2026-2027学年初升高数学衔接资料：3.因式分解（一）讲义

第3讲因式分解（一） 知识导航 知识点：因式分解 区心知识梳理 知识点1：因式分解的概念 把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。（实质是整式乘 法的逆运算，结果必须是“整式积”的形式，区别于整式乘法)。 知识点2：因式分解的方法 ①提公因式法：am+bm+cm=ma+b+c 公因式的确定：公因式=各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。 若多项式首项是负的，则公因式为负。 用各项除以公因式得到另一个式子。 ②公式法： 利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解.常见的公式如下： (1)ad-b-（a+ba-b):(平方差公式) (2)±2abb=(a±b2:(完全平方公式（两个数）)） (3)otba±ba2干ab+b2):(立方和差公式) (4)±30b3abb=(a±b)月_；（完全立方公式） (5)+bt+2ob+2bc+2aca+b+c:(完全平方公式（三个数）) ③十字相乘法： 利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。 ④分组分解法： 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可 考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体 作因式分解-分组分解法即先对题目进行分组，然后再分解因式。（分组分解法一般针对 四项及以上的多项式) 知识点3：因式分解的具体步骤 (1)先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。 (2)观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字 相乘法。四项及以上则考虑分组分解。 (3)检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。 在无特别说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。 题型精讲 【题型1】提公因式法因式分解 【典例1】因式分解8a3b2-12abc+6abc 【详解】原式=2ab(4a-6c+3ad). 【题型2】提公因式法因式分解 【典例2】因式分解5x(x-y)'+10(y-x) (2)解：原式=5x(x-+10[-(x-)] =5x(x-y)}-10(x-y)月 =5(x-y[x-2(x-y] =5(x-y)(x-2x+2y) =5(x-y)°(2y-x) 【题型3】公式法因式分解 【典例3】因式分解(r--6(x2-)+9 【详解】原式(x2-1-3)月 =(x2-4)月 =(x-2)(x+2)2 巴随堂检测 “珍 1.下列用提公因式法分解因式正确的是() A.12abc-9a'bie-3abc(4-3ab) B,3ry-3w+6y=3y(x-x+2y)） C.-a2+ab=-a(a-b) D.xy+5x-y=y(x+5x) 2.若△18C三边a,b,c满足a+b(a-b)-c(a-b)=0 则△ABC一定是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc-b2+ab的值是() A.2 B.-2 C.15 D.-15 4.已知-y=-2.=3my- ,则 的值为一· 5.若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2024的值是 12x2y3-8x3y2= 6.因式分解： 7.因式分解：3ma3-6ma2+12ma= 8.用提公因式法把下列各式分解因式： ()6a(m-n)+8b(m-) (2)m(x->)+n(-x) (3)a'b(x-y)+ab(x-y) 4(a-b)-a+b 18-m (o-E):wz+(E-D)w() 平图趱华乙L s94(e): 9+,四 㔉明平号4米‘乙=qD‘￡=q+n此已TT (q+D)(qS+)+()q （c-0s-（-x)9o (w-0）9h-(u-w)pz) 越☑0L x9c-（6+x)☒ 291+qDEI-DE(T) :揭平图平县姬4球平7出‘6 忆0z+忆0z×0S0b-S0z真1搏平图出(s) 9e+(c-xzI-(（e-x), 9-x-x9+x(b) 第3讲因式分解（一）答案 1.C 【详解】解：A12ac-9g=3ahc4-3abc),本选项运算错识，不符合慰意： B.3y-3g+6v=3(:-+2）,本选项运算错误，不符合题意： C.-a'+ab=-a(a-b) 分解结果正确，本选项运算正确，符合题意： D.xy+5-=y+5x-1) 本选项运算错误，不符合题意。 2.B 【详解】：a,b,C是△ABC的三边长， .a+b>c,即a+b-c>0, :(a+b(a-b)-c(a-b)=0 （a-ba+b-c)=0 .a+b-c>0 .a-b=0,即a=b ∴.△ABC一定是等腰三角形 故选：B. 3.D 【详解】解：，ac-bc-b2+ab ac+ab-bc-b2 =a(b+c)-b(c+b) =(a-b)(b+c) .a-b=3,b+c=-5. :ac-hc-b2+ab=3x(-5)=-15 故选：D. 4.-6 【详解】解：，x-y=-2,y=3, .ry-=9(x-)=3×(←2)=-6 5.2026 【详解】解：：x2+x-2=0, x2+x=2, .x3+2x2-x+2024 =x3+x2+x2-x+2024 =x(x2+x)+x2-x+2024 =2x+x2-x+2024 =x2+x+2024 =2+2024 =2026, 故答案为：2026」 6 4x2y2(3y-2x) 12x2y3-8x3y2=4x2y2(3y-2x) 【详解】解： 7.3ma(a-2a+4) 【详解】解：3ma3-6ma2+12ma =3ma,a2-3ma.2a+3ma.4 =3ma(a2-2a+4） 8.(1)2(m-n)3a+4b) 2)任-Pm-x+) ab(x-y)(a+b) (3) (a-b(a-b-1) (4) 6a(m-n）+8b(m-n）=2(m-n)(3a+4b) 【详解】(1)解： (2)解：m(x-旷+n0-=mr--n-=c-m-m+刚 (3)解，br-a-列-abr-a+ (4)解：a-b-a+b=a-b-(a-b)=a-ba-b-) 9.1)3(a-2b) 2(x-3)'(x+3) 【详解】(1)解：3a2-12ab+12b =3(a2-4ab+4h2） =3(a-2b) (2)解：(x+9-36r2 =(x+9-6x)(x2+9+6x) =(x2-6x+9)(x2+6x+9 =(x-3)'(x+3 10.(2(m-0j0a+2b) 25(x-y广(2b-a） 3)2(2a+b}2 【详解】(a)解：2a(m-川-46-m) =2a(m-n）-4b[-(m-n)] =2a(m-n)+4b(m-n) =2(m-n)(a+2b) (2)解：10b(r-y-5a0-x =10b(x-y2-5a(x-y)}月 =(x-y)'(10b-5a) =5(x-y)(2b-a) (3)解.(2a+b2a-3b)+(2a+5b)2a+b) =(2a+b)(2a-3b+2a+5b) =(2a+b)(4a+2b) =2(2a+b)(2a+b) =2(2a+b)月 11.(1)5 (2)33 【详解】(1)解：.(a+b)}=a2+2ab+b :a+=a+bj-2ab=3-2x2=5 (2解：+=(a+ba-b+),a+h=3,b=2. :a+6=(a+ba2-ab+6）=3x5-2)=9 .a+b=(a+b(a2+b）-6-ab =(a3+b)(a2+b2）-a2b2(a+b) =(a3+b)(a2+b2）-(ab)'(a+b) =9×5-22×3 =45-12 =33」 12.(1m(a-3)1-2m） 2(r+9yx2-9y) B(+1(x-10x+6) 4+3(x-3) (5)1 【详解】(1)解：原式=m(a-3)-2m(a-3) =(m-2m2)(a-3) =m(a-3)1-2m) (2)解：原武=a-81y2) =a(x2+9y)(x2-9y) (3)解：原式(x+6x）-(c+6) =x2(x+6)-(x+6) =(x2-1）(x+6) =(x+1)(x-1)(x+6) (4)解：原式=(x2-3-6) =(x2-9月 =[(x+3)(x-3)] =(x+3)(x-3) (5)解：20252-4050×2024+2024 =20252-2×2025×2024+20242 =(2025-2024)}2 =1.