2026-2027学年初升高数学衔接资料：10.根与系数的关系（韦达定理）讲义

第10讲 根与系数的关系（韦达定理） 知识点1：一元二次方程根的判别式 知识点2：韦达定理（根与系数的关系） 知识点3：常用推论 知识点4：根的分布 知识点1 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ，， 则有 ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． ※知识点3常用推论 知识点4 根的分布（以 为例） 设 为两实数根. 分布情况 条件 两正根 两负根 一正一负 两根均大于 对称轴 两根均小于 对称轴 一根在 内，另一根在外 两根分别在 和 内 且 注意要点:使用韦达定理的前提：必须先验证判别式； 根的分布问题：结合二次函数图象（开口方向、对称轴、端点函数值）综合分析； 整体代换思想：利用对称式（如 ）表示 、等。 【题型1 根的判别式与韦达定理求参数】 【典例1】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴解得，； （2）解：∵、是方程的两个根， ∴，又，整理得，， ∴整理得，，解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 【题型2根的判别式的应用】 ※【典例2】判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 【详解】解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根 ， ． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． 说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 【题型3 根的分布】 ※【典例3】关于 x的方程有两个正实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：A 【详解】解：方程有两个正根，则 ，解得或；两根之和 ，即 ；两根之积 恒成立。取交集得。 【题型4 韦达定理的应用】 ※【典例4】若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1） 求| x1－x2|的值； （2）求的值； （3）x13＋x23． 【详解】解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴，． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ ＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． ※说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则 ，， ∴| x1－x2|＝ ． 于是有下面的结论： 若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 1．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 3.知方程的两个实数根为 ，且，则m的值为（ ） A. B.   C.   D. 4.已知关于 的方程的两个实数根满足，则k的值为（ ） A.   B.   C.  D. 任意实数 5.设 是方程 的两个实数根，且 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A.   B.   C.   D. 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是_． 6.已知 是方程 的两个实数根，则 的最小值为________。 7.已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 8．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 9．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值． 10. 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 第10讲 韦达定理与根的分布答案 1、C; 2、A; 3、B; 4、D; 5、B 6、4； 7.【答案】(1)(2)2 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得； 1. 设方程的两根为，，根据根与系数的关系，得，∴ 8．k＜4，且k≠0 9．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9 10.解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4， 由②得 a＜． ∴a的取值范围是a＜4． 学科网（北京）股份有限公司 $