2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末大题-解答题专项（重庆专用）

2025-2026学年七年级下学期期末大题-解答题专项（重庆专用） 尺规作图、概率题、变量关系的应用、小几何（平行与全等） 树形结合、动态几何、阅读材料、几何压轴 一、尺规作图题 1．如图，在中，，是的角平分线，点D在上，是高，与它们相交于点F． (1)请按照以上叙述，用尺规作图补全图形（不写作法，保留痕迹）； (2)利用（1）中补全的图形，若，请说明． 2．如图，已知，点D为的中点． (1)请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法） (2)结合图形，求证：； 证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（ ① ） 又∵点D为的中点， ∴（ ② ） ∴ 在和中， ∴（ ④ ） ∴ ⑤ ． ∵点D为的中点，∴∴． 3．如图，在中，，平分， (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：∵在中，， ∴____________， ∵平分，平分， ∴________ ，， ∴， ∴____________， 在和中， ， ∴， ∴． 4．如图，在中，，为边上一点，满足，连接． (1)尺规作图：以为边，为顶点作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明，请根据小明的思路完成下列填空． 证明： 又___________ 且 ___________ 在和中 ___________ 5．如图， ，M，N分别是上的点，在中画出与对应的线段，并说明．以下是小亮的部分解答过程，请补全图形（用尺规作图）和说理过程． 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P； ① ，交于点Q，连接． 因为， 根据“全等三角形对应角相等”， 所以 ② ． 在和中， 因为， 根据全等三角形的判定条件“ ③ ”， 所以． 根据 ④ ， 所以． 二、概率题 6．如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 7．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元． (1)甲顾客获得购物券的概率是多少？ (2)若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由． 8．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘中每一个小扇形面积均相等），并规定：顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇． (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？ (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？ (3)在（2）的条件下，乙顾客获得九折，五折待遇的概率分别是多少？ 9．某商人在游乐场制作了一个如图所示的游戏转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“”则收费元；若指针指向数字“”，则奖励元；若指针指向数字“”，则奖励元． (1)任意转动转盘一次，转盘停止后根据指针指向的区域（指针和分区线重合时，可重新转一次），则 ； ； ． （结果化成最简分数） (2)任意转动转盘一次，求出参与者获奖的概率是多少？ (3)一天，一名游客转动转盘次（指针均落在标有数字的区域），你认为该商人是盈利可能性大还是亏损的可能性大？为什么？ 10．如图，质地均匀的转盘中八个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在某个区域内（若指针落在区域分界线上，则重新转动，直到落在某个区域内为止）． (1)下列事件，是随机事件的是（   ） A．指针落在标有9的区域内 B．指针落在标有数字的区域内 C．指针落在标有1的区域内 (2)某商场举行抽奖活动，规定转动转盘一次，指针落在标有1的区域内获得一等奖，落在标有偶数的区域内获得三等奖，要使获得二等奖的概率大于获得一等奖的概率，而且小于获得三等奖的概率，请帮助该商场设计一个获得二等奖的方案．（注意：二等奖与一等奖、三等奖不可兼得哦！） 三、变量关系的应用 11．如图，是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮想探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着叠放的碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的碗的总高度与碗的个数之间的一些数据： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 碗的总的高度/ 6 8.4 10.8 15.6 22.8 根据以上信息，回答： (1)把上述表格中的空格补全； (2)若碗的总高度为（单位：），碗的数量为（单位：个），请直接写出与之间的关系式． (3)求10个整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总的高度． 12．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由； (2)求与之间的关系式； (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 13．科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； (2)变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； (3)在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 14．截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动在中国空间站持续开展，中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生探究科学的热潮．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度 15 18 21 24 27 30 (1)在这个变化过程中，___________是自变量； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度，则与之间的关系式为___________，自变量的取值范围是___________； (3)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量为多少． 四、小几何：平行与三角形全等综合 15．如图，中，是边上的中线，E、F为直线上的点，连接、，且．求证：． 16．如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 17．如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题： (1)说明 ； (2)猜想与的关系，并说明理由． 18．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 19．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 20．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点A、B的距离 方案 方案一 方案二 方案 示意图 实施过程 1．过池塘外点B作，在上取两点C，D，使； 2．过点D作，使E与A，C在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取点C，连接，并延长至点D、E，使； 2．连接； 3．测量出的长； 测量数据 ； ； 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．点A，B离池塘边有一定距离； 请你从以上两个方案中任选一个方案，求出A、B间的距离． 五、数形结合 21．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究：如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________ 方法2：__________________ 【得出结论】 观察上图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．______； 【应用结论】 根据以上等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值； 22．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：______；图2表示：______； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，，则______； (3)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 23．某学校有两块空地，如图1，图2： (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪： 请用两种方式表示草坪的面积：____________________，____________________， 由此可以验证的公式为____________________________________； (2) 图2是一块多边形空地，该校规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的面积和； (3)解决问题：若，求的值． 24．数学活动课上．老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片依次记三类，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：______________________________________； 方法2：______________________________________． (2)请直接写出三个代数式：之间的一个等量关系___________________________________． (3)根据（2）题中的等量关系．解决如下问题： ①已知．求的值 ②已知．求． 六、动态几何题 25．如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 26．如图1，四边形中，，，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度，按的路径匀速运动，到达D点后停止；如图2是点P运动t秒后，的面积S随时间变化的图象，由以上信息回答下列问题： (1)__________，__________； (2)当t为何值时，的面积为6； (3)在点P的整个运动过程中，请直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 27．如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象． (1)直接写出 ， ， ； (2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式； (3)直接写出，当点出发多少秒后，． 28．如图1，在长方形中，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿的路线匀速运动，直至运动到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)_______，______． (2)当动点从点出发并在边上运动时，另一动点同时从点出发以每秒个单位的速度沿边匀速运动，直至点停止，则当为何值时，与可以全等． (3)当动点从点出发时，另一动点同时从点出发以每秒5个单位的速度沿边匀速运动，直至点停止，则在动点的整个运动过程中，当为何值时，的面积为20． 29．如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 七、阅读材料题 30．如果两个整式、满足关系：（为整数），则称为的级式．例如：，，为的三级式． (1)若，，且为的级式，则________，_________． (2)若为完全平方式，为的级式且，求代数式的值． 31．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ；若，则 ； (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 32．张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 33．对于任意有理数a、 b、c、d，定义一种新运算： ． (1)______； (2)对于有理数x、y，若 ，． ①求 的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G 在同一条直线上，点E在边上，连接、．若 ，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 34．观察下列各式： ； ； ；… (1)根据以上规律，则_____________________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______________________； (3)根据（2）求出：的结果． 35．观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______________________________________________________． (2)猜想：____________________________________． (3)利用（2）中的结论，求的值． 八、几何压轴题 36．在中，，，线段、交于． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数； (2)如图2，若点在线段的延长线上，且，，，求的长； (3)如图3，若点在内部，且，，求的度数 37．如图，在中，点在边上，连接，以为直角边向右作，，，与交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，过点作于点，点为边上一点，过点作交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，点为边上一点，点为的中点，连接，，若，求证：． 38．如图，在中，，点D在边上，满足，点E为平面内一点． (1)如图1，若E在边上，于F，，，求的面积； (2)如图2，若E在边上， ，求证：； (3)如图3，若E在延长线上，，交于点F，交直线于G，于H，，请直接写出的值． 39．已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点．    (1)如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； (2)如图2，点D在的内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； (3)如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 40．我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得． (1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围． (2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明； (3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系． 41．综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°； 【类比探究】 ②如图2，当时，和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？ 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年七年级下学期期末大题-解答题专项（重庆专用）》参考答案 1．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题涉及等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质． （1）根据已知条件用尺规作出角平分线、高来补全图形 （2）对于通过证明三角形全等得出线段之间的关系． 【详解】（1）解：补全图形如图所示． （2）证明：，平分， ，． 是高， ． ． ． 在和中， ． ． ． 2．(1)见解析 (2)等角对等边；三线合一，；；； 【分析】本题主要考查作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线的作法作出即可； （2）根据作图得出，得，再证明，再证明，得，再由为的中点可得出结论 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（等角对等边） 又∵点D为的中点， ∴（三线合一） ∴ 在和中， ∴ ∴． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 3．(1)见解析； (2)；；； 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据角平分线的作法作答即可； （2）根据已知条件补充过程即可． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：；；；． 4．(1)作图见解析； (2)①；②；③；④ 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质． 根据尺规作图作一个角等于已知角作图即可； 由尺规作图可知，从而可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，为半径画弧，交于点， 连接并延长交于点； （2）证明：， 又， 且， ， 在和中 ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 5．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是读懂题意，作出合理的图形； 【详解】解：如图所示 以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以D为圆心，的长为半径作弧，交于点Q，连接． 因为， 根据“全等三角形对应角相等”， 所以． 在和中， 因为， 根据全等三角形的判定条件“”， 所以． 根据全等三角形对应边相等， 所以． 故答案：①以D为圆心，的长为半径作弧；②；③；④全等三角形对应边相等． 6．(1)见解析 (2)商家不会亏本，理由见解析 【分析】本题考查了概率在转盘抽奖中的应用，熟练掌握事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示是解题的关键． （1）根据事件的概率可以用部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示，分别求得红色、白色、黄色的小的扇形个数即可； （2）设有人参与，当指针落在红色区域，商家的收益为，同理可得当指针落在其它两种颜色区域时，商家需要付出多少，再和收益比较即可得到结论． 【详解】（1）解：转盘被等分成12个小扇形． 若要使指针落在红色区域的概率为，，因此，有6个小的扇形是红色的； 指针落在白色区域的概率为，， 因此，有4个小的扇形是白色的； 指针落在黄色区域的概率为，， 因此，有2个小的扇形是黄色的． 如图所示即为所求： （2）解：从概率的角度，商家不会亏本，理由如下： 设有人参与，则有， 指针落在红色区域的概率为，商家的收益为； 指针落在白色区域的概率为，商家需要付出； 指针落在黄色区域的概率为，商家需要付出； 商家的最终收益为：． 所以，商家不会亏本． 7．(1)； (2)还需要将个无色扇形涂成绿色． 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成20个扇形，获奖区域一共有7个， ∴甲顾客得到元购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 由题意可得， 解得：， ∴还需要将个无色扇形涂成绿色． 8．(1)不能 (2) (3)， 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，“顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会”， 甲顾客消费80元，不满足获得转动转盘的条件． （2）解：乙顾客消费150元，能获得一次转动转盘的机会． 由于转盘被均分成16份，每份被转到的机会均等， 其中打折的占5份，故获得打折待遇的概率为； （3）解：九折占2份，故获得九折待遇的概率为； 五折占1份，故获得五折待遇的概率为． 9．(1)；； (2) (3)盈利的可能性大，理由见解析 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）根据（）的结果计算即可； （）根据概率公式求出商人的盈损情况即可判断求解． 【详解】（1）解：数字“1”的扇形的圆心角为， ； ； ． （2）解：由（）可得，参与者获奖的概率是； （3）解：该商人盈利的可能性大，理由如下： ∵， ∴该商人盈利的可能性大． 10．(1)C (2)指针落在标有3，5，7（或3，5或3，7，或5，7）的区域内获得二等奖 【分析】（1）随机事件指可能发生也可能不发生的事件，结合题意即可判断； （2）先根据概率公式得出获得一等奖、三等奖的概率，结合奖项不可兼得即可求解． 【详解】（1）解：A．转盘上没有数字9，因此“指针落在标有9的区域内”一定不发生，为不可能事件； B．“指针落在标数字的区域内”一定发生，为必然事件； C．“指针落在标有1的区域内”可能发生也可能不发生，是随机事件； （2）解：指针落在标有1的区域内获得一等奖， 获得一等奖的概率为， 落在标有偶数的区域内获得三等奖，8个数字中有4个是偶数， 获得三等奖的概率为， 由题意得获得二等奖的概率大于且小于， 获得二等奖的概率为或， 又二等奖与一等奖、三等奖不可兼得， 指针落在标有3，5，7（或3，5或3，7，或5，7）的区域内获得二等奖． 11．(1)13.2，18，20.4，25.2 (2) (3)整齐叠放10个这种碗的总高度是 【分析】本题主要考查了根据表格内数据的规律得到一次函数的解析式，解题的关键是看到表格内数据的规律； （1）认真观察数据规律，可以看到后面一个数比前面一个数大2.4，即可得到答案； （2）根据数据的规律，得到一次函数的解析即可； （3）此小问考查了，相当于函数值是10时，求的值即可得到答案； 【详解】（1）解：从左到右，依次为13.2，18，20.4，25.2． （2）解： ； （3）解：当时，． 答：整齐叠放10个这种碗的总高度是． 12．(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，y随x的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查用关系式和表格表示变量之间的关系，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1 ）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2 ）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3 ）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 则，不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 13．(1)气温，音速，3 (2) (3)1745米 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，列函数关系式： （1）直接通过表格，进行作答即可； （2）根据表格，求出气温每升高，音速的变化量，写出函数关系式即可； （3）先求出时的音速，再乘以时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可知：在这个变化过程中，气温是自变量，音速是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高3； 故答案为：气温，音速，3； （2）由表格可知，气温每升高，音速增加， ∴； 故答案为：； （3）当时，， ∴打雷的地方距离小明大约有（米）． 14．(1)所挂物体的质量 (2)， (3) 【分析】（1）根据变量的定义即可得出答案； （2）根据表格得出不挂物体时，弹簧的长度为，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加，得出伸长量与增加的质量的关系，即可解答； （3）将代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在这个变化过程中，弹簧的长度随着所挂物体的质量的变化而变化， ∴所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：从表中数据可知，不挂物体时，弹簧的长度为 ，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加， ∵， ∴当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长， ∴y与x之间的关系式为． ∵弹簧最大能够承受的重物， ∴自变量x的取值范围是； （3）解：将代入， 得， 所以， 所以当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 15．证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，平行线的性质，先由三角形中线的定义得到，再由平行线的性质得到，，由此证明． 【详解】证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴． 16．(1) 证明：∵， ， 在和中， ， ； (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 17．(1)见解析 (2)， ，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据平行线的性质得到，进而根据证明即可； （2）由得到，，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵ ， ∴； （2）解：， ，理由如下： ∵， ∴，． ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 19．(1)全等，见解析 (2)①见解析；②4 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：全等；     理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以.     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即.     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 20．A、B间的距离为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，证，即可求解． 【详解】解：方案一：，， ， 根据图形可知， ， ， ； 方案二：根据图形可知， ， ， ． 答：A、B间的距离为． 21．问题探究：方法1：；方法2：；得出结论：；应用结论： 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． 问题探究：根据小正方形的面积为小正方形边长的平方，也可以表示为大正方形和几个小长方形的面积之差，由此即可得出答案； 得出结论：结合（1）中的公式进行求解即可； 应用结论：根据即可求解． 【详解】解：问题探究： 方法1：， 方法2：； 得出结论： ； 应用结论：，， 22．(1)， (2)①12；② (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，（1）利用两种方法分别用代数式表示图1、图2的面积即可； （2）①根据代入计算即可； ②根据代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，根据，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图可得，图1的边长为， ∴， ∵拼成图1的四个部分的面积为， ∴， ∵图2的边长为， ∴， ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为， ∵四个空白长方形的面积为， ∴， 故答案为：， （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 则，， ∵，即， ∴． 23．(1)，， (2)种草区域面积和为108 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）根据题意列式即可； （2）由题可得：，，得到，根据完全平方公式计算即可； （3）令，，则有，，根据完全平方公式计算得到即可求出的值． 【详解】（1）解：两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为； 故答案为：，，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 答：种草区域面积和为108； （3）解：令，， 则有，， ∴， ∴． 24．(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）①由可得，然后整体代入计算即可； ②设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果． 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：①由（2）题结论可得， 当时， ； ②设，，则，， ∴ ， ∴． 25．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）点第一次运动到点时，路程为，即可得到时间；再根据三角形面积公式进行计算即可． （2）由题意可知，点运动的总时间为，点在、之间往返一次的时间为，点在上运动的时间为，分为当时，当时，当时，当时，当时几种情况进行分类讨论即可； （3）根据（2）得出的取值范围进行计算即可． 【详解】（1）解：； 点走的距离为， ， ； （2）解：由题意可知，点运动的总时间为， 点在、之间往返一次的时间为， 点在上运动的时间为， ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， 点到的距离为， ； ④当时，， 点到的距离为， ； ⑤当时，， 点到的距离为， ； 综上所述，； （3）解：当时，点到的距离为， 若，则， 解得，不符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 故当时，的值为或． 26．(1)4，14 (2)当或时，的面积为6 (3)当，6，7，8时，是等腰三角形 【分析】本题考查动点的函数图象，与三角形的高有关的计算，等腰三角形的定义，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，2秒钟点运动到点，秒钟，点运动到点，8秒钟，点运动到点，根据路程等于速度乘以时间，结合线段之间的和差关系，以及三角形的面积公式进行求解即可； （2）分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点在上，上两种情况，再根据等腰三角形的定义，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：2秒钟点运动到点，秒钟，点运动到点，8秒钟，点运动到点， ∵点移动的速度为每秒2个单位长度， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴当点运动到点时，， ∴， ∴当点运动到点时，， 故答案为：4，14； （2）①当点在上时，， ∴，解得：， ②当点在上时，， ∴， 解得：； （3）当点在上时： ∵， ∴只能是，则：，解得：； 当点在上时： 当时，当时， ∵，， ∴，（平行线间的距离处处相等），满足题意， 同理，，则：，解得：； 当与点重合时，即时，，满足题意； ②当时，作，则：， ∴， ∴，解得：； 综上：，6，7，8． 27．(1)5；；4 (2) (3)或 【分析】本题考查动点问题的函数图象，一元一次方程的实际应用，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据a秒时的面积可求a的值，由6.5秒时，点P与点D重合，利用路程速度时间，即可求出k的值，由时间路程速度即可求出b的值； （2）分为点P速度为每秒和点P速度为每秒，两种情况由路程速度时间，列出关系式即可； （3）分为点P在上和点P在上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据图象可得：a秒时的面积为12，即， ， ， ； 6.5秒时，点P与点D重合， ； 点P从点D运动到点B的速度为每秒， ， 长方形中，， ； （2）解：点P速度为每秒时：； 点P速度为每秒时：； 综上，； （3）解：点P在上时， 当点P加速前： ， （舍去，不符合题意）， 当点P加速后： ， ； 当点P运动到点C时，所需时间为：（秒）， 点P在上时，， ， ， 综上，当点出发或时，． 28．(1)5，48 (2)4或 (3)或或或 【分析】本题考查了函数他图象，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据点P在、上运动的时间相同求出a，进而求出点P在上运动的时间，由的长度可求出点P的运动速度，进而求出，根据三角形的面积公式可求出b的值； （2）分，两种情况讨论即可； （3）分当到之前：①、相遇前；②、相遇后；当到之后：①在上， ②在上，讨论，然后根据的面积为20关键关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点P在、上运动的时间相同， ∴， ∴， ∴点P在上运动的时间为， ∴点P的运动速度为个单位每秒， ∴个单位， ∴， 故答案为：5，48； （2）解：①当时，有 ，解得， ； ②当时，有 ，解得， ， 综上，的值为4或； （3）解：当到之前： ， ， ①、相遇前， ， ； ②、相遇后， ， ； 当到之后： ①在上， ， ； ②在上， ， ； 综上，或或或． 29．(1)1；； (2)； (3)的值为或时，面积为． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为， ∵面积为 ∴点在或上， 当点在上时，如图， 即， 解得， 当点在上时，如图， 即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键． 30．(1)， (2)或 【分析】本题考查了新定义，完全平方式，理解新定义是解答关键． （1）根据为的级式得到即可求解； （2）根据完全平方式得到，分两种情况，利用为的级式来求解． 【详解】（1）解：，，且为的级式， ， 即， ， ， ，． （2）解：为完全平方式， ． 为的级式 当时，，即， ， 当时，， 即， ． 综上，的值为或． 31．(1)；3； (2)的值为3，的值为1； (3)的值为3或6． 【分析】（1）由题意知，， ，计算求解即可； （2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可； （3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 解得，， 故答案为：；3； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， ∴； ∴的值为3，的值为1； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵正整数，， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，的值为3或6． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 32．(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， ． 33．(1) (2)①56；②2 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据化简，再利用完全平方公式变形求解即可；②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴ ； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴ 34．(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 35．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写出第5个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将待求式与（2）中结论的因式对比，可知当时形式相同，再利用结论进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知：， 即， ∴． 36．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形得判定和性质、三角形内角和、等腰三角形的性质； （1）证得，再利用等腰三角形求出的度数即可； （2）由题干条件可猜测，这样就转化成截长补短证三角形全等了，，且，连接交于点，交于点，先证，得到，再证，得出，即可证出，即可得证； （3）延长交于点，交于点，构造全等三角形，可证得即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图作，且，连接交于点，交于点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，，且， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ． （3）， 理由：延长交于点，交于点， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 37．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先由三角形内角和定理得到，从而得到，在中，由直角三角形性质和等腰三角形性质求解即可得到答案； （2）延长至点，使得连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质，通过、即可得证； （3）延长至点，使得，连接，，如图所示，由三角形全等的判定与性质，通过、和即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在中，，则， ， ； （2）证明：延长至点，使得连接，如图所示： 在中，，则， ， ，则， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使得，连接，，如图所示： 在中，，则，且， ， ，则， 在和中， ， ，， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、中点定义等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 38．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，各知识的灵活运用． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，继而得到，再求高即可求解； （2）在上截取，连接，在上取一点，使得，通过证明即可求解； （3）延长，使得，连接，先证，可得为等边三角形，继而可证，得到，过作，再解直角三角形得到即可求解． 【详解】（1），，， ， ， ，， ， ，， 即， 解得， ，，， ， ， ， ； （2）证明：在上截取，连接， 在上取一点，使得， 由（1）知， 为等边三角形，则，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）延长，使得，连接， ， 为等边三角形， ∴， ， 由（1）知， ， 为等边三角形，则，，， ， ，又，， ， ， 又，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 又，， ， ∴， 过作， ，， ，则， ，， ， ，， ， ． 39．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合等边三角形的性质及三角形的外角性质得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，在判定，即可得证； （3）连接，过点A作且使得，连接，，由可判定，可得，为等腰直角三角形，因此最小则最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵中，，， ∴， 又∵， ∴， 由题，为的外角， ∴． （2）证明：在上截取，使得，连接，    ∵是等边三角形， ∴，， ∵中，，， ∴， 设， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3）解：连接，过点A作且使得，连接，，   为等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， （）， ， ， 为等腰直角三角形，因此最小则最小， 当时，最小，此时为等边的高， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短等；掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，能构建全等三角形是解题的关键． 40．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长至E，使得，连接，证明，可得，再结合三角形三边关系解答即可； （2）延长至F，使得，连接，证明，可得，再由平分，以及三角形外角的性质可得，然后根据，可得，从而得到，继而得到，即可解答； （3）由（2）得：， ，根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，延长至E，使得，连接， ∴． ∵是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ∴ ． ∴． 在中，∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：延长至F，使得，连接． ∴． ∵ 是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如（2）图， 由（2）得：， ， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线法证明三角形全等是解题的关键． 41．（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①由题意可得，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质可得，从而即可得出结果；②由题意可得，由等边三角形的性质可得,再证明，得出，从而得出，即可得出结果； （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，，再根据，计算即可得出结果． 【详解】解：（1）①由题意可得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； ②由题意可得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作交的延长线于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $