2026-2027学年初升高数学衔接资料：9.一元二次方程解法讲义

第9讲 一元二次方程解法 知识点1：一元二次方程定义 知识点2：一元二次方程解法 1、定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项． 2、一元二次方程的解法 ①直接开平方法：直接开平方解形如的方程，其解为. ②配方法：一元二次方程通过配方化成的形式，再用直接开平方法求解. ③公式法：一元二次方程的求根公式：. ④因式分解法：如果一元二次方程的左边可以分解成两个一次因式相乘，则这两个因式至少有一个为0，原方程即可化为两个一元一次方程来解. ※高中知识点衔接：初中已经对一元二次方程解法进行了详细的讲解，但初中学生对于一元二次方程几种解法的掌握并不熟练，特别是对于因式分解法.而高中教材中的二次函数、不等式以及解析几何等内容都大量的应用了一元二次方程，这就要求学生对一元二次方程解法的掌握要达到一定程度，所以我们需要再对一元二次方程解法进行加深和巩固. 【类型1、2：直接开平方法、配方法】 【典例1】解方程：（1）； （2） 【详解】解： 【详解】解： 解得：，． 解得，． 【类型3：因式分解法】 【典例2】解方程：（1） (2) 解：（1）， （2）解：， ， 或， 或， 解得； 解得：，； 【类型4：利用求根公式求解】 【典例3】解方程： 解：整理得， ，，， ， ∴， ∴， 【类型5：换元法求解】 【典例4】已知，则的值为 ． 解：设，∵，∴，∴，∴，∴，∴， ∴，，∵，∴应舍去，∴，∴．故答案为： 1. 解下列一元二次方程： (1)； (2) （3）． 2.解方程（1）． (2). (3)， 3．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 4.用适当的方法解方程 (1) (2) （3） (4) （5） (6) 5.解下列一元二次方程： (1) （2） （3） (4) （5） （6） （7） （8）． 6.判断下列关于的方程根的情况（为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1） （2） （3） 7.阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为．． ．．或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，；当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法） 【拓展延伸】 已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 第9讲 一元二次方程解法答案 1.(1) (2)x=-4或-2 （3） 2.（1），; （2）; (3)． 3.(1); (2); (3) (4)，． 4.(1) (2) (3) (4) 5.（1）；（2）；（3）；（4）.（5）；（6）；（7）；（8）， 6.（1）； 若，即时，，； 若，即时，. （2）恒成立，方程有两个不相等的实根； 由公式法，原方程的解为； (3) 若时，原方程无实数根； 若时，，； 若时，方程有两个不相等的实根； 由公式法，原方程的解为. 7.【详解】（1）①将变形为， ∴，∴，∴， .或.解方程得. 解方程得，， ∴原方程的根为：，，； ②， 设，则，方程变形为，∴， 解得：， 当，时，无实根，舍去， 当，时，解得或； ∴原方程有两个根：，； （2）解：方程的解为：， 由于，∴， ，，， ， 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $