3×100×－3×25× ＝3×100×－3×25× ＝3××（100－25） ＝3××75 ＝1×75 ＝75 9. 参加体操、武术、钢琴、书法四个兴趣小组的学生中，每人最多可以参加两个兴趣小组。为了保证所选兴趣小组的情况完全相同的学生不少于6人，则参加小组的学生至少有（ ）人。 【答案】51 【解析】 【分析】每人最多参加两个兴趣小组，分两类：只参加1个小组、参加2个小组。先算出一共有多少种不同参加情况，当作抽屉数，再保证不少于6人情况相同，求最少总人数。 【详解】只参加1个：4种；参加2个：6种，总情况数：4＋6＝10（种）； 先每种情况都有5人，再加1人就必有一组达到6人。10×5＋1＝51（人）。 10. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若△ACE的面积为18，则三个阴影部分的面积和为（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】图中是正六边形ABCDEF，可将其分割为18个面积相等的小三角形。△ACE的面积占其中9个小三角形，已知△ACE面积为18，可先求出每个小三角形的面积；三个阴影部分的面积和包含3个小三角形。 【详解】 如图得：18÷9＝2，2×3＝6，三个阴影部分的面积和为6。 11. 小红在上午将近11点时出家门，这时挂钟的时针和分针重合，当天下午将近5点时，她回到家，这时挂钟的时针与分针方向相反（在一条直线上）。则小红共出去了（ ）小时。 【答案】6 【解析】 【分析】利用钟表指针的运动规律，分别计算出门和回家的精确时间，再求时间差。解题的关键是： 分针速度：6°/分钟（ ）， 时针速度：0.5°/分钟（ ）， 分针和时针的速度差：5.5°/分钟。 【详解】（1）确定出门的时间： 题干中说将近11点，时针和分针重合。也就是还没到11点。 钟表一圈是360°，被平均分成了12个大格（对应 1－12 点）。所以：每过1小时，时针走1大格，转动30°； 10点整时，时针领先分针10个大格（）。两针重合，就是分针要追上这10个大格的差距（300°），根据分析，分针和时针的速度差：5.5°/分钟。需要的时间： （分钟）， ，符合题意上午将近11时，所以小红的出门时间为：时。 （2）确定回家的精确时间： 同理，下午4点整时，分针落后时针4个大格（）。两针反向成直线，意味着分针需要从落后时针4个大格（120°），变为领先时针6个大格（180°），总共需要比时针多走。 需要的时间：（分钟）， ，符合题意下午将近5时，所以小红的回家时间为：下午时，即：时。 出门和回家的时间差： （小时） 所以小红共出去了6小时。 12. 甲乙两人分别从相距10千米的A、B两地出发，相向而行，若同时出发，他们将在距A、B中点1千米处相遇；若甲晚出发5分钟，则他们将在A、B中点处相遇，此时甲走了多少分钟？ 【答案】10 【解析】 【分析】依据题意，甲晚出发5分钟，他们将在A、B中点处相遇，可知如果甲正常出发，相遇点一定会向右移，即甲正常出发一定会在中点右侧相遇。 先由第一次相遇位置求出甲乙路程比，得到速度比；第二次在中点相遇，两人走的路程相等，结合速度比求时间关系。最后根据“甲晚出发5分钟”的时间差算出甲行走的时间。 【详解】根据分析，相遇点在中点右侧1千米处。则甲比乙多走：1×2＝2（千米），甲走了6千米，乙走了4千米，甲乙路程比＝6∶4＝3∶2；甲乙速度比＝3∶2；甲乙时间比＝2∶3. 如果甲用时2份，乙用时3份，乙用时比甲多1份，这1份正好对应甲晚出发的5分钟，甲用时为2个甲晚出发的时间。 2×5＝10（分钟） 答：此时甲走了10分钟。 二、解答题（每题15分，共60分） 13. 超市购进砂糖桔500kg，每千克进价是4.80元，预计重量损耗为10%。若希望销售这批砂糖桔获利20%，则每千克砂糖桔的零售价应定为多少元？ 【答案】 6.4元 【解析】 【分析】根据题意： 用购进砂糖橘的重量和每千克的进价相乘，计算出购进砂糖橘的总成本价；把购进的重量看成单位“1”，用购进的总重量×（1－损耗率）计算出损耗后的实际销售重量；把总成本价看成单位“1”，用总成本×（1＋利润率）计算出目标销售额；最后用目标销售额÷实际销售重量计算出每千克的零售价。 【详解】总成本价：500×4.80＝2400（元） 实际销售重量： 500×（1－10%） ＝500×0.9 ＝450（千克） 目标销售额： 2400×（1＋20%） ＝2400×1.2 ＝2880（元） 每千克零售价：2880÷450＝6.4（元） 答：每千克砂糖桔的零售价应定为6.4元。 14. 将边长是7的大正方形分割为边长分别是1，或2，或3的小正方形，其中至少有多少个边长是1的正方形？在图中画出你的分割方法。 答：至少有（ ）个边长是1的正方形。 【答案】3个；图见详解。 【解析】 【分析】要求至少有多少个边长是1的正方形，就是要把边长为2或3的小正方形排得足够多。排得足够多的逻辑是密铺，即尽量让边长为2或3的小正方形从外围开始，能尽量地贴满，无空隙地并在一起，中间无法铺入边长为2或3的小正方形的地方，就用边长是1的正方形代替，且要求缝隙尽可能地小。 观察这个大正方形边长为7，可以写成7＝3＋2＋2，以此为思路分割。 【详解】分割图如下： 答：至少有3个边长是1的正方形。 15. 如图，△ABC是边长为108cm的等边三角形，虫子甲和乙分别从A点和C点同时出发，沿△ABC的边爬行，乙逆时针爬行，速度比是4∶5，相遇后，甲在相遇点休息10秒钟，然后继续以原来的速度沿原方向爬行；乙不休息，速度提高20%，仍沿原方向爬行，第二次恰好在BC的中点相遇。求开始时，虫子甲和乙的爬行速度。 【答案】10.6cm/s；13.25cm/s 【解析】 【分析】先根据甲、乙速度比求出第一次相遇时各自走的路程，再结合第二次相遇的位置求出从第一次相遇到第二次相遇时甲、乙各自走的路程，进而得到速度比，最后通过设未知数根据时间关系列方程求解甲、乙的爬行速度。 【详解】甲、乙速度比是4：5，相同时间路程比是4：5 走完AB+BC折线：108×2＝216（cm） 甲走路程：（cm） 乙走路程：（cm） 第二次相遇在BC中点，则甲路程为：（108−96）＋108÷2＝66（cm） 乙路程为：96＋108＋108÷2＝258（cm） 甲、乙速度比变为：4：[5×（1＋20%）]＝4：6，设甲速度为cm/s，乙速度为cm/s 解得x＝2.65 则甲开始速度为：2.65×4＝10.6cm/s，乙开始速度为：2.65×5＝13.25 cm/s 答：甲开始速度为10.6cm/s，乙开始速度为13.25cm/s。 16. 用0、1、2、3、4、5中的某两个数组成一个五位偶数，其中一个数字出现2次，另一个数字出现3次。那么共有多少个满足条件的五位数。 【答案】118个 【解析】 【分析】根据选出的两个数字中是否含有0进行分类，因为0不能作为五位数的首位分情况讨论。再根据组成的五位数是偶数进一步得出个位必须是0、2或4。区分哪个数字出现2次，哪个数字出现3次。计算排列数：结合首位不能为0和个位必须为偶数的限制，分别计算每种情况下的五位数个数，最后求和。 【详解】第一类：含有数字0，设另一个数字为 ， 从1、2、3、4、5中选取。 1.当0出现3次，出现2次时：五位数的万位必须是 （因为 0 不能在首位）。 若 是奇数（1、3、5）：个位必须是0。中间三个数位由0、0、 组成， 有3个位置可选。 数量为： （个）。 若 是偶数（2、4）：个位可以是0或。当个位是0时，中间三个数位由0、0、 组成，有3个位置可选，数量为 （个）。 当个位是 时，中间三个数位由0、0、0组成，只有1种排法，数量为：（个）。 此情况共有：（个）。 本小类合计：（个）。 2.当0出现2次， 出现3次时： 五位数的万位必须是 。 若 是奇数（1、3、5）：个位必须是0。中间三个数位由0、 、 组成，0有3个位置可选。数量为： （个）。 若 是偶数（2、4）：个位可以是0或 。当个位是0时，中间三个数位由0、 、 组成，0有3个位置可选，数量为（个）。 当个位是 时，中间三个数位由0、0、 组成， 有3个位置可选，数量为（个）。 此情况共有：（个）。本小类合计：（个）。 第二类：不含数字0数字从1、2、3、4、5中选取两个。若要组成偶数，选出的两个数字中至少有一个是偶数。 1.两个数字都是偶数（2 和 4）：2出现3次，4出现2次：从5个数位中选2个位置放4，其余放2，共有10种排法。个位均为偶数，都符合条件。4出现3次，2出现2 次：从5个数位中选2个位置放2，其余放4，共有10种排法。个位均为偶数，都符合条件。 本小类合计：（个）。 2.一个偶数一个奇数：偶数有2、4（2种），奇数有1、3、5（3种），共组成组数字。偶数出现3次，奇数出现2次：个位必须是偶数。固定个位后，剩余4个数位中选2个位置放奇数，有6种排法。数量为： （个）。奇数出现3次，偶数出现2次：个位必须是偶数。固定个位后，剩余4个数位中选1个位置放剩下的偶数，有4种排法。 数量为：（个）。本小类合计：（个）。 总计满足条件的五位数共有： （个）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第2试） 一、填空题（每题5分，共60分） 1. 若＋x＝1.5，则x＝（ ）。 2. 同一款遥控飞机，网上售价为300元，比星星玩具店的售价低20%，则这款遥控飞机在星星玩具店的售价是（ ）元。 3. 如图所示的老式自行车，前轮的半径是后轮半径的2倍。当前轮转10圈时，后轮转（ ）圈。 4. 有两组数，第一组数的平均数是15，第二组数的平均数是21，如果这两组数中所有数的平均数是20，那么，第一组数的个数与第二组数的个数的比是（ ）。 5. A、B、C三个分数，它们的分子和分母都是自然数。并且分子的比是3：2：1，分母的比是2：3：4，三个分数的和是，则A-B-C=________。 6. 如图，将长方形ABCD沿线段DE翻折，得到六边形EBCFGD。若∠GDF＝20°，则∠AED＝（ ）°。 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，DF＝2FC。若阴影部分的面积是10，求平行四边形ABCD的面积。 8. 如图，直角 的斜边，以点 为中心，将 顺时针旋转，点分别到达点，则 边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是（ ）。（ 取3） 9. 参加体操、武术、钢琴、书法四个兴趣小组的学生中，每人最多可以参加两个兴趣小组。为了保证所选兴趣小组的情况完全相同的学生不少于6人，则参加小组的学生至少有（ ）人。 10. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若△ACE的面积为18，则三个阴影部分的面积和为（ ）。 11. 小红在上午将近11点时出家门，这时挂钟的时针和分针重合，当天下午将近5点时，她回到家，这时挂钟的时针与分针方向相反（在一条直线上）。则小红共出去了（ ）小时。 12. 甲乙两人分别从相距10千米的A、B两地出发，相向而行，若同时出发，他们将在距A、B中点1千米处相遇；若甲晚出发5分钟，则他们将在A、B中点处相遇，此时甲走了多少分钟？ 二、解答题（每题15分，共60分） 13. 超市购进砂糖桔500kg，每千克进价是4.80元，预计重量损耗为10%。若希望销售这批砂糖桔获利20%，则每千克砂糖桔的零售价应定为多少元？ 14. 将边长是7的大正方形分割为边长分别是1，或2，或3的小正方形，其中至少有多少个边长是1的正方形？在图中画出你的分割方法。 答：至少有（ ）个边长是1的正方形。 15. 如图，△ABC是边长为108cm的等边三角形，虫子甲和乙分别从A点和C点同时出发，沿△ABC的边爬行，乙逆时针爬行，速度比是4∶5，相遇后，甲在相遇点休息10秒钟，然后继续以原来的速度沿原方向爬行；乙不休息，速度提高20%，仍沿原方向爬行，第二次恰好在BC的中点相遇。求开始时，虫子甲和乙的爬行速度。 16. 用0、1、2、3、4、5中的某两个数组成一个五位偶数，其中一个数字出现2次，另一个数字出现3次。那么共有多少个满足条件的五位数。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $