第五章 二元一次方程组 单元检测 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，全面覆盖二元一次方程（组）的概念、解法及应用，融合文化传承与现实情境，注重抽象能力、模型意识与推理能力的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义、解、方程组求解、《孙子算经》问题、一次函数与方程组关系|基础巩固，结合古代数学文化，考查抽象能力| |填空题|5/15|方程解的应用、《增删算法统宗》问题、函数图像与方程组解|能力提升，体现数学眼光，强化模型意识| |解答题|7/55|解方程组、加工容器问题、绿色校园项目、对称二元一次方程组新定义|创新应用，融合现实情境与跨学科项目，发展推理能力与应用意识|

【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第五章　二元一次方程组 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 4．（本题3分）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在社会实践中，某班组织学生去植树，如图是红红和亮亮的对话．设植树的男生有人，女生有人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（本题3分）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 10．（本题3分）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 12．（本题3分）若是二元一次方程的一组解，则a的值为 ． 13．（本题3分）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 14．（本题3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺．设绳索长x尺，竿长y尺．根据题意可列方程组为 ． 15．（本题3分）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图像如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有 ． ①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在地时距地面的高度为30米；③乙登山5.5分钟时追上甲：④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）计算： (1)； (2)若方程组的解是，求的值． 17．（本题7分）解下列方程组： (1) (2) 18．（本题8分）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 19．（本题8分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)若这个函数的图象与轴交于点，求的面积． 20．（本题8分）如图，平面直角坐标系中，点． (1)求所在直线的解析式； (2)求的面积． 21．（本题9分）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 22．（本题9分）【项目主题】绿色校园，资源再生 【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周． 【活动步骤】 第一步：每周收集易拉罐和旧报纸； 第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋； 第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据． 【统计数据】 数量 第一周 第二周 第三周 易拉罐/个 80 旧报纸/张 120 总数 200 188 兑换表 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本； 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋 【解决问题】 (1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？ (2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），共兑换了41本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量． (3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易拉罐和旧报纸的可能数量（分析并列举出所有整数解） 【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第五章　二元一次方程组 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 解： A. ，不是二元一次方程，不符合题意；     B. ，不是二元一次方程，不符合题意； C. ，不是二元一次方程，不符合题意；     D. ，是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 解：A．当，时，代入方程得，等式成立，故A正确； B．当，时，代入方程得，等式不成立； C．当，时，代入方程得，等式不成立； D．当，时，代入方程得，等式不成立； 故选：A． 3．（本题3分）若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 解：把代入二元一次方程组， 得，解得：， 则， 故选：A． 4．（本题3分）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 解：设木头长尺，绳子长尺， 由题意得：， 故选：C． 5．（本题3分）如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 解：由条件可得得，即， 所以，一次函数与的图象交于， 所以二元一次方程组的解是， 故选：C． 6．（本题3分）方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 7．（本题3分）在社会实践中，某班组织学生去植树，如图是红红和亮亮的对话．设植树的男生有人，女生有人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 解：∵一共有个学生， ∴， ∵男生每人种棵，女生每人种棵，故男生一共种棵，女生一共种棵， ∴， ∴可列方程组为：， 故选：D． 8．（本题3分）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵x、y是方程组和的公共解， ∴满足方程组 解这个方程组得 把代入 ， 解得 ∴点在第四象限． 故选D． 9．（本题3分）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 10．（本题3分）已知关于x、y的二元一次方程组和代数式．若不论取何有理数，的值始终不变，则这个值为（   ） A． B． C．2 D．4 解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴， ∵不论m取何有理数，的值始终不变， ∴， 解得：， ∴这个值为：， 故选：C． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 解：将代入方程得：， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）若是二元一次方程的一组解，则a的值为 ． 解：是二元一次方程的一组解， ， 解得：， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 解：∵直线与直线相交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 14．（本题3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺．设绳索长x尺，竿长y尺．根据题意可列方程组为 ． 解：设绳索长x尺，竿长y尺 ∵用绳索去量竿，绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺， ∴， ∴ 故答案为： 15．（本题3分）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图像如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有 ． ①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在地时距地面的高度为30米；③乙登山5.5分钟时追上甲：④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 解：甲登山上升的速度是（米/分钟）， 乙提速后的速度为：（米/分钟）， ， ， 故①②正确； 设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴函数关系式为． 同理求得段对应的函数关系式为， 当时，解得：， ∴乙登山分钟时追上甲，故③错误； 当时，高度差为， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 故登山4分钟、9分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米．故④错误； 故答案为：①②． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）计算： (1)； (2)若方程组的解是，求的值． （1）解： ； （2）解：∵方程组的解是， ∴， ∴， ∴． 17．（本题7分）解下列方程组： (1) (2) （1）解：， 将②代入①，得 ， 解得， 将代入②得， 所以原方程组的解为； （2）解：， ，得③ 得， 解得：， 将代入①得， 解得， 所以原方程组的解为． 18．（本题8分）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ （1）（张），（张）． 故答案为：7；3． （2）设加工的竖式容器个，横式容器个， 根据题意，得 解得： 答：加工的竖式容器150个，横式容器475个． 19．（本题8分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)若这个函数的图象与轴交于点，求的面积． （1）解：设一次函数的解析式为， 代入点和点得， 解得： ∴ （2）当时，， 解得， ∴，则， ∵，则， ∴的面积 20．（本题8分）如图，平面直角坐标系中，点． (1)求所在直线的解析式； (2)求的面积． （1）解：设直线的解析式为， 把代入，得， 解得：； ∴直线的解析式为； （2）当时，， ∴直线与y轴交于点， ∴的面积． 21．（本题9分）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 解：（1）方程的“对称二元一次方程”是； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； （4）①， ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； ② ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 22．（本题9分）【项目主题】绿色校园，资源再生 【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周． 【活动步骤】 第一步：每周收集易拉罐和旧报纸； 第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋； 第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据． 【统计数据】 数量 第一周 第二周 第三周 易拉罐/个 80 旧报纸/张 120 总数 200 188 兑换表 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本； 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋 【解决问题】 (1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？ (2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），共兑换了41本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量． (3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易拉罐和旧报纸的可能数量（分析并列举出所有整数解） （1）解：（本）． 答：第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，可兑换46本； （2）设第二周收集的易拉罐为个，旧报纸为张， 由题得， 解得 答：第二周收集的易拉罐为120个，旧报纸为68张； （3）人本/人本．前两周已兑换本，第三周需兑换3本． 该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，则需要个易拉罐， 剩余回收物需兑换个大环保袋，设剩余易拉罐为个、旧报纸为张（且，）． 第一种：当时，第三周收集易拉罐115个，旧报纸20张． 第二种：当时，第三周收集易拉罐90个，旧报纸40张． 第三种：当时，第三周收集易拉罐65个，旧报纸60张． 第四种：当时，第三周收集易拉罐40个，旧报纸80张． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $