精品解析：山东菏泽市郓城县第一中学2025-2026学年高一下学期第二次定时训练数学试题

高一数学下第二次定时训练 （考试范围：人教A版高中数学必修第二册） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们两人至多一次击中靶的概率是（   ） A. 0.56 B. 0.44 C. 0.5 D. 0.06 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件及独立事件乘法公式计算即可. 【详解】他们两人至多一次击中靶的对立事件为他们两人都击中靶， 所以他们两人至多一次击中靶的概率是. 故选：B 2. 已知向量，，，若// ，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，若，则，解得． 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法化简可得，根据复数的概念即可求解. 【详解】复数满足，则， 所以复数的虚部是. 故选：D 4. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图： 依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 5. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（ ） A. 可能垂直，但不可能平行 B. 可能平行，但不可能垂直 C. 可能垂直，也可能平行 D. 既不可能垂直，也不可能平行 【答案】D 【解析】 【分析】假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m∥n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案． 【详解】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l＝O 过O在β内作直线c⊥l，如图所示 因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m 又因为m⊥n，c∩n＝O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l 这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立 所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直； ②假设m∥n，则m∥β，m⊂α，α∩β＝l 所以m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾 故假设不成立，所以m与n不平行． 综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行． 故选：D． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于采用反证法，结合直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，得出的位置关系. 6. 过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法不正确的是（    ） A. 若，，则是边的中点 B. 若点到三条边的距离相等，则点是的内心 C. 若，，，则点是的垂心 D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据题意，及全等三角形的判断和性质推出为的外心，再结合直角三角形的性质即可判断；对于B，过点分别作，垂足分别为，连接，先根据全等三角形的判断和性质推出，再结合线面垂直的性质，，，进而即可判断；对于C，根据线线垂直，线面垂直证得，，，进而即可判断；对于D，结合图形，得到、、与平面所成的角，再结合全等三角形的判断和性质即可判断． 【详解】对于A，如图，连接， 由，平面，易得， 则有，所以点为的外心， 又，可得点为边的中点，故A正确； 对于B，过点分别作，垂足分别为，连接， 由点到三条边的距离相等，则， 又平面，且平面， 则，易得，则， 又平面，平面，则 又，平面，所以平面， 又平面，故，同理可得，故点是的内心，故B正确； 对于C，如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点， 由，，且，平面，则平面， 又平面，则， 又平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理，，即点是的垂心，故C正确； 对于D， 如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点， 由平面，则分别是在平面上的射影， 则分别是、、与平面所成的角， 则，易得， 则，故点为的外心，故D错误． 7. 在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值. 【详解】方法一：因为，，，所以的面积为； 因为AD是的角平分线， 所以， 解得. 在中，，， 所以 ， 即. 故选：A. 方法二：因为，所以， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 由是的角平分线可知，直线的方程为：， 因为，，则， 所以直线的方程为：， 联立方程组，可得， 所以， 因为E是AC的中点，所以， 所以，由两点间距离公式得，， 则DE的长度为. 故选：A. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. A与互斥 C. A与相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型求出，即可判断A；根据互斥事件的定义即可判断B；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D. 【详解】解：由题意可得， 所以，故A正确； 因为事件可以同时发生，故两事件不是互斥事件，故B错误； 因为事件互不影响，所以为相互独立事件， 则， 因为事件表示第一次为奇数且第二次为奇数， 所以， 又， 所以A与相互独立，故C正确； 事件表示第一次或第二次为奇数， 它的对立事件为第一次和第二次都是偶数， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，三角形面积，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解； 对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解； 对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解； 对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解. 【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确； 对于B，在中，，则，由正弦定理得，， 即，故B正确； 对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确； 对于D，由及正弦定理，得，即， 因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确. 故选：BC. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积. 【详解】由题意，， 原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为， 可得． 故答案为：． 13. 若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：    为正四棱台， 连接，得， 过作，过作， 得：，, 在直角三角形中，得， 得正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为， 所以体积 故答案为：. 14. 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. . ，，. . 当时，取得最小值，最小值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知，，， （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）将等式展开得到，再利用向量夹角公式得到答案. （2）计算，展开得到答案. （3）计算得到，故，利用面积公式计算得到答案. 【详解】（1）∵，∴． 又，，∴， ∴．∴，又，∴． （2）， ∴. （3）与的夹角，则， 故，∴， ，，∴． 【点睛】本题考查了向量的夹角，向量的模，三角形的面积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且的面积为，求b，c． （3）在（2）的条件下，设的重心为，过点的直线与边，分别交于，，求证：的值为一个常数． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和（差）的正弦公式计算可得； （2）由面积公式及余弦定理计算可得； （3）设，，，分别表示出，，根据，，三点共线，求得的值为常数； 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 即， 所以． 即，又，则， 整理得，即，所以， 又，所以 所以，则． 【小问2详解】 由，，得． 由余弦定理得， 则，所以，解得． 【小问3详解】 由（2）可知为等边三角形， 连接并延长，交于，则是的中点， 设，， ， 则，①， 又，②， 所以，． 因为，，三点共线，故存在实数，使， 即， 所以，所以，又， 则， 即，即的值为常数； 17. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. （1）试估计消费金额的84%分位数. （2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 【答案】（1）92 （2） （3）方案二更优惠 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计百分位数. （2）利用古典概型求对应事件的概率. （3）分别求出两个方案的费用，进行比较，可得答案. 【小问1详解】 先计算各区间的频率： ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为. 因为，. 所以消费金额的分位数位于之间. 由. 所以消费金额的分位数为. 【小问2详解】 5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人）， 从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种， 至少有1人消费不低于100元的抽法有：种， 设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则. 【小问3详解】 游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元； 按方案二，购买10千克水果，需花费：元. 所以游客应该选择方案二更优惠. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． （2）若，为线段的三等分点，求多面体的体积． 【答案】（1）互相垂直，证明见解析（2）或. 【解析】 【分析】(1)证明平面中的即可. (2)利用多面体的体积为,分为线段的两个不同的三等分点进行求解即可. 【详解】解法一：（1）平面与平面互相垂直, 理由如下： 因为底面,平面, 所以． 因为为正方形,所以 又,且平面, 所以平面． 因为平面,所以 因为,为线段的中点,所以, 又,且平面, 所以平面, 因为平面,所以平面平面． （2）因为底面,为线段的中点, 所以点到底面的距离为, 则, 又为线段的三等分点, 当时,, 所以多面体的体积为； 当时,, 所以多面体的体积为． 综上,多面体的体积为或. 解法二：（1）平面与平面互相垂直, 理由如下： 因为底面,平面,所以平面底面, 又平面底面,,平面, 所以平面． 因为平面,所以 因为,为线段的中点,所以, 又,且平面, 所以平面, 因为平面, 所以平面平面 （2）同解法一． 【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象等． 19. 如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． （1）求证：平面 （2）设平面与平面的交线为直线．求证： （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及直三棱柱的性质，利用线面垂直的性质与判定，可得答案； （2）根据线面平行的性质与判定，可得答案； （3）由题意将三棱柱补形为四棱柱，根据线面垂直的性质以及二面角平面角的定义，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案. 【小问1详解】 由为的中点，，则，易知， 在三棱柱中，易知，， 则，故， 在三棱柱中，由，则， 由平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 在三棱柱中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以. 【小问3详解】 由题意，将三棱柱补形成四棱柱，如下图： 其中底面为正方形，为的中点， 由（1）可知平面，且，则平面， 在四棱柱中，易知，则平面， 因为平面，所以， 由（1）可知平面，且平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 易知，， 所以，则二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下第二次定时训练 （考试范围：人教A版高中数学必修第二册） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们两人至多一次击中靶的概率是（   ） A. 0.56 B. 0.44 C. 0.5 D. 0.06 2. 已知向量，，，若// ，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（ ） A. 可能垂直，但不可能平行 B. 可能平行，但不可能垂直 C. 可能垂直，也可能平行 D. 既不可能垂直，也不可能平行 6. 过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法不正确的是（    ） A. 若，，则是边的中点 B. 若点到三条边的距离相等，则点是的内心 C. 若，，，则点是的垂心 D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 7. 在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. A与互斥 C. A与相互独立 D. 10. 在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，三角形面积，则 D. 若，则为等腰三角形 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 13. 若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为________. 14. 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知，，， （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，，求的面积． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且的面积为，求b，c． （3）在（2）的条件下，设的重心为，过点的直线与边，分别交于，，求证：的值为一个常数． 17. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. （1）试估计消费金额的84%分位数. （2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． （2）若，为线段的三等分点，求多面体的体积． 19. 如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． （1）求证：平面 （2）设平面与平面的交线为直线．求证： （3）若，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $