3.1圆（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.1圆 题型一 求圆中弦的条数 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 题型二 判断点与圆的位置关系 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点,的半径为5，若点P的坐标为，则点P与的位置关系是(    ) A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为，若，则点（    ） A．在内 B．在外 C．在上 D．与的位置不确定 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 5．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）平面内，若的半径为，，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”) 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在 （填“内、上或外”）． 7．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 题型三 利用点与圆的位置关系求半径 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点A是外一点，且，则的半径可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知的半径为6，点P在上，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）的半径为5，若点A在上，则 ． 6．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是 ． 7．（2025九年级·全国·专题练习）线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为 ． 8．（19-20九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 题型一 求过圆中一点的最长弦 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 厘米． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，，，则的取值范围 ． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是y轴上一点，以点B为圆心、2为半径的上有一个动点C，连接，取中点D，连接，则的最大值为 ． 7．（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    9．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 题型二 已知半径和圆上两点作圆 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（21-22九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 3．（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 4．（2022九年级上·全国·专题练习）画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形. 题型三 圆的周长和面积问题 1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·开学考试）把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 6．（10-11七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（    ） A． B． C． D．不能确定 7．（19-20六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘．已知大、小圆盘的直径都是整厘米数，涂色部分的面积为，求大、小圆盘的半径． 10．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）鲁绣是历史文献中记载最早的一个绣种，属中国“八大名绣”之一．鲁绣博采“苏、粤、蜀、湘”四大名绣之长，而又独具一格，作品擅长表现中国书画的笔墨效果，绣品清隽淡雅、质感逼真、风格粗旷中见精微，是中华民族悠久刺绣文化的重要组成部分．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长． (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 题型四 点与圆上一点的最值问题 1．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点P到圆上的最远距离是，最近距离是，则此圆的半径是 cm． 5．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 6．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 7．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）在中，，，，点是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为 ． 题型一 求一点到圆上点距离的最值 1．（2024·陕西渭南·一模）问题提出： （1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、3为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为_______； 问题探究： （2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值； 问题解决： （3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连接，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区域内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：） 2．（2023·河南周口·二模）已知在等腰中，，D为中点，连接．分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，在的两侧分别交于点M、N，连接，交于点，交于点，连接、． (1)如图1，若为正三角形，则__________；__________． (2)如图2，若，的延长线交于点P，求的值和的长． (3)如图3，若，把图2中的绕着点A旋转，直接写出的值，以及的最小值和最大值． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1圆 题型一 求圆中弦的条数 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 题型二 判断点与圆的位置关系 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点,的半径为5，若点P的坐标为，则点P与的位置关系是(    ) A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与圆的位置关系的判定，解题的关键是计算点到圆心的距离，并将该距离与的半径进行大小比较． 先根据平面直角坐标系中两点间距离公式计算的长度；再将计算得到的与的半径比较，若则点在圆内，若则点在圆上，若则点在圆外． 【详解】解：由距离公式得：， 因为，即， ∴点到圆心的距离小于的半径，因此点在内． 故选：A． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为，若，则点（    ） A．在内 B．在外 C．在上 D．与的位置不确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系由点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来确定：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．因为，，点到圆心的距离大于半径，所以点在圆外． 【详解】的半径，，且， 点在外， 故选：． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，点P到圆心O的距离为7，， ∴点P在圆外． 故选：A． 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在内， 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）平面内，若的半径为，，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”) 【答案】内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小进行判断． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离， ， 故点在内． 故答案为：内． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在 （填“内、上或外”）． 【答案】内 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系即可判断． 【详解】解：∵的半径为5， 又∵线段OP的长为， ∴点P在内． 故答案为：内 7．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 【答案】圆内 【分析】本题考查点与圆位置关系，解题的关键在于正确计算的长度．要判断点与⊙O的位置关系，需计算点到圆心的距离，并与圆的半径比较．点是的中点，已知为，因此可求出的长度，进而比较与半径的大小关系． 【详解】解：，且是的中点， , ⊙O的半径为，而， 则， 点到圆心的距离小于半径，说明点在圆内． 故答案为：圆内． 题型三 利用点与圆的位置关系求半径 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点A是外一点，且，则的半径可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，在圆外的点到圆心的距离大于半径，据此求解即可． 【详解】解：∵点A是外一点，且， ∴的半径大于0且小于2， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知的半径为6，点P在上，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据题意可知点在圆上，即圆心到点的距离等于半径，即可得到本题答案． 【详解】解：∵点P在上， ∴圆心到点的距离等于半径， ∵的半径为6， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）的半径为5，若点A在上，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆与点的位置关系，在圆上的点到圆心的距离等于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为5，且点A在上， ∴， 故答案为：5． 6．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是 ． 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，掌握根据圆心到坐标轴的距离及圆的半径，分析公共点数量是解题的关键． 分析圆心到坐标轴的距离，分圆与轴相切、圆经过原点两种情况，判断圆与坐标轴的公共点数量，从而确定半径． 【详解】解：圆心到轴距离为4，到轴距离为3，到原点距离为． 当圆与轴相切时，半径，此时圆与轴相交于两点，公共点共个； 当圆经过原点时，半径，此时圆与轴、轴各有一个除原点外的交点，公共点共个． 其他情况：当时，无公共点； 当时，与轴相切，有个交点，与轴无交点，公共点数为； 当时，与轴有两个交点，与轴无交点，公共点数为； 当或时，与轴和轴各有两个交点，公共点数为； 故半径为或时，圆与坐标轴有且只有个公共点． 故答案为：或． 7．（2025九年级·全国·专题练习）线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【详解】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 8．（19-20九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，理解点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由图可知三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 题型一 求过圆中一点的最长弦 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 厘米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查弦的性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟知直径是圆中最长的弦．作的外接圆，当时，最长，即外接圆的直径；当时，是等边三角形，可求出，然后结合即可求解． 【详解】解：作的外接圆，当时，最长 ∵ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ ∴ ∴，即最长为 当时，则， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是y轴上一点，以点B为圆心、2为半径的上有一个动点C，连接，取中点D，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理求两点距离，三角形中位线的性质，点到圆上的距离的最值问题，作点A关于原点的对称点M，则，再得出是的中位线，，当根据题意可知点C在原点B左侧且和直线在一条直线上时，取得最大值，即，进一步即可得出答案． 【详解】解：作点A关于原点的对称点M，如下图： 则，点O为的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当取最大值时，则取最大值， ∵点C是以点B为圆心、2为半径的上有一个动点， ∴当点C在原点B左侧且和直线在一条直线上时，取得最大值， 此时， ∴， 故答案为： 7．（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接，延长交圆于C，求出圆P和圆R的半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值． 【详解】如图，连接，延长交圆于C， 由圆O和圆P内切知C点即为切点， ∴， 连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B， 则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值， ∴， 故答案为：． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 【详解】解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示： （2）解：底边的中线如图所示： （3）解：直线即为所求．如图所示： 题型二 已知半径和圆上两点作圆 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 2．（21-22九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 3．（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 4．（2022九年级上·全国·专题练习）画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形. 【答案】以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆. 【分析】如图所示，当线段两个端点在O，F时，此时的中点为B点，同理可知也可在A,G,H点，这些点在已知直线的交点为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆上；当线段两个端点在C，D时，其中点为E，根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE，则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上；综上即可画出图形. 【详解】如图所示，以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆. 【点睛】此题主要考查点与圆的关系，解题的关键是正确理解题意，再画出图形. 题型三 圆的周长和面积问题 1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·开学考试）把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 3．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为的圆的面积相同，计算后判断即可． 【详解】①涂色部分的面积是，符合题意； ②涂色部分的面积是，符合题意； ③涂色部分的面积是，符合题意； ④涂色部分的面积是，不符合题意； 即涂色部分的面积是的图有个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长，明确两个小圆的周长等于大圆的周长是解题的关键． 由题意可知，甲蚂蚁走的路程是大圆的周长，乙蚂蚁走的路程是两个小圆周长的和，设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是，观察图形可知，所以甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，根据路程÷速度=时间，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是， 则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，， 观察图形可知， ∴， ∵两只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达． 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】先算出图①和图②中水池边沿的周长，再分析两者周长的关系． 【详解】解：设图①中每个外圆的直径为， ∴图①中水池边沿的周长为． 设图②中三个内圆的直径分别为、、，外圆的直径为，且， ∴图②中水池边沿的周长为外圆周长加上三个内圆的周长，即： ． ∴图①和图②水池边沿的周长相等，即砌水池边沿需要的材料一样多． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，解题关键是根据圆的周长公式，分别计算出图①和图②中水池边沿的周长，再进行比较． 6．（10-11七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是掌握相关的圆的面积公式． 根据四边形的内角和为得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积． 【详解】解：∵四边形内角和为， ∴四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：B． 7．（19-20六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的面积的计算，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得到答案． 【详解】解：图中圆环的面积为：． 故选：D 8．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘．已知大、小圆盘的直径都是整厘米数，涂色部分的面积为，求大、小圆盘的半径． 【答案】4cm和1.5cm． 【分析】利用大圆的面积减去4个小圆的面积等于，所以可先设大、小圆的直径分别为； 进而得到关于的方程，再利用平方差公式进行分解得到； 至此根据大小圆的直径均为整数，即可求解． 【详解】解：设大圆盘的直径为，小圆盘的直径为，根据题意，得，即， 分解因式，得． 均为整数， 均为整数． 又和的奇偶性相同， 解得 ， 大、小圆盘的半径分别为4cm和1.5cm． 【点睛】本题考查了列方程解应用题的综合题，掌握因式分解的应用、方程的整数解是解题的关键． 10．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）鲁绣是历史文献中记载最早的一个绣种，属中国“八大名绣”之一．鲁绣博采“苏、粤、蜀、湘”四大名绣之长，而又独具一格，作品擅长表现中国书画的笔墨效果，绣品清隽淡雅、质感逼真、风格粗旷中见精微，是中华民族悠久刺绣文化的重要组成部分．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长． (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）设绣布的长和宽分别为：，则，据此即可求解； （2）求出完整圆形绣布的直径，将直径与长方形绣布的长和宽作对比即可求解； 【详解】（1）解：设绣布的长和宽分别为：， 则， 解得：（舍去）， ∴； ∴绣布的周长； （2）解：由题意得：设完整圆形绣布的半径为，则， 解得； ∴完整圆形绣布的直径为； ∵，即圆形绣布的直径大于长方形绣布的宽， ∴不能利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图； 题型四 点与圆上一点的最值问题 1．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的最值问题、中位线定理以及勾股定理，是一道有关圆的动点问题，确定点的运动轨迹是解题的关键．连接，，取的中点，连接，，构造的中位线，再利用中位线定理和勾股定理确定点的运动轨迹为圆，最后根据点圆距离的最值知识，得到的最大值和最小值，从而得到长的取值范围． 【详解】解：如图，连接，，取的中点，连接，， ，， ，， ， ， ， 的半径为5， ， ,分别为，的中点，， 为的中位线， ， 点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， ， ， 的取值范围为． 故选C． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小时，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点P到圆上的最远距离是，最近距离是，则此圆的半径是 cm． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点在圆外和点在圆内两种情况分类讨论，求出直径，即可求解． 【详解】解：当点P到圆外时，∵点P到圆上的最远距离是，最近距离是， ∴圆的直径为； ∴半径为； 当点P到圆内时，∵点P到圆上的最远距离是，最近距离是， ∴圆的直径为； ∴半径为； ∴圆的半径为或． 故答案为：2或3 5．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 8 18 【分析】当三点在一条直线上时，线段的长取得最值，由此用勾股定理求解即可． 【详解】解：当三点在一条直线上时，线段的长取得最值． 是边的中点， ． ， ． 当点A，E在的同侧时，有最小值，最小值为； 当点A，E在的异侧时，有最大值，最大值为． 故答案为：8；18． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 225 121 【分析】本题考查的是坐标与图象的性质和点与圆的位置关系，确定取最大值时，点P的位置是解题的关键． 表示点P到原点O的距离的平方，点P在圆A上运动，求该距离平方的最值，转化为求圆上点到定点的距离最值问题． 【详解】圆心到原点的距离， 的半径为2，当点P位于线段的延长线上且远离O时， 取得最大值， 故的最大值为； 当点P位于线段上且靠近O时， 取得最小值，故的最小值为． 故答案为225，121． 7．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和以及线段的最值，（1）根据多边形内角和定理可求出；（2）根据题意得点在以D为圆心，2为半径的圆上，连接AD，交⊙D于点Q，此时AQ最短，证明，根据相似三角形的性质列比例式可求出． 【详解】解：（1）∵五边形的内角和为， ∴； （2）∵， ∴点Q在以D为圆心，2为半径的圆上， 如图，连接，交于点Q，此时最短，此时点B，P重合，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：108；． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）在中，，，，点是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，，，由勾股定理得，然后通过直角三角形性质可得，又是的中点，是的中点，则，通过即可求出线段长度的最大值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为， 故答案为：． 题型一 求一点到圆上点距离的最值 1．（2024·陕西渭南·一模）问题提出： （1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、3为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为_______； 问题探究： （2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值； 问题解决： （3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连接，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区域内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】（1）2；（2）；（3）元． 【分析】本题考查动点轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够发现动点的轨迹是圆，利用求点到圆上一点距离最小的方法求线段最小值． （1）画图即可判断； （2）取的中点，连接，根据题意得：G点的运动轨迹是以中点O为圆心，为半径的弧，所以和的长度是定值，因此共线时，取最小值，根据勾股定理计算即可； （3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆，在上取一点T，连接，过点J作于点Q，过点P作于点H，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：（1）过点C作于点H，则， 以点C为圆心，3为半径作圆，交于点P， ∴上一点到直线的最小距离为； （2）取的中点，连接， 根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧， 、为定值，当、、共线时，取得最小值， 四边形是正方形， ，． 是的中点， ． 在中，， 的最小值为． （3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆， 在上取一点，连接，，过点作于点，过点作于点， ，， ， ，则． 为等边三角形， ， ， ， 、、、四点共圆． ，， ． ， 的最小值为， 完成这两种花卉种植的最低种植费用为 （元）． 2．（2023·河南周口·二模）已知在等腰中，，D为中点，连接．分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，在的两侧分别交于点M、N，连接，交于点，交于点，连接、． (1)如图1，若为正三角形，则__________；__________． (2)如图2，若，的延长线交于点P，求的值和的长． (3)如图3，若，把图2中的绕着点A旋转，直接写出的值，以及的最小值和最大值． 【答案】(1)， (2)， (3)，的最小值为，最大值为 【分析】（1）首先根据等边三角形三线合一性质得到，然后得到，进而求出，设，得出，然后利用勾股定理和直角三角形的性质得到，进而求解即可； （2）首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后利用勾股定理求出，然后利用得到，求出，然后求出，然后证明出，得到；求出，然后证明出，得到，代数求出； （3）由（2）证明出，进而得到；根据题意得到点F在以点A为圆心，以的长为半径的圆上运动，然后得到当点F和点重合时，的长最小，即的长度，当点F和点重合时，的长最大，即的长度，进而求解即可． 【详解】（1）由作图可得，垂直平分 ∴点E是的中点 ∵为正三角形 ∴， ∵D为中点 ∴ ∴； 设， ∵为正三角形，D为中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，D为中点 ∴ ∴； （2）∵D为中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵，D为中点， ∴ ∴ ∴； ∵， ∴ ∵点E是的中点，D为中点， ∴ ∴ ∴，即 ∴； （3）由（2）得， ∴ ∴ 由（2）得， ∴ ∴； 如图所示， ∵绕着点A旋转， ∴点F在以点A为圆心，以的长为半径的圆上运动 ∴当点F和点重合时，的长最小，即的长度， ∴此时， ∴的最小值为， ∴当点F和点重合时，的长最大，即的长度， ∴此时， ∴的最大值为． 【点睛】此题考查了三角形综合题，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的基本性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点并正确运用． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $