精品解析：河南漯河市临颍县晨中学校2025-2026学年高一下学期数学期中考试卷

2025-2026学年度高一下学期数学期中考试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 2. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 函数的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，S为四边形 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，S与的交点，满足 D. 当时，S为四边形 10. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是矩形 B. 三个平面至多将空间分为个部分 C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成 D. 任意五棱锥都可以分成个三棱锥 11. 若平面平面，，下列说法正确的是（ ） A. 与内任一条直线平行 B. 与内无数条直线平行 C. 与内任一直线不相交 D. 与无公共点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 13. 已知复数z满足，则__________． 14. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，. （1）若，求； （2）若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 16. 函数． （1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； （2）若有2个根，求实数m的取值范围； （3）若在上的值域为，求的取值范围． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求边上的高． 18. 如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，. （1）若，. （i）求的值； （ii）求的值； （2）若存在实数，使得，求的取值范围. 19. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一下学期数学期中考试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由与共线，则,解得. 2. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 3. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得. 所以. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 6. 函数的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据正切函数的性质，的图象的对称中心的横坐标满足，， 解得，， 所以的图象的对称中心为，. 对照各选项，可知时，对称中心为. 7. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，求出函数在上的两个端点，结合函数在上有最大值没有最小值构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】令，，， 当时，；当时，； 则， 函数的最大值在处取得； 最小值在处取得； 已知函数在上有最大值没有最小值， 区间必须包含第一个最大值点，且不能包含第一个最小值点， ，解得． 8. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，S为四边形 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，S与的交点，满足 D. 当时，S为四边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正方体的几何性质，结合面面平行性质定理可得线线平行，再根据相似三角形，利用相似比可得线段的长度，可得答案. 【详解】对于A，可作图如下： 平面平面，平面平面， 在正方体中，平面平面，则， 易知，则，由为的中点，则，即， 由，则，所以为四边形，故A正确； 对于B，由题意作图如下： 由A可知，由，则，即点与重合， 在正方体中，，，， 所以，则，由A可知，则为等腰梯形，故B正确； 对于C，由题意作图如下： 在正方体中，易知，则， 由，，，则，即， 易知，则，即，解得，故C正确； 对于D，由题意作图如下： 在正方体中，易知，则， 由，，则，由，则， 所以位于的延长线上，则，， 即为五边形，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是矩形 B. 三个平面至多将空间分为个部分 C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成 D. 任意五棱锥都可以分成个三棱锥 【答案】CD 【解析】 【分析】利用斜棱柱的侧面可判断A选项；取三个两两相互垂直的平面可判断B选项；利用圆台的形成可判断C选项；利用五棱锥的结构特征可判断D选项. 【详解】对于A选项，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错； 对于B选项，若三个平面两两垂直，则这三个平面可将空间分为个部分，B错； 对于C选项，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成，C对； 对于D选项，一个五边形可分为三个三角形，所以，任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D对. 故选：CD. 11. 若平面平面，，下列说法正确的是（ ） A. 与内任一条直线平行 B. 与内无数条直线平行 C. 与内任一直线不相交 D. 与无公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面位置关系判断CD；在正方体中，借助正方体中的线、面间的关系，判断AB. 【详解】，，，与无公共点， 从而与内任一直线不相交，CD正确； 如图，在正方体中，令线段所在的直线为，平面为平面， 平面为平面，显然与内无数条直线平行，故B正确； 又与异面，故A错误． 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用大边对大角确定最大角，再用余弦定理计算最大角即可. 【详解】不妨设，则c边对的角C最大，令， 得，而，故， 所以此三角形的最大角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题. 13. 已知复数z满足，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出复数z，再根据复数的模的定义直接计算即可得解. 【详解】由题意， 故. 故答案为：. 14. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数，. （1）若，求； （2）若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【小问1详解】 由题意得，， 所以，则； 【小问2详解】 设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 16. 函数． （1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； （2）若有2个根，求实数m的取值范围； （3）若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）依次令取，可得的值，描点并用光滑曲线连接即可； （2）将有2个根，转化为的图象与直线有2个交点，由图象可得实数m的取值范围； （3）令，得或；令，得或；结合图象及函数的单调性，可得的最小值及最大值，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 函数． 按五个关键点列表： x 0 2 1 0 －1 0 1 3 0 1 0 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： 【小问2详解】 若有2个根，则的图象与直线有2个交点， 由图可知，或． 即实数m的取值范围或． 【小问3详解】 在，令，得或； 令，得，即，解得：或； 由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 若在上的值域为， 则（或）最小； 当时，最大．所以u的取值范围为． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【小问1详解】 由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； 【小问2详解】 由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 18. 如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，. （1）若，. （i）求的值； （ii）求的值； （2）若存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律求解即可； （ii）利用基底表示出，根据三点共线可求得结果； （2）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律可将转化为关于的函数的形式，采用分离常数法可求得结果. 【小问1详解】 （i），， ， . （ii），. 设，则， 三点共线，，解得：，即. 【小问2详解】 ，， ， ，， ， ，，， ，即的取值范围为. 19. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $