河南漯河市临颍县晨中学校2025-2026学年高一下学期数学期中考试卷

**基本信息** 2025-2026学年度高一下学期数学期中卷，以向量、立体几何、三角函数、复数为核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高一下学期期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量共线、斜二测画法、线面平行、解三角形|单选基础巩固（如第1题向量共线），多选分层（如第9题正方体截面动态分析）| |填空题|3题15分|三角形最大角、复数模、投影向量|聚焦核心概念应用（如第14题投影向量坐标）| |解答题|5题77分|复数运算、三角函数图像与性质、解三角形、立体几何证明与体积|综合考查数学语言表达（如第16题五点作图）和创新应用（如第18题向量参数范围求解）|

2025-2026学年度高一下学期数学期中考试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．5 2．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（  ） A． B． C． D． 4．已知△ABC的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 6．函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 7．若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S与的交点，满足 D．当时，S为四边形 10．下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为个部分 C．圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成个三棱锥 11．若平面平面，，下列说法正确的是（   ） A．与内任一条直线平行 B．与内无数条直线平行 C．与内任一直线不相交 D．与无公共点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．在△ABC中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 13．已知复数z满足，则__________． 14．已知向量=（1,2），=（4,3），则向量在上的投影向量的坐标是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 16．函数． (1)请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； (2)若有2个根，求实数m的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，△ABC的面积为，求边上的高． 18．如图，在△ABC中，，，分别是边上的点，与交于点，且，. (1)若，. （i）求的值； （ii）求的值； (2)若存在实数，使得，求的取值范围. 19．如图，在正方体中，E是的中点.    (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度高一下学期数学期中考试卷参考答案 1．B 【详解】由与共线，则,解得. 2．D 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 3．A 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 4．B 【详解】由正弦定理，得. 所以. 5．C 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 6．A 【分析】利用正切函数的对称中心求解即可. 【详解】对于函数，解得：. 所以对称中心的坐标为． 取，此时对称中心为. 7．B 【分析】结合正弦函数的图像性质，确定最大值存在、最小值不存在的条件. 【详解】因为且，设， 所以. 函数在上有最大值、无最小值， 等价于在上有最大值、无最小值. 正弦函数的最大值为，在（）处取得； 最小值为，在（）处取得. 存在最大值：区间必须包含， 即，化简得：. 无最小值：区间不能包含， 即，化简得：. 综上，的取值范围是. 8．B 【详解】因为，所以 9．ABC 【分析】根据题意作图，利用正方体的几何性质，结合面面平行性质定理可得线线平行，再根据相似三角形，利用相似比可得线段的长度，可得答案. 【详解】对于A，可作图如下： 平面平面，平面平面， 在正方体中，平面平面，则， 易知，则，由为的中点，则，即， 由，则，所以为四边形，故A正确； 对于B，由题意作图如下： 由A可知，由，则，即点与重合， 在正方体中，，，， 所以，则，由A可知，则为等腰梯形，故B正确； 对于C，由题意作图如下： 在正方体中，易知，则， 由，，，则，即， 易知，则，即，解得，故C正确； 对于D，由题意作图如下： 在正方体中，易知，则， 由，，则，由，则， 所以位于的延长线上，则，， 即为五边形，故D错误. 故选：ABC. 10．CD 【分析】利用斜棱柱的侧面可判断A选项；取三个两两相互垂直的平面可判断B选项；利用圆台的形成可判断C选项；利用五棱锥的结构特征可判断D选项. 【详解】对于A选项，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错； 对于B选项，若三个平面两两垂直，则这三个平面可将空间分为个部分，B错； 对于C选项，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成，C对； 对于D选项，一个五边形可分为三个三角形，所以，任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D对. 故选：CD. 11．BCD 【分析】根据线面位置关系判断CD；在正方体中，借助正方体中的线、面间的关系，判断AB. 【详解】，，，与无公共点， 从而与内任一直线不相交，CD正确； 如图，在正方体中，令线段所在的直线为，平面为平面， 平面为平面，显然与内无数条直线平行，故B正确； 又与异面，故A错误． 故选：BCD 12． 【分析】利用大边对大角确定最大角，再用余弦定理计算最大角即可. 【详解】不妨设，则c边对的角C最大，令， 得，而，故， 所以此三角形的最大角为. 故答案为：. 13．/ 【分析】先求出复数z，再根据复数的模的定义直接计算即可得解. 【详解】由题意， 故. 故答案为：. 14． 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 15．(1)； (2). 【分析】（1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题意得，， 所以，则； （2）设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 16．(1)答案见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）依次令取，可得的值，描点并用光滑曲线连接即可； （2）将有2个根，转化为的图象与直线有2个交点，由图象可得实数m的取值范围； （3）令，得或；令，得或；结合图象及函数的单调性，可得的最小值及最大值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）函数． 按五个关键点列表： x 0 2 1 0 －1 0 1 3 0 1 0 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： （2）若有2个根，则的图象与直线有2个交点， 由图可知，或． 即实数m的取值范围或． （3）在，令，得或； 令，得，即，解得：或； 由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 若在上的值域为， 则（或）最小； 当时，最大．所以u的取值范围为． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【详解】（1）由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； （2）由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 18．(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律求解即可； （ii）利用基底表示出，根据三点共线可求得结果； （2）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律可将转化为关于的函数的形式，采用分离常数法可求得结果. 【详解】（1）（i），， ， . （ii），. 设，则， 三点共线，，解得：，即. （2），， ， ，， ， ，，， ，即的取值范围为. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $