河南漯河市临颍县第三高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一下学期数学期中卷涵盖向量、解三角形、复数、立体几何等核心知识，解答题如四棱锥体积与线面角计算、四点共面证明，体现空间观念与推理能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量共线、复数几何意义、正方体线面平行|第8题结合正方体中点位置判断线面平行，考查几何直观| |填空题|3题15分|向量模、三角形解的个数、平面向量表示|13题通过三角形两解条件设置，培养数学思维| |解答题|5题77分|复数运算、向量表示、立体几何证明与计算|19题证明四点共面及三线共点，发展推理意识，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年度高一下学期数学期中考试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 5．下列关于平面向量描述正确的是（   ） A．若，则＜ B．若，则向量与的夹角为锐角 C．若，，则∥ D．若为非零向量，则与的方向相同 6．若复数z满足，则复数可以是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，设，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（  ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知，，，则（   ） A．向量 B．与向量垂直的单位向量坐标为或 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 10．下列结论正确的是（    ） A．若为非零向量且，则 B．若，则 C．若，则 D． 11．在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（    ）． A．当增大时，四棱锥的体积逐渐增大 B．若，则三棱锥的体积为 C．若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为 D．若，则三棱锥的内切球半径为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分。） 12．已知，||=1，且，则______. 13．在中，角所对的边分别为．已知，要使该三角形有两解，则实数的取值范围为__________． 14．如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求实数m的取值范围； (2)已知O为坐标原点，若m为整数，且z，在复平面内对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标． 16．（15分）如图，在中，点D，E在边上，且，设，. (1)用，表示，； (2)若，，，求. 17．（15分别）（1）求方程在复数范围内的解； （2）若，求和. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 19．（17分）如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且． （1）证明：E，F，G，H四点共面． （2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点． 数学高一第1页，共3页 数学高一第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度高一下学期数学期中考试卷参考答案 1．D 【详解】由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 2．D 【详解】由题意知，，所以. 由余弦定理知，，所以. 由正弦定理得，，则，，. 所以. 3．B 【详解】由与共线，则,解得. 4．D 【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则. ∵分别为的中点， ∴， ， . 5．D 【详解】因为向量不能比较大小，所以A错误； 当时，与的夹角可以为，所以B错误； 当时，和可以是任意向量，不一定共线，所以C错误； 为的同方向单位向量，所以D正确. 6．D 【详解】因为复数满足，即复数对应的点Z到点的距离与到点的距离相等， 记点，点，即复数对应的点一定在线段的垂直平分线上，即在直线上，所以复数的实部一定是，所以复数可以是. 7．A 【详解】连接，，因为，，， 所以，整理得， 又因为，，，， 所以， 因为，所以， 所以. 8．A 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 9．BC 【详解】因为，，所以，所以A错误； 因为，先找一个与垂直的向量，设，所以，不妨取， 所以与向量垂直的单位向量即为：或，又因为， 所以与向量垂直的单位向量坐标为或，所以B正确； ，设，则， 所以，解得，所以，所以C正确； ，，所以在上的投影向量为：，所以D错误. 10．ACD 【详解】解：对于A，，的夹角为0或， ，故A正确； 对于B，当时，不一定成立，故B错误； 对于C，因为 ，所以，故C正确； 对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确． 11．BCD 【详解】对于A，由题可知，， 当增大时，的值先增大后减小，所以四棱锥的体积先增大后减小，故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，若四棱锥有外接球，即菱形有外接圆，则， 将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球， 可得其外接球的半径，所以其外接球的表面积为，故C正确； 对于D，若，设三棱锥的内切球半径为， 则， 所以， 解得，故D正确.    12．2 【详解】由，得，将，代入得，解得. 故答案为：2 13． 【详解】要使三角形有两解，由正弦定理， 只需，即， 故实数的取值范围为， 故答案为：． 14． 【详解】设小等边三角形的边长为，由， 设，则. ∵，且， ∴，即. 由中间小等边三角形性质，， ∴. ∵， ∴化简得， 解得正根，即，. 在中由余弦定理得 ， 解得. 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 得各点坐标：，，. 在中，由正弦定理，得； 由余弦定理得. 又， 则， ， 因此点坐标为， ∴. 则， 所以， 解得，，因此. 15．(1) (2) 【详解】（1）复数在复平面内对应的点为， 可得，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）由（1）可知，当m为整数时，， 则，， 所以，可得， 则向量在向量上的投影向量为. 16．(1)，； (2) 【详解】（1）因为，所以，, 所以； ； （2）因为，，， 即，，，所以. ， ，所以， 所以. 17．（1）或（2）， 【详解】（1），因为，所以， 所以或； （2）因为，， 所以； 因为，所以. 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】证明：（1）在中，因为E，F分别是PA，AB的中点， 所以． 在中，因为， 所以，从而． 所以，即E，F，G，H四点共面． （2）由（1）知，，， 所以EG，FH必相交于一点，设为点O． 因为平面PAC，所以平面PAC． 同理平面ABC，即O是平面PAC与平面ABC的公共点． 因为平面平面， 所以，即三直线EG，FH，AC交于一点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $