2026-2027学年初升高数学衔接资料：6.二次根式讲义

第6讲 二次根式 知识点1：二次根式的相关概念 知识点2：二次根式的性质与化简 知识点3：二次根式运算 知识点1：二次根式的相关概念 1.二次根式 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有意义的条件分两种情况： （1）一般情况（在分子上），被开方数为非负数，即a≥0 （2）特殊情况（在分母上），被开方数为正数（分母不能为 0），即a>0。 知识点2：二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则： 二次根式的乘法法则的推广 2.二次根式的除法 除法法则： 3.最简二次根式 1. 概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 4.二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 5.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 6.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型1 二次根式的计算】 【典例1】计算：． 【详解】解法一： ＝ 　　　　　　　　 ＝ ＝ 　　　　　　　　 ＝ 　　　　　　　　 ＝． 解法二： ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ 　 　＝． 【题型2 比较数的大小】 【典例2】试比较数的大小：和 【详解】解： ∵， ， 又. 【题型3 利用二次根式的性质化简】 【典例3】 化简：（1）； （2）． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式=， ∵， ∴， 所以，原式＝． 【题型4 利用二次根式的性质求值】 【典例4】 已知，求的值 ． 【详解】解：　∵， ， 　　　　∴． 1．能使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 6．估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 7．填空： （1）＝__ ___； （2）若，则的取值范围是_ _ ___； （3）__ ___； （4）若，则______ __． 8．选择题： 等式成立的条件是 （　　 ） （A）　 （B）　　 （C）　　 （D） 9．若，求的值． 10．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）． 11．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 第6讲 二次根式答案 1．【答案】A 2．【答案】A 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 4． 【答案】A 【详解】解：； A． ，符合题意； B． ，不符合题意； C． ，不符合题意； D． ，不符合题意． 故选A． 5． 【答案】B 【详解】解：由数轴得，，且，则， ． 故选B． 6． 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 7．（1）　　（2）　　（3）　　（4）． 8．C 9．1 10．＞ 11．【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $