2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末综合练习题.

**基本信息** 覆盖几何与代数核心模块，通过多样化题型考查抽象能力、推理能力及模型意识，注重知识内在逻辑与综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|单选3/6/9/10、填空12/13/14/16、解答20/22/23|证明与计算结合，涉及三角形性质、全等及变换|以三角形为核心，串联角平分线、垂直平分线等性质，通过折叠、平移构建空间观念| |代数运算|单选4/5/8、填空11、解答17/18|分式运算、不等式变形及因式分解|从概念（分式意义）到运算（化简）再到应用（方程），形成完整代数逻辑链| |实际应用|单选7、解答21/24|行程问题与利润函数模型|运用数学语言描述现实问题，建立方程与函数模型，发展应用意识| |图形与坐标|单选2、解答19|坐标平移与作图|连接几何变换与代数表示，体现数形结合思想|

2025-2026学年八年级下册数学期末综合练习题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．用反证法证明命题：直角三角形中至少有一个锐角小于或等于．应先假设（     ） A．直角三角形中两个锐角都大于 B．直角三角形中两个锐角都小于 C．直角三角形中有一个锐角大于 D．直角三角形中有一个锐角小于 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法的第一步为假设原结论不成立，即假设结论的反面成立． 原命题结论为“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于”， “至少有一个锐角小于或等于”的反面是“两个锐角都大于”， ∴ 应先假设直角三角形中两个锐角都大于． 2．在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，恰好与原点重合，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．3 D． 【答案】B 【分析】掌握“左减右加，上加下减”的平移规则是解题关键，先根据平移规则得到平移后点的坐标，再结合平移后的点与原点重合列方程求出的值，最后计算即可． 【详解】解：点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为， ∵平移后该点与原点重合，原点坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 3．如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，再结合角平分线定义得出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得解 【详解】解：是的外角， ， ， 平分， ， 在中，． 4．下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A，∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，∴，不等式两边再同减，不等号方向不变，∴，选项A变形正确． 对于选项B，∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴，选项B变形错误． 对于选项C，由，仅能推出时，但无法推出，选项C变形错误． 对于选项D，举例：当时，满足，但，因此无法推出，选项D变形错误． 5．已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，据此求出和的值，然后求的值即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴此时分母， 把代入得 ，解得：． ∵时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母不为0， 把代入分子得 ，解得， 验证分母：时，，符合要求， ∴． 6．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理求出，得到，由勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 设， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点到点的距离是． 7．八年级学生去距学校的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达．已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时千米；根据题意列出方程为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】统一时间单位，根据两车时间差建立等量关系即可． 【详解】解：∵大巴平均速度为，出租车平均速度是大巴的倍， ∴出租车平均速度为． 全程路程为，根据时间，可得：大巴行驶全程的时间为，出租车行驶全程的时间为． ∵大巴先出发，两车同时到达，且， ∴大巴行驶时间比出租车多， 因此列方程得：． 8．若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 9．如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 【详解】解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．若，，则的长为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明，得，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分；根据四边形的面积的面积，列式计算即可． 【详解】解：，， ． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分． ，， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据含乘方的分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设小林走的正多边形的边数为， 根据题意得，， ， 故答案为：． 13．如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 【答案】/156度 【分析】由题意得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 【详解】解：是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 15．如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先根据直线平移得出直线向右平移2个单位得到的函数解析式为，再求出直线与x轴的交点坐标为，最后得出关于x的不等式的解集是即可． 【详解】解：将直线向右平移2个单位得到的函数解析式为， ∵直线与x轴交于点， ∴将直线向右平移2个单位后与x轴的交点为， 即直线与x轴的交点坐标为， ∵当时，直线的图像在x轴的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 16．如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且，．若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形内角求出角度，再结合平行线、角平分线以及三角形内角和推出是等腰三角形，代入边长计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ∵，， ，， ， ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．分式运算 (1)计算： (2)化简： 【答案】(1) (2)x+1 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 18．分解因式或计算 (1) (2) (3)计算： (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．    (1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：（    ，    ），（    ，    ）． (2)在网格中，先画出平移后的三角形，再解决下列问题： ①若边上一点经过上述平移后的对应点为，点的坐标为______．（用含的式子表示） ②求平移过程中，三角形扫过的面积． 【答案】(1) (2)图见解析；①；②30.5 【分析】（1）根据点A平移后的坐标，得出平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位，据此作答即可； （2）先根据（1）中确定的点的坐标作出平移后的三角形；①根据平移的方式进行求解即可；②利用割补法进行计算即可． 【详解】（1）∵点经过平移后对应点为， ∴平移方式为向右平移5个单位，向上平移3个单位， ∴经过平移后的坐标分别为， 故答案为：； （2）如图，    ①点经过上述平移后的对应点的坐标为， 故答案为：； ②三角形扫过的面积． 【点睛】本题主要考查了平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方式确定对应点后，再顺次连接对应点，即可得到平移后的图形，能够根据平移前后点的坐标的变化，得出平移的方式是解题的关键． 20．如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 21．如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质,多项式乘以多项式在几何图形中的应用，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平移的性质可得栽种花卉部分是一个长为米，宽为米的长方形，据此求解即可； （2）将代入（1）中的式子求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：栽种花卉部分的面积是． （2）当时，， 答：当时，面积为． 22．如图，在四边形中，，，E是上一点，且． (1)求证：． (2)连结，若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ∴四边形是平行四边形， ， ， ； (2)6 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，推出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，易证，再证明四边形为平行四边形，得到，结合（1）中结论得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作于点F， ，， ． ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ． 23．如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由、 且可证； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线得，再利用直角三角形性质证，由垂直平分线判定定理可证． 【详解】（1）解：， ， ，且， 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 点在的平分线上， 平分． （2）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 根据等腰三角形性质，有垂直平分， ， 连接，在中，， （直角三角形斜边中线等于斜边的一 半）， ， 根据垂直平分线性质，点在的垂直平分线上． 24．二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某百货公司计划购买型和型两种环保节能灯，共购买盏，且当天全部售出，其成本及售价如表所示，设该百货公司每天购买型节能灯盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为元． 节能灯 成本（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 (1)求出与之间的函数关系式； (2)若百货公司每天购进型节能灯的数量不超过型的倍，求每天应购进多少盏型和型环保节能灯，才能使得总利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)（，且为整数） (2)每天应购进40盏型和10盏型环保节能灯，才能使得总利润最大，最大利润为480元 【分析】（1）该百货公司每天购买型节能灯盏，根据总利润型节能灯的利润型节能灯的利润可得与之间的函数关系式，再求出的取值范围即可； （2）先求出的取值范围，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：该百货公司每天购买型节能灯盏， 则， 答：与之间的函数关系式为（，且为整数）． （2）解：∵百货公司每天购进型节能灯的数量不超过型的倍， ∴， 解得， ∵对于函数，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最大值，最大值为， 此时， 答：每天应购进40盏型和10盏型环保节能灯，才能使得总利润最大，最大利润为480元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学期末综合练习题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．用反证法证明命题：直角三角形中至少有一个锐角小于或等于．应先假设（     ） A．直角三角形中两个锐角都大于 B．直角三角形中两个锐角都小于 C．直角三角形中有一个锐角大于 D．直角三角形中有一个锐角小于 2．在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，恰好与原点重合，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．3 D． 3．如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 6．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 7．八年级学生去距学校的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达．已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时千米；根据题意列出方程为（    ） A．B．C． D． 8．若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 9．如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．若，，则的长为（     ） A． B． C．5 D．6 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算：________． 12．如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则______． 13．如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 14．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 15．如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 16．如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且，．若，，则的长为_________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．分式运算 (1)计算： (2)化简： 18．分解因式或计算 (1) (2) (3)计算： (4) 19．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．    (1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：（    ，    ），（    ，    ）． (2)在网格中，先画出平移后的三角形，再解决下列问题： ①若边上一点经过上述平移后的对应点为，点的坐标为______．（用含的式子表示） ②求平移过程中，三角形扫过的面积． 20．如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 21．如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 22．如图，在四边形中，，，E是上一点，且． (1)求证：． (2)连结，若，，求的长． 23．如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 24．二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强清洁能源高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某百货公司计划购买型和型两种环保节能灯，共购买盏，且当天全部售出，其成本及售价如表所示，设该百货公司每天购买型节能灯盏，每天销售两种型号的节能灯共获利润为元． 节能灯 成本（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 (1)求出与之间的函数关系式； (2)若百货公司每天购进型节能灯的数量不超过型的倍，求每天应购进多少盏型和型环保节能灯，才能使得总利润最大，并求出最大利润． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $